高考数学一轮复习 第二章 函数 第九节 函数模型及其应用课件 文.ppt

第九节函数模型及其应用 总纲目录 教材研读 1 几种常见的函数模型 考点突破 2 三种增长型函数模型的图象与性质 3 解函数应用题的步骤 四步八字 考点二指数函数 对数函数模型 考点一二次函数模型 考点三函数y ax 的模型充要条件的应用 考点四分段函数 1 几种常见的函数模型 教材研读 常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表 2 三种增长型函数模型的图象与性质 3 解函数应用题的步骤 四步八字 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下 1 下表是函数值y随自变量x变化的一组数据 与这组数据最吻合的函数模型是 a 一次函数模型b 幂函数模型c 指数函数模型d 对数函数模型 答案a根据已知数据可知 自变量每增加1 函数值增加2 因此函数值的增量是均匀的 故为一次函数模型 a 2 小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段时间 后为了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的图象是 c 答案c小明匀速行驶时 图象为一条直线 且距离学校越来越近 故排除a 因交通堵塞停留了一段时间 与学校的距离不变 故排除d 后来为了赶时间加快速度行驶 故排除b 故选c 3 某种细菌在培养过程中 每15分钟分裂一次 由一个分裂成两个 这种细菌由1个繁殖成4096个需经过 a 12小时b 4小时c 3小时d 2小时 答案c设需经过t小时 由题意知24t 4096 即16t 4096 解得t 3 c 4 某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案 在销售额x为8万元时 奖励1万元 销售额x为64万元时 奖励4万元 若公司拟定的奖励模型为y alog4x b 某业务员要得到8万元奖励 则他的销售额应为万元 1024 答案1024 解析依题意得即解得所以y 2log4x 2 当y 8时 2log4x 2 8 解得x 1024 万元 5 据调查 某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次 其中变速车存车费是每辆一次0 3元 普通车存车费是每辆一次0 2元 若普通车存车量为x辆次 存车费总收入为y元 则y关于x的函数关系式为 y 0 1x 1200 x 0 4000 答案y 0 1x 1200 x 0 4000 解析由题意知 y 0 2x 0 3 4000 x 0 1x 1200 其中x 0 4000 6 用长度为24的材料围一矩形场地 且中间有两道隔墙 如图 要使矩形的面积最大 则隔墙的长度为 3 答案3 典例1某自来水厂的蓄水池存有400吨水 水厂每小时可向蓄水池中注水60吨 同时蓄水池又向居民小区不间断供水 t小时内供水总量为120吨 0 t 24 1 从供水开始到第几小时时 蓄水池中的存水量最少 最少水量是多少吨 2 若蓄水池中水量少于80吨时 就会出现供水紧张现象 则在一天的24小时内 有几小时出现供水紧张现象 考点一二次函数模型 考点突破 解析 1 设t小时后蓄水池中的水量为y吨 则y 400 60t 120 令 x 则x2 6t 即y 400 10 x2 120 x 10 x 6 2 40 所以当x 6 即t 6时 ymin 40 即从供水开始到第6小时时 蓄水池中的存水量最少 只有40吨 2 由 1 及题意有400 10 x2 120 x 80 得x2 12x 32 0 解得4 x 8 即4 8 t 由 8小时 得每天约有8小时供水紧张 规律总结实际生活中的二次函数问题 如面积 利润 产量问题等 可根据已知条件确定二次函数模型 结合二次函数的图象 单调性 零点解决 解题中一定要注意函数的定义域 1 1某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为l1 5 06x 0 15x2和l2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售了15辆车 求该公司能获得的最大利润 解析设在甲地销售了x辆车 则在乙地销售了 15 x 辆车 设总利润为l x 万元 由题意可得l x l1 l2 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 0 x 15 x z 易知l x 在 0 10 2 上递增 在 10 2 15 上递减 又x为整数 所以当x 10时 l x 最大 且l x max 45 6 万元 故能获得的最大利润为45 6万元 典例2 2016四川 7 5分 某公司为激励创新 计划逐年加大研发资金投入 若该公司2015年全年投入研发资金130万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长12 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据 lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 a 2018年b 2019年c 2020年d 2021年 考点二指数函数 对数函数模型 b 答案b 解析设第n n n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元 根据题意得130 1 12 n 1 200 则lg 130 1 12 n 1 lg200 lg130 n 1 lg1 12 lg2 2 2 lg1 3 n 1 lg1 12 lg2 2 0 11 n 1 0 05 0 30 解得n 又 n n n 5 该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年 故选b 规律总结一般地 涉及增长率问题 存蓄利息问题 细胞分裂问题等 都可以考虑用指数函数的模型求解 求解时注意指数式与对数式的互化 指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制 2 1一种放射性元素的质量按每年10 衰减 这种放射性元素的半衰期 剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期 是 精确到0 1 已知lg2 0 3010 lg3 0 4771 a 5 2b 6 6c 7 1d 8 3 答案b设这种放射性元素的半衰期是x年 则 1 10 x 化简得0 9x 即x log0 9 6 6 年 故选b b 考点三函数y ax 的模型 典例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系c x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解析 1 由已知条件得c 0 8 则k 40 因此f x 6x 20c x 6x 0 x 10 2 f x 6x 10 10 2 10 70 当且仅当6x 10 即x 5时 等号成立 所以当隔热层厚度为5cm时 总费用f x 达到最小 最小值为70万元 规律总结应用函数y ax 模型的关键点 1 明确对勾函数是正比例函数f x ax与反比例函数f x 叠加而成的 2 解决实际问题时一般可以直接建立f x ax 的模型 有时可以将所列函数关系式转化为f x ax 的形式 3 利用模型f x ax 求解最值时 要注意自变量的取值范围 及取得最值时等号成立的条件 3 1某养殖场需定期购买饲料 已知该场每天需要饲料200千克 每千克饲料的价格为1 8元 饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0 03元 购买饲料每次支付运费300元 求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少 典例4国庆期间 某旅行社组团去风景区旅游 若每团人数在30或30以下 飞机票每张收费900元 若每团人数多于30 则给予优惠 每多1人 机票每张减少10元 直到达到规定的75人为止 每团乘飞机 旅行社需付给航空公司包机费15000元 1 写出飞机票的价格关于人数的函数关系式 2 每团人数为多少时 旅行社可获得最大利润 考点四分段函数 解析 1 设旅行团人数为x 由题得0 x 75 x n 飞机票的价格为y元 则y x n 即y x n 2 设旅行社获利s元 则s x n 即s x n 因为s 900 x 15000在区间 0 30 上为单调增函数 故当x 30时 s取最大值12000 又s 10 x 60 2 21000的定义域为 30 75 当x 60时 s取得最大值21000 故当x 60时 旅行社可获得最大利润 4 1 2018山东济南质检 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成交通堵塞 此时车流速度为0千米 小时 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 小时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到1辆 小时 解析 1 由题意可知当0 x 20时 v x 60 当20 x 200时 设v x ax b a 0 显然v x ax b在 20 200 上是减函数 由已知得解得故函数v x 的表达式为v x 2 依题意及 1 可得 f