世纪金榜二轮专题辅导与练习专题六第二讲.ppt

第二讲椭圆 双曲线与抛物线 一 主干知识1 圆锥曲线的定义 2 圆锥曲线的标准方程 y2 2px x2 2py 二 重要性质1 椭圆 双曲线中a b c之间的关系 1 在椭圆中 离心率为 2 在双曲线中 离心率为 a2 b2 c2 c2 b2 a2 2 双曲线的渐近线方程与焦点坐标 1 双曲线 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点F1 F2 2 双曲线 a 0 b 0 的渐近线方程为 焦点坐标F1 F2 c 0 c 0 0 c 0 c 3 抛物线的焦点坐标与准线方程 1 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标为 准线方程为 2 抛物线x2 2py p 0 的焦点坐标为 准线方程为 2013 广东高考改编 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F 1 0 离心率等于则C的方程是 解析 设C的方程为 a b 0 则c 1 C的方程是答案 2 2012 湖南高考改编 已知双曲线C 的焦距为10 点P 2 1 在C的渐近线上 则C的方程为 解析 由焦距为10 知2c 10 c 5 将P 2 1 代入得a 2b a2 b2 c2 5b2 25 b2 5 a2 4b2 20 所以方程为答案 3 2013 济南模拟 抛物线y2 12x的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为 解析 抛物线y2 12x的准线为x 3 双曲线的两渐近线为和令x 3 分别解得所以三角形的底为高为3 所以三角形的面积为答案 4 2013 江苏高考 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的标准方程为 a 0 b 0 右焦点为F 右准线为l 短轴的一个端点为B 设原点到直线BF的距离为d1 F到l的距离为d2 若则椭圆C的离心率为 解析 由原点到直线BF的距离为d1得因F到l的距离为d2故又所以又解得答案 5 2013 宿迁模拟 已知双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线的斜率为且右焦点与抛物线的焦点重合 则该双曲线的方程为 解析 因为的焦点为所以a2 b2 3 所以双曲线方程为答案 热点考向1圆锥曲线的定义 标准方程与性质 典例1 1 2013 天津模拟 已知抛物线y2 2px p 0 上一点M 1 m m 0 到其焦点F的距离为5 则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为 2 2013 北京模拟 已知双曲线的中心在原点 一个焦点为点P在双曲线上 且线段PF1的中点坐标为 0 2 则此双曲线的方程是 3 2013 长沙模拟 椭圆C a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 若椭圆C上恰好有6个不同的点P 使得 F1F2P为等腰三角形 则椭圆C的离心率的取值范围是 解题探究 1 圆M方程的求解思路 据点M到其焦点F的距离为5 由抛物线的定义得p 根据点M 1 m m 0 在抛物线y2 2px上 得点M 根据圆M与y轴相切得圆M的半径为r 8 1 4 1 2 根据线段PF1的中点坐标为 0 2 能得到什么 提示 得P点坐标 4 且P与另一焦点连线垂直于x轴 从而求得PF1 PF2的值 进而据定义得2a 3 求椭圆C离心率的关键是什么 提示 关键是据题设条件构建关于a c的不等式 进而得到关于e的不等式求解 解析 1 由抛物线的定义得解得p 8 所以抛物线的方程为y2 16x 又点M 1 m 在此抛物线上 所以有m2 16 且m 0 得m 4 即M 1 4 又圆M与y轴相切 故其半径为r 1 所以圆的方程为 x 1 2 y 4 2 1 答案 x 1 2 y 4 2 1 2 由双曲线的焦点可知c 线段PF1的中点坐标为 0 2 所以设右焦点为F2 则有PF2 x轴 且PF2 4 点P在双曲线右支上 所以所以PF1 PF2 6 4 2 2a 所以a 1 b2 c2 a2 4 所以双曲线的方程为答案 3 当点P位于椭圆的两个短轴端点时 F1F2P为等腰三角形 此时有2个 若点P不在短轴的端点时 要使 F1F2P为等腰三角形 则有PF1 F1F2 2c 或PF2 F1F2 2c 此时PF2 2a 2c 所以有PF1 F1F2 PF2 即2c 2c 2a 2c 所以3c a 即 又此时点P不在短轴上 所以PF1 BF1 即2c a 所以所以椭圆的离心率满足答案 方法总结 1 圆锥曲线定义的应用 1 已知椭圆 双曲线上一点及焦点 首先要考虑使用椭圆 双曲线的定义求解 2 灵活应用抛物线的定义 将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化 2 求圆锥曲线标准方程常用的方法 1 定义法 2 待定系数法 顶点在原点 对称轴为坐标轴的抛物线 可设为y2 2ax或x2 2ay a 0 避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论 此时a不具有p的几何意义 中心在坐标原点 焦点在坐标轴上 椭圆方程可设为双曲线方程可设为这样可以避免讨论和烦琐的计算 3 求椭圆 双曲线离心率的思路根据已知条件先确定a b c的等量关系 然后把b用a c代换 得到关于的齐次方程 再求的值 在双曲线中由于故双曲线的渐近线的斜率与离心率密切相关 4 双曲线的渐近线 1 求法 令双曲线标准方程的左边为零 分解因式可得 2 用法 可得的值 利用渐近线方程设所求双曲线的方程 变式训练 2013 四川高考改编 从椭圆 a b 0 上一点P向x轴作垂线 垂足恰为左焦点F1 A是椭圆与x轴正半轴的交点 B是椭圆与y轴正半轴的交点 且AB OP O是坐标原点 则该椭圆的离心率为 解题提示 解题时要注意两个条件的应用 一是PF1与x轴垂直 二是AB OP 解析 根据题意可知点P c y0 代入椭圆的方程可得根据AB OP 可知解得答案 热点考向2圆锥曲线中点 线 参数等的存在性问题 典例2 2013 枣庄模拟 已知椭圆C O x2 y2 b2 点A F分别是椭圆C的左顶点和左焦点 点P是 O上的动点 1 若P 1 PA是 O的切线 求椭圆C的方程 2 是否存在这样的椭圆C 使得恒为常数 如果存在 求出这个数及C的离心率e 如果不存在 说明理由 解题探究 1 求椭圆C的方程的思路 由点P 1 在 O上得b2 由PA是 O的切线 那么kPA 得a 2 求解存在性问题的三个步骤 列式 先假设存在 根据题设条件由点P在x轴上的特殊位置得 求解 解此方程 方程中含有绝对值 此时正确的处理方式为 结论 得出椭圆C 填 存在 不存在 4 4 分类讨论 存在 解析 1 由P 1 在 O x2 y2 b2上 得b2 1 3 4 直线PA的斜率kPA 而直线PA的斜率所以解得a 4 所以a2 16 椭圆C的方程为 2 假设存在椭圆C 使得恒为常数 椭圆C的半焦距为c 当P b 0 时 则有当P b 0 时 依假设有 当c b 0时 有所以 a b b c a b c b 化简整理得a c 这是不可能的 当c b 0时 有所以 a b b c a b b c 化简整理得ac b2 0 所以c2 a2 ac 0 两边同除以a2 得e2 e 1 0 解得 0 1 舍去 可见 若存在椭圆C满足题意 只可能离心率 设P x y 为 O x2 y2 b2上任意一点 则由上 c2 a2 ac 0 所以a2 c2 ac 所以从而代入 式得所以存在椭圆C 这个数为椭圆离心率为 方法总结 存在性问题求解的思路及策略 1 思路 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 2 策略 当条件和结论不唯一时要分类讨论 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 当条件和结论都不知 按常规法解题很难时 可先由特殊情况探究 再推广到一般情况 变式训练 2013 盐城模拟 已知椭圆C1 a b 0 过点 2 且它的离心率直线l y kx t与椭圆C1交于M N两点 1 求椭圆的标准方程 2 当时 求证 M N两点的横坐标的平方和为定值 3 若直线l与圆C2 x 1 2 y2 1相切 椭圆上一点P满足 0 求实数 的取值范围 解析 1 椭圆的标准方程为 a b 0 由已知得 所以椭圆的标准方程为 设M x1 y1 N x2 y2 则为定值 3 因为直线l y kx t与圆 x 1 2 y2 1相切 所以把y kx t代入并整理得 3 4k2 x2 8ktx 4t2 24 0 设M x1 y1 N x2 y2 则有x1 x2 y1 y2 kx1 t kx2 t k x1 x2 2t 因为 x1 x2 y1 y2 所以 又因为点P在椭圆上 所以因为t2 0 所以所以0 2 2 所以 的取值范围为 热点考向3与圆锥曲线有关的证明问题 典例3 2013 重庆模拟 已知椭圆的中心在原点 焦点在x轴上 离心率为且经过点M 4 1 直线l y x m交椭圆于不同的两点A B 1 求椭圆的方程 2 求m的取值范围 3 若直线l不过点M 求证 直线MA MB的斜率互为相反数 解题探究 1 设椭圆方程为 a b 0 由得 进而由M 4 1 在椭圆上 得a2 b2 2 求m的取值范围的关键是 3 要证该结论成立 只需证明直线MA MB的斜率的和为 即可 a2 4b2 20 5 直线与椭圆方程联立消元所得 一元二次方程的判别式 0 0 解析 1 设椭圆的方程为 a b 0 因为所以a2 4b2 又因为M 4 1 在椭圆上 所以解得b2 5 a2 20 故椭圆方程为 2 将y x m代入并整理得5x2 8mx 4m2 20 0 8m 2 20 4m2 20 0 解得 5 m 5 3 设直线MA MB的斜率分别为k1和k2 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 x1x2 k1 k2 上式分子 x1 m 1 x2 4 x2 m 1 x1 4 2x1x2 m 5 x1 x2 8 m 1 所以直线MA MB的斜率互为相反数 互动探究 若直线l y x m与本例椭圆只有一个公共点 则m的值如何 解析 由典例3 2 解析知 8m 2 20 4m2 20 0 解得m 5 方法总结 1 直线与圆锥曲线位置关系与 的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去一个变量 如y 得出方程Ax2 Bx C 0 1 若A 0 则圆锥曲线可能为双曲线或抛物线 此时直线与圆锥曲线只有一个交点 2 若A 0 则当 0时 直线与圆锥曲线有两个交点 相交 当 0时 直线与圆锥曲线有一个交点 相切 当 0时 直线与圆锥曲线没有交点 相离 注 当曲线为开口向上 下 的抛物线时 常用导数求解其切线问题 2 证明与圆锥曲线有关问题的思路将待证问题转化为与点 线 向量等几何元素或斜率 长度等与数量有关的计算问题求解 变式备选 2013 北京模拟 如图 已知抛物线y2 4x的焦点为F 过点P 2 0 的直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 两点 直线AF BF分别与抛物线交于点M N 1 求y1y2的值 2 记直线MN的斜率为k1 直线AB的斜率为k2 证明 为定值 解析 1 依题意 设直线AB的方程为x my 2 将其代入y2 4x 消去x 整理得y2 4my 8 0 从而y1y2 8 2 设M x3 y3 N x4 y4 则设直线AM的方程为x ny 1 将其代入y2 4x 消去x 整理得y2 4ny 4 0 所以y1y3 4 同理可得y2y4 4 故由 1 得为定值 分类讨论思想 解决圆锥曲线中的含参问题 思想诠释 1 主要类型 1 含有参数二元二次方程表示曲线类型的讨论 2 含有参数的方程 不等式的求解 如求离心率 渐近线方程中焦点位置的讨论 或求解过程中分母是否等于0的讨论等 3 含参数的直线与圆锥曲线位置关系问题的求解 如对直线斜率存在与否的讨论 消元后二次项系数是否为0的讨论 判别式与0的大小关系的讨论 2 解题思路 常常结合参数的意义及对结果的影响 全面分析参数取值引起结论的变化情况分类讨论求解 3 注意事项 1 搞清分类的原因 准确确定分类的对象和分类的标准 要不重不漏 符合最简原则 2 最后要将各类情况进行总结 整合 典例 16分 2013 青岛模拟 设F1 F2分别是椭圆D a b 0 的左 右焦点 过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A B两点 F1到直线AB的距离为3 连结椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4 1 求椭圆D的方程 2 作直线l与椭圆D交于不同的两点P Q 其中P点的坐标为 a 0 若点N 0 t 是线段PQ垂直平分线的一点 且满足求实数t的值 审题 分析信息 形成思路 1 切入点 根据待定系数法求解 关注点 由 距离 为3 面积为4构建关于a b c的方程组求解 2 切入点 分别将用t表示 再根据构建关于t的方程求解 关注点 直线l的斜率不定 需对斜率取值情况分类讨论 解题 规范步骤 水到渠成 1 设F1 F2的坐标分别为 c 0 c 0 其中c 0 由题意得AB的方程为 y x c 因F1到直线AB的距离为3 所以有解得c 3分所以有a2 b2 c2 3 由题意知 2a 2b 4 即ab 2 联立 解得 a 2 b 1 所求椭圆D的方程为 5分 2 由 1 知 P 2 0 设Q x1 y1 当直线l斜率不存在时 由已知显然不合要求 7分当直线l的斜率存在时 设直线斜率为k 则直线l的方程为y k x 2 把它代入椭圆D的方程 消去y 整理得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 由根与系数的关系得 2 x1 则所以线段PQ的中点坐标为 9分 当k 0时 则有Q 2 0 线段PQ垂直平分线为y轴 于是 2 t 2 t 由