【立体设计】高考数学 第4章 第8节 应用举例知识研习（福建版）.ppt

1 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线的角叫仰角 在水平线的角叫俯角 如图 向上方 向下方 2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 3 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 南偏西等其他方向角类似 2 解三角形应用问题的基本思路是 实际问题 实际问题 数学问题 3 解三角形应用问题的一般步骤如下 1 准确理解题意 分清已知与所求 2 根据题意画出示意图 3 建立数学模型 合理运用 正确求解 并作答 正弦定理和余弦定理 1 从a处望b处的仰角为 从b处望a处的俯角为 则 的关系为 a b c 90 d 180 解析 由仰角与俯角的定义可知 答案 b 2 若点p在q的北偏东44 则q在p的 a 东偏北46 b 东偏北44 c 南偏西44 d 西偏南44 解析 画图即可解得 答案 c 3 在200米高的山顶上 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30 60 则塔高为 米 4 如图 为了测量河的宽度 在一岸边选定两点a b望对岸的标记物c 测得 cab 30 cba 75 ab 120m 则这条河的宽度为 m 解析 因为 cab 30 cba 75 则 acb 180 30 75 75 所以ac ab 120m 答案 60 1 熟悉三角形中有关公式 如正弦定理 余弦定理 三角形内角和定理 有时也会用到周长公式和面积公式 2 熟悉两角和与差的正弦 余弦 正切及二倍角的正弦 余弦 正切公式等 3 深刻理解解三角形的知识在实际生活中的广泛应用 增强应用数学的意识 培养分析问题和解决问题的能力 4 解三角形应用题常见的几种情况 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个 或两个以上 三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然后逐步求出其他三角形中的解 有时需设出未知量 由几个三角形列出方程 解方程得出所要求的解 即时巩固详解为教师用书独有 考点一测量距离问题 案例1 2009 辽宁 如图所示 a b c d都在同一个与水平面垂直的平面内 b d为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75 30 于水面c处测得b点和d点的仰角均为60 ac 0 1km 试探究图中b d间距离与另外哪两点间距离相等 然后求b d的距离 计算结果精确到0 01km 关键提示 根据图中的已知条件求出一些点与点之间的距离 结合图形和计算出的距离作出判断 然后把b d间距离的计算转化为找到的与b d间距离相等的另外两点之间的距离 解 在 acd中 dac 30 adc 60 dac 30 所以cd ac 0 1 又 bcd 180 60 60 60 故cb是 cad底边ad的中垂线 所以bd ba 点评 要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中 通过正弦定理或余弦定理进行计算 但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长 即在解决问题时 必须把我们已经知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中 或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中 这是我们分析这类问题的一个基本出发点 即时巩固1 某单位在地震救灾中 需要在a b两地之间架设高压电线 测量人员在相距6000m的c d两地 a b c d在同一个平面上 测得 acd 45 adc 75 bcd 30 bdc 15 如图 假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因 实际所需电线长度大约应该是a b距离的1 2倍 问施工单位至少应该准备多长的电线 考点二测量高度问题 案例2 2011届 温州中学月考 如图 a b是水平面上的两个点 相距800m 在a点测得山顶c的仰角为25 bad 110 又在b点测得 abd 40 其中d是点c在水平面上的垂足 试求山高cd 精确到1m 关键提示 这是一个立体图形 应把问题转化为 acd中求cd边长的问题 解 在 abd中 adb 180 110 40 30 由正弦定理得 即时巩固2 如图所示 在地面上有一旗杆op 为测得它的高度h 在地面上取一基线ab ab 20m 在a处测得p点的仰角 oap 为30 在b处测得p点的仰角 obp 为45 又测得 aob 60 试求旗杆的高度 精确到0 1m 关键提示 假设沿cd方向行驶能最快截获走私船 并记截获地点为d 构造 abc和 bcd 利用正弦定理和余弦定理解此三角形 即时巩固3 沿一条小路前进 从a到b 方位角是50 距离是470m 从b到c 方位角是80 距离是860m 从c到d 方位角是150 距离是640m 试画出示意图 并算出从a到d的方位角和距离 解 如图所示 连结ac 在 abc中 abc 50 180 80 150 由余弦定理得 考点四创新应用 案例4 2011届 合肥一中月考 如图 海中小岛a周围38海里内有暗礁 船正向南航行 在b处测得小岛a在船的南偏东30 该船航行30海里后 在c处测得小岛a在船的南偏东45 如果该船不改变航向 继续向南航行 有无触礁的危险 关键提示 船继续向南航行 有无触礁的危险 取决于a到直线bc的距离与38海里的大小 于是我们只需先算出ac 或ab 再算出a到bc所在直线的距离 将它与38海里比较即得到答案 解 在 abc中 bc 30 b 30 acb 180 45 135 所以 a 15 15 1 732 1 40 98 海里 这个距离大于38海里 所以该船继续向南航行无触礁的危险 即时巩固4 外国船只除特许外 不得进入离我国海岸线dnmile以内的区域 如图所示 设a和b是我国的观测站 a与b之间的距离为snmile 海岸线是过a b的直线 一外国船只在p点 在a站测得 bap 同时在b站测得 abp 问 及 满足什