固体物理课件——第二章.ppt

第二章晶体衍射和倒格子 本章目的 探测 验证第一章所讨论的晶体的周期性 对称性结构 了解某种晶体内的原子排列情况 点阵的分布情况 显微镜 粒子衍射 了解不同基元情况对衍射性质的影响 基元原子分布的影响 采用手段 微观粒子的衍射 波粒二象性 常用的微观粒子 x射线 电子 中子 粒子波参量 能量 波矢 波长 角频率 粒子波可用于探测的原因 粒子波进入晶体 发生作用 被干扰 不同内部排列方式 干扰情况不一样反之 通过观察被作用后波的表现形式 晶体内的原子分布情况 1 电子衍射 2 中子衍射 中子主要受原子核的散射 轻的原子对于中子的散射也很强 所以常用来决定氢 碳在晶体中的位置 另一方面 中子具有磁矩 尤其适合于研究磁性物质的结构 常见的几种探测手段 3 X射线衍射 X射线是由被高电压V加速了的电子打击在 靶极 物质上而产生的一种电磁波 在晶体衍射中 常取U 40千伏 所以 0 03nm 衍射 本质是一种同相干涉 可见光波长 380 780nm的电磁波 可见光波长 4 10 7m 7 10 7m 隐藏 人眼可见范围为 312nm 1050nm 波长介于紫外线和 射线间的电磁辐射 由德国物理学家W K 伦琴于1895年发现 故又称伦琴射线 波长小于0 1埃的称超硬X射线 在0 1 1埃范围内的称硬X射线 1 10埃范围内的称软X射线 隐藏 波谱图 隐藏 2 部分被散射 部分吸收或未吸收 内层电子 通过电场晶体内电子 云 发生受迫振动 电子云成为新散射源 沿各个方向发射等频率的球面电磁波 外层或近自由电子 康普顿效应 能量部分传递给电子 光子频率相应有所增加 X射线与物质的相互作用形式 1 部分被吸收 完全吸收 如打出内层电子 荧光 光电效应 或俄歇效应 3 部分继续传播 A2 非相干散射 X射线光子与束缚力不大的外层电子或自由电子碰撞时电子获得一部分动能成为反冲电子 X射线光子离开原来方向 能量减小 波长增加 非相干散射是康普顿 A H Compton 和我国物理学家吴有训等人发现的 亦称康普顿效应 非相干散射突出地表现出X射线的微粒特性 只能用量子理论来描述 亦称量子散射 它会增加连续背影 给衍射图象带来不利的影响 特别对轻元素 1 2 电场 是内层电子受迫振动 发射电磁波3 与外层电子 粒子性体现 方向偏离 波长变化 康普顿效应 隐藏 当一束X射线照射到晶体上时 首先被电子所散射 每个电子 电子云 都是一个新的辐射波源 向空间辐射出与入射波同频率的电磁波 向任意方向都有散射 非定向 可以把晶体中每个原子都看作一个新的散射波源 它们各自向空间辐射与入射波同频率的电磁波 这些同频率散射波之间具有干涉作用 即空间任意方向上的波都保持相互叠加 但只有在某些特定方向才能保持 同相 干涉 波振幅才能达到干涉极大 而另一些方向上的波则始终是相互抵消的 于是就没有衍射线产生 X射线衍射的本质 不使用电子波来探测的原因 2 1布拉格反射定律 1 布拉格 反射 公式 衍射加强的条件 n为整数 称为衍射级数 可见 对入射波波长有要求 不能用可见光进行晶体衍射 2d sin n 形象描述 2d距离内能装入多少个波长 即存在几级衍射 可见 选择合适的 可使只产生一级衍射纹 环 不是每个晶面都会反射 面间距过小的晶面族 无衍射 缺点 由上分析可知 布拉格方程体现的是晶体结构中晶胞大小及形状的影响 但无具体考虑反映出晶胞中原子的品种和位置对衍射的影响 优点 布拉格方程将晶体的原子排列 对应的点阵 等效于一系列平行平面 从而从反射的角度 通过简单的推导 直观地给出了晶体衍射可能出现的各个方向 布拉格方程的优缺点 a 无法解释实际中部分衍射消失的情况 b 无法给出衍射波振幅的情况 衍射斑强度 2 2倒格子 第四节倒格 本节 2 4 主要内容 2 4 1倒格定义 G 2 4 3倒格与傅里叶变换 2 4 2倒格与正格的关系 2 4倒格矢 倒格 正格矢 倒格基矢 倒格矢 电子浓度的傅立叶函数 R与k的联系 正格基矢 正格 2 4 1倒格定义 倒格基矢定义为 其中是正格基矢 是固体物理学原胞体积 一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的 它的方向是该晶面的法线方向 它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍 倒格基矢的方向和长度 2 4 2倒格与正格的关系 特点 其中分别为正格点位矢和倒格点位矢 4 倒格矢与正格中晶面族 h1h2h3 正交 且其长度为 设ABC为晶面族 h1h2h3 中离原点最近的晶面 ABC在基矢上的截距分别为 由图可知 晶面间距 2 证明的长度等于 由平面方程 得 在晶胞坐标系中 晶体结构 1 1 2 与晶体中原子位置相对应 2 与晶体中一族晶面相对应 3 是与真实空间相联系的傅里叶空间中点的周期性排列 3 是真实空间中点的周期性排列 4 线度量纲为 长度 4 线度量纲为 长度 1 已知晶体结构 如何求其倒格呢 晶体结构 正格 正格基矢 倒格基矢 倒格 例1 下图是一个二维晶体结构图 试画出其倒格点的排列 倒格是边长为的正方形格子 若a1 a2不垂直 如何求得 例2 证明体心立方的倒格是面心立方 体心立方倒格矢 倒格矢 同理得 体心立方的倒格是边长为4 a的面心立方 面心立方倒格矢 例3 证明面心立方的倒格是体心立方 b1 b2 b3正是面心立方的基矢表达方式 问题得证 同理 例4 证明简立方晶面 h1h2h3 的面间距为 证明 简立方 法一 法二 设ABC为晶面族 h1h2h3 中离原点最近的晶面 ABC在基矢上的截距分别为 由平面方程得 隐藏 对于立方晶系 且 隐藏 第二节散射波振幅 本节将从位相差 k r 角度出发 k沿着任意方向 2 或0 分析得到衍射极大位置 结论与布拉格方程相同 除此之外 它还能分析出基元的影响情况 结构因子 导致振幅发生变化 衍射消光 说明 布拉格方程 从 波长角度 n 时本节 从 相位角度 2n 时 布拉格的不足 其中 布拉格方程中 只考虑了相位的影响 本节将作进一步分析 继续考虑散射强度 振幅表示 的影响 描述波动性的三个参数 Asin k r t 推导前作合理假设 空间任何一个 点元 受迫振动后 发射出二级球面波 其振幅 平均强度 正比于该处电子浓度n r 点元产生的球面波 k沿任意方向 x射线从P出发 到目标Q 空间电荷不同点经入射波激发后在各点产生的波函数的情况 以O为原点 参考点 参考电荷量为1 设其经入射波激发后 在Q点产生的波函数为 则点元A经入射波激发后在Q点产生的波函数情况是 k P Q A k k X射线从p出发 到目标Q 相位差来源1 以O为原点 参考点 参考电荷量为1 则入射波经过O衍射和经过P衍射产生的相位差为 K r 注意r相比R0 R很小 故k k 方向可视为不变 相位差来源2 电子浓度 振幅的影响 暂忽略 隐藏 决定散射的诸因素 散射可分为三个层次来理解 1 原子内的散射 2 元胞内不同原子间散射波的干涉 几何和 3 元胞间散射波的干涉 几何和 隐藏 1 可见 n r 的表达形式对分析结果具有重要影响 若n r 均匀分布 常数 若n r 具有波函数的表达形式 附加位相差 点元产生的球面波 波函数差 总强度 对整个空间积分 电子浓度的分布情况必然对散射具有重要影响 1 具有周期性 2 受晶体内部基元分布的影响 因此 若能获得n r 的表达式 并代入 1 式 即可求得晶体的周期性和基元内原子分布对衍射情况的影响 即 F极大 衍射条纹F 0 消光 n r 分布特点 傅立叶函数的说明 1 G是所有能使G R 2n 的所有k的集合 2 系数具体值 略 将来只利用其表达形式即可 无需具体的值 2 n r 具有周期性 傅立叶展开 1 傅立叶函数的说明 1 G是所有能使G R 2n 的所有k的集合 2 系数 若系数 常数 说明有意义 其中 Vc为晶体中一个晶胞的体积 2 3 n r 具有周期性 傅立叶展开 1 隐藏 显然 傅立叶展开式仍只考虑了晶胞周期性的影响 仍未涉及到基元原子的影响 与布拉格反射一样 代入上式得散射表达式得 将 k G 上式得到的结果 与布拉格方程 2dsin n 是等价的 相关证明稍后进行 衍射最大条件 k G n r 表达式2 考虑各基元原子贡献 代入散射表达式 得 2 SG 基元结构因子 r是相对于格点的坐标 R是相对于基元原子的坐标 体心立方 面心立方作为简单立方 惯用晶胞 有可能出现消光条件 即SG 0 形式类似于基元结构因子 只是相对坐标发生改变 多出来的部分 若一基元中含有多个全同原子 则SG有重要意义 2 几何结构因子 消光的方向 结论 第三节劳厄方程 结论应用1 1 k G 劳厄方程 弹性散射中 能量守恒 k G k k G 2 得 数量值 k k 1 Ck k G k k G k G 2 k2 2k G G2 k G 2 k2 2k G G2 G可能含一公因子n 则对应的晶面也是 nh1nh2nh3 根据密勒指数定义可知 该面间距为 h1h2h3 面间距的1 n 劳厄方程与布拉格反射方程关系 根据k2 k 2 2K G G2 2 劳厄方程与布里渊区 本式所代表的几何意义 沿任一倒格点 原点 出发 作它另一倒格点的连线 则作其中垂面 则能满足 发生 衍射的入射波的波矢必然都落在这些中垂面上 即这些中垂面涵括了所有可能发生衍射的入射波的波矢情况 第一布里渊区实质上就是倒格子空间的魏格纳 塞茨晶胞 结论应用2 2 几何结构