专题1.递推关系与通项公式.ppt

第二章数列 专题1递推关系与通项公式 要点预览 递推关系1 类等差型an 1 an f n 递推关系2 类等比型an f n an 1 递推关系3 一阶常数型an pan 1 q n 2 其中p q为常数 pq 0 p 1 递推关系4 一阶后指数函数型an pan 1 rqn n 2 其中pqr 0 p q r为常数 型 递推关系5 一阶后一次函数型an pan 1 qn r n 2 其中pq 0 p q为常数 递推关系7 二阶常数型an 1 pan qan 1 pq 0 递推关系6 一阶倒数型pan 1 qan ran 1an 0 pqr 0 题型分类 深度剖析 题型1 类等差型an 1 an f n 递推关系 例1 1 已知数列 an 中 a1 20 an 1 an 2n 1 n N 则通项公式an n2 2n 21 2 已知 an 中 a1 1 an 1 an 2n 则an 2n 1 方法1 迭代法 an an 1 f n 1 an 2 f n 2 f n 1 a1 f 1 f 2 f n 方法2 累加法 an an an 1 an 1 an 2 a3 a2 a2 a1 a1 解题指导 类等差型an 1 an f n 递推关系 f n 1 f n 2 f 2 f 1 a1 题型2 类等比型an f n an 1递推关系 例2 1 已知Sn为数列 an 的前n项和 a1 1 Sn n2 an 求数列 an 的通项公式 方法1 迭代法 an an 1 f n 1 an 2 f n 2 f n 1 a1 f 1 f 2 f n 方法2 累乘法 解题指导 类等比型an an 1 f n 1 递推关系 变式探究 答案 1 设f x a1 a2x a3x2 anxn 1 f 0 0 5 数列 an 满足f 1 n2an n N 则数列 an 的通项an等于 题型3 递推关系形如an pan 1 q n 2 型 其中p q为常数 pq 0 p 1 例3 1 数列 an 中 a1 1 an 1 an 1 求an 2 在数列 an 中 若a1 1 an 1 2an 3 n 1 则该数列的通项an 解法指导 一阶常数型递推关系 an pan 1 q n 2 p q为常数 pq 0 p 1 方法1 待定系数法 递推式可化为an 1 A p an A 方法2 阶差法 递推式阶差为an 1 an p an an 1 题型4 递推关系形如an pan 1 rqn n 2 型 其中pqr 0 p q r为常数 型 例4 1 数列 an 满足an 4an 1 2n n 2 n N 且a1 2 求an 2 已知数列 an 满足a1 1 an 1 2an 2n 则an 解法小结 一阶指数函数型递推关系 方法1 同除法 递推式可化为 方法2 待定系数法 递推式可化为an xqn p an 1 xqn 1 an pan 1 rqn n 2 pqr 0 p q r为常数 或者 变式探究 1 已知数列 an 满足an 1 2an 3 2n a1 2 求an 题型5 递推关系如an pan 1 qn r n 2 型 其中pq 0 p q为常数 例5 已知数列 an 中 a1 0 5 点 n 2an 1 an 在直线y x上 其中n N 求数列 an 的通项 解法小结 一阶一次函数型递推关系 方法 待定系数法 递推式可化为an xn y p an 1 x n 1 y an pan 1 qn r n 2 pq 0 p q为常数 1 在数列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n N 求数列 an 的前n项和Sn 1 由题设an 1 4an 3n 1 得an 1 n 1 4 an n n N 数列 an n 是等比数列且首项为1 且公比为4 an n 4n 1 即an 4n 1 n 变式探究 解析 题型6 递推关系如pan 1 qan ran 1an 0 pqr 0 型 例7 数列 an 满足a1 1 n 2时 an 1 an 2an 1an 求通项公式an 解析 an 1 an 2an 1an 解法指导 方法 倒数法 递推式可化为 递推关系pan 1 qan ran 1an 0 pqr 0 变式探究 1 已知数列 an 满足a1 1 求an 答案 2 设数列 an 满足a1 2 an 1 n N 求an 答案 3 数列 an 中 a1 1 an 1 求an 答案 4 已知数列 an 满足a1 1 an 1 求an 答案 题型7 递推关系形如an 1 pan qan 1 pq 0 型 例8 在数列 an 中 a1 2 a2 3 an 2 3an 1 2an 求an 解法指导 二阶型递推关系 方法 待定系数法 递推式可化为a