《量子力学复习提纲》PPT课件.ppt

2011年物理学院量子力学期终考试总复习课 1 考试时间 第二十周星期三下午2 30 1月19号下午2 30 考试地点 西十二N101 0801班 西十二N102 0802班 考试方式 闭卷 150分钟 注意事项 2 只能提前15分钟左右交卷 3 所有同学都要参加考试 4 不要夹带任何复习资料 西十二N103 0803班 西十二N104 0804班 西十二S101 0805班 考试题型 1 简答题 25分 3 计算题 60分 2 证明题 15分 重要公式 1 本征值和本征态 a 分立谱 2 平均值公式 已经归一化 b 连续谱 a 非简并 在表象下 对两个Fermi子体系 考虑自旋 第一章绪论 1 掌握微观粒子 光和实物粒子 的波粒二象性 并举例说明 如 普朗克黑体辐射理论 光电效应 康普顿效应等 4 掌握玻尔的量子理论的表述 三个假设 5 掌握德布罗意物质波假设的表述 德布罗意关系式 2 掌握普朗克的能量子假设的表述 3 掌握爱因斯坦的光量子假设的表述 总复习要点 波粒二象性是微观粒子的基本禀性 是量子理论的物理基础 由微观粒子具有波粒二象的性质这个基本观念出发 运用物理逻辑推理的思维 可以推论出贯穿全部量子理论的3个基本特征 概率解释 量子化现象 不确定关系 接着 采用5条假设 波函数假设 基本方程假设 算符假设 测量假设 全同性原理假设 就能逻辑地支撑起非相对论量子理论框架 四个飞跃 第二章波函数和薛定谔方程 9 掌握薛定谔方程和定态薛定谔方程 1 掌握定态的概念 定态的性质 11 掌握解一维无限深势阱 能级 归一化波函数 的步骤和方法 2 掌握束缚态和非束缚态的概念 一维束缚定态的性质 6 掌握波函数的物理内涵 波函数的模平方的物理意义 波函数应满足的标准条件 12 掌握一维线性谐振子系统哈密顿量 能级 波函数以及宇称的特点 3 掌握简并态 非简并态 和简并度的概念 4 掌握宇称 偶宇称和奇守称的概念 5 掌握基态 激发态的概念 10 掌握计算几率流密度矢量的方法 7 掌握波函数统计解释的表述及物理意义 8 掌握态迭加原理的表述及物理意义 几个重要概念 两个原理 两个假设 两个模型 第三章量子力学中的力学量 5 掌握动量算符及其本征函数 本征值 1 掌握算符基本假定的表述 物理上可观测量应该对应什么样的算符及原因 9 掌握坐标 动量及角动量算符的对易关系式 6 掌握球坐标下角动量z分量算符的表达式 并能解其本征值方程 7 掌握角动量平方算符的本征值 本征函数 8 掌握氢原子在波函数所描述的状态下的能级 角动量平方 角动量z分量的值 能级简并度以及宇称的特点 10 掌握系统在某一状态下求力学量平均值的方法 直接计算积分 或通过求该状态在力学量本征函数展开式的方法 或H F定理 11 掌握若两个或多个力学量具有一组共同本征函数集 且组成完全系 则算符间相互对易 反之亦然 力学量的完全集合的概念 12 掌握测不准关系的主要内容 均方偏差 均方根偏差的计算公式 2 掌握求力学量可能取值及相应概率的方法 测量基本假定 两个假设 两个定理 3 掌握厄密算符的定义 厄密算符的性质 4 掌握守恒量的定义 守恒量的性质 守恒量与定态的区别 两个定义 四个算符 两类公式 第四章态和力学量的表象 1 掌握态的表象的概念 2 掌握算符的矩阵表示 表示力学量算符的矩阵都是厄密矩阵 3 掌握算符在其自身表象中是一个对角矩阵 对角元即算符的本征值 4 掌握算符可以用幺正变换从一个表象变换到另一个表象 本征值 对易关系 迹不变 5 掌握由算符矩阵求其本征值和本征矢的方法 6 掌握湮灭算符 产生算符 粒子数算符和占有数表象的描述方法 2 掌握希尔伯特空间 态空间 的概念 第五章微扰理论 1 掌握非简并定态微扰论求能量的一级 二级微扰修正和波函数一级修正的方法 微扰论的适用条件 3 掌握斯塔效应产生的原因 6 掌握光的发射与吸收三种基本过程 2 掌握简并定态微扰论求能量的一级微扰修正和零级波函数的方法 4 掌握黄金费米规则的表述内容 5 掌握态密度的概念 第六章散射 2 两种基本方法 分波法 玻恩近似法的精髓和适用范围 1 三个基本概念 微分散射截面 总散射截面 散射振幅 第七章自旋与全同粒子 3 掌握电子自旋算符的对易和反对易关系式 4 掌握电子自旋算符及其本征态和本征值 5 掌握泡利矩阵 8 掌握全同粒子的概念 全同性原理的表述内容 10 掌握自旋单态与三重态的表达式 6 掌握简单塞曼效应 复杂塞曼效应和光谱的精细结构产生的原因 1 掌握提出电子自旋的实验根据 2 掌握电子自旋假设的表述内容 9 掌握波色子和费米子的概念以及全同波色子和费米子波函数的对称性要求 7 掌握无耦合表象和耦合表象的描述方式 11 掌握仲氦和正氦的定义及其性质差异大 转换效率低的原因 精细结构 反常塞曼效应 正常塞曼效应 例5 第三章 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么 并写出两者满足的不确定关系 1 简答题范例 例2 第二章 简述波函数的基体假定 例4 第三章 物理上可观测量应该对应什么样的算符 为什么 答 微观体系的状态被一个波函数完全描述 从这个波函数可以得出体系所有的性质 波函数一般应满足连续性 有限性和单值性三个条件 例3 第二章 波函数是用来描述什么的 的物理含义 答 波函数是用来描述体系量子状态的复函数 表示在t时刻r附近单位体积内找到粒子的概率 答 物理上可观测量对应线性厄米算符 线性是态叠加原理要求的 厄米算符的本征值是实数 可与 实数 观测值比较 答 对易关系为 不确定关系为 例1 第一章 简述普朗克的能量子假设 答 对于一定频率的电磁辐射 物体只能以为单位吸收或发射它 2 证明题范例 例1 第二章 证明 一维束缚定态 能级非简并 相应的能量本征函数总可以取为实函数 在量子力学中 如不作特别的声明 都假定势能取实函数 即 如果满足定态Schr dinger方程 则也满足定态Schr dinger方程 根椐前面已证明的结论 一维束缚定态 能级非简并 即 于是有 例2 第三章 证明厄密算符的本征值为实数 证 若 由厄米算符的定义得 例3 第三章 证明在态中 和的平均值等于零 3 计算题范例 例1 设体系的哈密顿算符为 利用适当的变换求出体系的能量本征值和相应的本征态 解 3 将哈密顿算符改写为 进而可知能量本征值为 显然 构成力学量完全集 且其共同本征函数系为 于是 相应的本征态为球谐函数 例2 若粒子处于状态 求 1 在上分别测量和的可能取值与相应的取值概率 2 在上同时测量和 测得和的概率 3 先在上测量得到后 紧接着测量的可能取值与相应的取值概率 4 先在上测量得到后 紧接着测量的可能取值与相应的取值概率 解 首先 判断是否是归一化的状态 由 知 其余的 于是有 所以已经是归一化的状态 其次 计算各种条件之下各力学量的可能取值和取值概率 1 球谐函数是算符和的共同本征函数 2 因为算符与是对易的 所以两者有共同本征函数系 并且可以同时取确定值 相应的取值概率分别为 3 在状态上测量得后 状态已经变到的本征态上 而它恰好是的对应本征值的本征态上 所以这时再测量必将得到确定值 或者说 测量值为的概率是1 但是 由于在状态上测量得的概率为 所以从出发测得的值为的概率应是 4 在状态上测量后 使得状态变到一个新的状态 为了求出在上的可能取值及相应的取值概率 必须将归一化 即令 于是由 归一化后的为 知 在状态上测量的可能取值为和的取值概率分别为 而从状态出发 相应的取值概率分别为 例3 一维无限深势阱 中的粒子处于状态 求 1 粒子处于内的概率 2 求此时测粒子能量得到的可能值 相应的概率及能量的平均值 解 1 首先对波函数归一化得 所以此系统得归一化波函数为 是定态波函数 所以 粒子处在的概率 2 能量的平均值为 概率为 其中 为无限深势阱中粒子能量的本征函数 因此 是和两态的叠加 能量的可能测量值为 或 测量值为和的几率各为 例4 已知氢原子处于由如下波函数描述的状态 其中为归一化径向波函数 量子数 1 试写出电子自旋向上的几率 2 试写出电子在方向上的立体角元中被测到的几率 3 试验证该态均不是轨道角动量z分量 自旋z分量的本征态 但是总角动量的z分量的本征态 4 试求该态下 的平均值 5 试求该态下的电流密度以及总礠矩的z分量的平均值 解 先求题给态的归一化系数 由于的归一化 故将题给态归一化为 2 电子在方向上的立体角元中被测到的几率为 1 电子自旋向上的几率为 或 3 将 分别作用到态上 有 1 上式意味着是总角动量的z分量的本征态 本征值为 2 均不为零 且与不是同一个态 可见不是轨道角动量z分量 自旋z分量的本征态 然而由上面两式结果得 可见这与的本征值为一致 4 由上面 1 2 两式 并注意归一化系数得 其中 为粒子的第n个能量本征态 1 求t 0时能量的取值概率及平均值 2 求t 0任意时刻的波函数 3 求t 0时能量的取值概率及平均值 解 非对称一维无限深方势阱中粒子的本征解为 阱内 可知归一化常数为 于是归一化后的波函数为 能量的取值概率为 能量取其它值的概率皆为零 t 0时能量的平均值为 2 因为哈密顿算符不显含时间 故t 0时的波函数为 3 由于哈密顿量是守恒量 而守恒量的的取值概率与平均值皆不随时间改变 换句话说 只要计算出t 0时能量的取值概率及平均值 就知道了t 0时能量的取值概率及平均值 所以t 0时能量的取值概率及平均值与t 0时相同 2 用微扰理论求能量至二级修正 得到 解 1 H的本征值是方程的根 1 求H的精确本征值 2 用微扰理论求能量至二级修正 这里是一个实数 例6 考虑一个三维状态空间问题 在取定的一组正交基下哈密顿算符为 其中 能量至二级修正公式 本征态为 的本征值为 由题已经给出了能量的一级修正 即 对于能量的二级修正 所以 准确到二级近似的能量本征值为 例7 设体系的哈密顿量的矩阵表示为 解 其中 是对角的 因此 题中所给就是哈密顿量在表象中的矩阵表示 零级近似能量为 其中 用微扰论求能级和波函数 对于非简并能级 波函数精确到项 能级精确到项 对于简并能级 波函数求到零级近似 能级求到项 不简并 和构成一个二重简并能级 零级近似波函数为 和是同一个能级的两个简并态 对于能级可用非简并微扰论 对于和能级 要用简并微扰论 在以 为基组构成的子空间中 的矩阵就是原来的矩阵去掉第一行和第一列后剩下的子矩阵 为使对角化 应解本征值方程 久期方程为 解之 得 这就是能量的一级修正 从而以和分别代回本征值方程 即得 的两组解 归一化后得到两个新基失 例8 已知体系的哈密顿量在某力学量表象中表示为 其中 试用微扰方法求解定态 要求准确到一级近似 和相应的能量 要求准确到二级近似 解 将题给体系的哈密顿量分解为 其中 由的方程解得零级能量 是非简并 其相应的零级能量本征态为 1 零级非简并 故按非简并微扰计算 我们需要计算微扰项在零级能量本征态空间的矩阵元 如下先计算 类似地 我们可以得到 以及 2 的厄米性 其余的项按给出 按非简并微扰论能量精确到二级和态矢量精确到一级近似的计算公式为 例9 考虑一个系统的哈密顿量 在选定的一组正交归一基下的矩阵形式为 解 1 能量的可能测值就是的能量本征值 即求解久期方程 因此和 其中是简并的 2 例10 两维谐振子的哈密顿量表示为 1 求出系统的能级和能量本征态 2 当时 给出第一 二激发态的简并度 3 当时 总结出任意能级的简并度 解 1 已知一维谐振子的能量本征值和本征态为 归一化常数 则系统的本征函数为 第二激发态 简并度为3 其中 例11 耦合谐振子的Hamilton量为 其中 和 分属于不同的自由度 设 试求这耦合谐振子的能级 1 2 解 如没有耦合项 就成为二维各向同性谐振子 Hamilton量为 用分离变量法即可化成两个独立的一维谐振子问题 能级和本征函数为 3 说明 哈密顿量为相加形式 则对应着总本征值为各分量相加 本征态为各分量相乘 其中为一维谐振子的能量本征函数 4 5 容易证明 7 因此 Hamilton量可以表示成 其中 8 9 式 8 正是两个独立谐振子 频率 能量算符之和 因此 能量本征值和本征函数为 10 11 首先 计算 解法一 采用粒子数表象 坐标算符和动量算符用消灭算符和产生算符表示 其次 计算 于是有 一维谐振子Hamilton量 利用H F定理计算 取 由H F定理 得到 取 由H F定理 得到 于是有 显然式 1 和 2 是一致的 测不准关系的普通结论是 2 1 例13 一个电子被禁闭在线性谐振子基态 若在此态上有 估算激发此电子到第一激发态所需要的能量 计算结果用eV表示 解 线性谐振子的能量本征函数和能量本征值是 利用H F定理计算 取 由H F定理 利用波函数 的宇称性得到 对于线性谐振子基态而言 利用已知条件及 得到 于是有 由基态激发到第一激发态所需的能量为 例14 设厄米算符满足 分别在A和B表象中写出算符的矩阵表示 并求出它们的本征值和本征函数 最后给出由A表象到B表象的幺正变换矩阵 解 设算符满足本征方程 用算符左乘上式两端 并利用 得到 于是有 所以 算符在自身表象中的矩阵形式为 同理可知 算符在自身表象中的矩阵形式为 设算符在A表象中为 利用关系式 知 求出 利用算符的厄米性质 得到 再利用关系式 即 式中为任意实常数