自动控制原理课件 高红霞2015qt第五章 根轨迹分析法（一）.ppt

第五章根轨迹分析法 华南理工大学自动化科学与工程学院 5 1引言 根轨迹方程 绘制 10个规则 根轨迹扩展应用 根轨迹 开环零 极点对根轨迹的影响分析 改变开环零极点 提高系统稳态或动态性能 本章知识体系 MATLAB绘制根轨迹图 5 2根轨迹的基本概念 例5 1 5 2根轨迹的基本概念 参数的变化 根的变化 影响系统的动态特性 5 2根轨迹的基本概念 根轨迹 当系统开环传递函数的某一参数从0变化到无穷时 系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹 根平面 专一用来描述根大小的复平面 根轨迹图 根平面加上根轨迹 K一变 一组根变 K一停 一组根停 5 2根轨迹的基本概念 根轨迹方程 典型反馈控制系统 s到底是什么 式中Kg为系统的根迹增益 zi为系统的开环零点 pj为系统的开环极点 上述方程又可写为 由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点 所以当系统的结构参数 如Kg在某一范围内连续变化时 由上式制约的s在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹 因此上式称之为系统的根轨迹方程 根轨迹的幅值方程 根轨迹的幅角方程 式中 k 0 1 2 全部整数 前式通常称为180 根轨迹 根据这两个条件 可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点对应的Kg值 幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件 因此 绘制根轨迹时 只需要使用幅角条件 而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时 才使用幅值条件 幅值条件和相角条件 相角条件 相角以逆时针方向为正 顺时针方向为负 幅值条件和相角条件 幅值条件与相角条件的应用 1 09 j2 07 2 26 2 11 2 072 K 6 0068 92 49o 66 27o 78 8o 127 53o 180o 绘制根轨迹的基本法则1 2 3 4 规则1根轨迹的连续性闭环特征方程根是根轨迹增益Kg的连续函数 根轨迹是连续的直线或曲线 规则2根轨迹的分支数 特征根个数 系统阶数n 规则4根轨迹起点与终点根轨迹的起点 Kg 0时 位于开环传递函数的极点处 根轨迹的终点 Kg 时 止于开环传递函数的零点 规则3根轨迹的对称性实系数特征方程的根必为实数或共轭复数 必对称于实轴 A 另有n m条根轨迹的终点将在无穷远处 可以认为有n m个无穷远处的开环零点 Q 在实际系统中 开环传函其中m n 有n条根轨迹起点为开环极点处 有m条根轨迹终点在开环零点处 那其他n m条根轨迹的终点在哪里 j K 0 K 0 K K 0 法则5实轴上的根轨迹分布实轴上的某一区域 若其右边开环实数零 极点个数之和为奇数 则该区域必是根轨迹 奇是偶不是 证明 设零 极点分布如图示 在实轴上取一测试点s0 由图可见 复数共轭极点到实轴s0点的向量幅角和为2 复数共轭零点如此 因此在确定实轴上的根轨迹时 可以不考虑复数零 极点的影响 s0点左边开环实数零 极点到s1点的向量幅角均为零 也不影响实轴上根轨迹的幅角条件 而s0点右边开环实数零 极点到s1点的向量幅角为 如果s0是根轨迹 则只有当零极点数目之和为奇数时 才满足幅角条件 j i 2k 1 即如果s0所在的区域为根轨迹 其右边开环实数零 极点个数之和必须为奇数 法则6根轨迹的渐近线根据法则2 当开环传递函数中m n时 将有n m条根轨迹分支沿着与实轴夹角为 a 交点为 a的一组渐近线趋于无穷远处 且有 k 0 1 n m 1 例5 2已知三阶系统的开环传递函数试在平面上确定系统根轨迹的渐近线 解 系统无零点 而有三个开环极点 p1 0 p2 3和 p3 4 因此有n m 3条根轨迹分支趋向无穷远 渐近线在实轴上的交点为和n m 3个渐近线与实轴的夹角为 求取根轨迹的渐近线 法则7根轨迹分离点和分离角两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点 称为根轨迹的分离点 会合点 分离点的性质 1 分离点是系统闭环重根 2 由于根轨迹是对称的 所以分离点或位于实轴上 或以共轭形式成对出现在复平面上 3 实轴上相邻两个开环零 极 点之间 其中之一可为无穷零 极 点 若为根轨迹 则必有一个分离点 4 在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹 该段无分离点或分离点成对出现 用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点 由此 根轨迹的分离点或会合点 重根必然满足如下式子 分离点上 根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角 用下式计算 k为分离点处根轨迹的分支数 例5 2已知三阶系统的开环传递函数试在平面上确定系统根轨迹的渐近线 解 系统无零点 而有三个开环极点 p1 0 p2 3和 p3 4 因此有n m 3条根轨迹分支趋向无穷远 渐近线在实轴上的交点为和n m 3个渐近线与实轴的夹角为 用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点 用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点 根据规则5可知 闭环系统根轨迹在实轴上的区间为 4 和 3 0 显然 点s1 3 5352在实轴上的根轨迹区间之外 故根轨迹分离点必位于点s2 1 1315处 例已知系统开环传函为 试绘制系统的根轨迹 解 d 2 5左 0 67右 0 4d 2 01左 0 99右 99 49d 2 25左 0 8右 3 11d 2 47左 0 68右 0 65 d 2 47 绘制根轨迹的法则8 与虚轴的交点 例5 4考虑开环传递函数 方法