【高考风向标】高考数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 文.ppt

第3讲 函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性的定义 1 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为奇函数 奇函数的图象关于 对称 2 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为偶函数 偶函数的图象关于 轴对称 3 通常采用图象或定义判断函数的奇偶性 具有奇偶性的函数 其定义域关于原点对称 也就是说 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称 原点 f x f x f x f x 0 f x f x 0 y f x f x 2 函数的周期性的定义对于函数f x 如果存在一个 t 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的 非零常数 f x t f x 周期 d a 奇函数b 偶函数c 既是奇函数又是偶函数d 非奇非偶函数 c 2 下列函数中 在其定义域内是奇函数的是 c a y轴对称c 坐标原点对称 b 直线y x对称d 直线y x对称 4 设函数f x x2 1 x a 为奇函数 则a 0 5 设f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当 0 x 1时 f x x 则f 7 5 0 5 解析 由f x 2 f x 得f x 4 f x 故f x 是以4为周期的函数 故f 7 5 f 0 5 8 f 0 5 又f x 是 上的奇函数 且当0 x 1时 f x x 所以f 7 5 f 0 5 f 0 5 0 5 考点1判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性 解 1 函数的定义域为x 关于原点对称 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 2 此函数的定义域为 x x 0 由于定义域关于原点不对称 故f x 既不是奇函数也不是偶函数 3 去掉绝对值符号 根据定义判断 故f x 的定义域为 1 0 0 1 关于原点对称 且有x 2 0 故f x 为奇函数 4 函数f x 的定义域是 0 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x f x x 0 故函数f x 为奇函数 5 此函数的定义域为 1 1 且f x 0 可知图象既关于原点对称 又关于y轴对称 故此函数既是奇函数又是偶函数 f x 是奇函数 1 函数的奇偶性是函数的一个整体性质 定义域具有对称性 即若奇函数或偶函数的定义域为d 则x d时都有 x d 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 因此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域 2 分段函数的奇偶性一般要分段证明 3 用定义判断函数的奇偶性的步骤是 定义域 关于原点对称 验证f x f x 下结论 还可以利用图象法或定义的等 互动探究 域均为r 则 b a f x 与g x 均为偶函数c f x 与g x 均为奇函数 b f x 为偶函数 g x 为奇函数d f x 为奇函数 g x 为偶函数 0 1 2010年广东 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义 解析 f x 为偶函数 f x f x 即x2 x a x 2 x a a 0 考点2 利用函数的奇偶性求函数解析式 互动探究 3 2011年广东广州综合测试 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 当x 0时 f x x3 x2 则当x 0时 f x 的解析式为 f x x3 x2 4 2011年安徽 设f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 a a 3 b 1 c 1 d 3 解析 f 1 f 1 2 1 2 1 3 故选a 考点3 函数奇偶性与周期性的综合应用 答案 a 值的方法 关键是通过周期性和奇偶性 把自变量 转化到区间 本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数 52 0 1 上进行求值 互动探究 5 2011年山东 已知f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上 与x轴的交点的个数为 b a 6 b 7 c 8 d 9 解析 因为当0 x 2时 f x x3 x 又因为f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且f 0 0 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 又因为f 1 0 所以f 3 0 f 5 0 故函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为7个 故选b d a a b cc c b a b b a cd c a b 2 x 易错 易混 易漏5 判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题 给出四个函数 y lg 2 x y lg 2 x lg 2 x y lg x 2 x 2 y lg x 2 lg x 2 其中奇函数是 偶函数是 正解 的定义域相同 均为 2 2 且均有f x f x 所以都是奇函数 的定义域为 2 2 且有f x f x 所以为偶函数 而 的定义域为 2 不对称 因此为非奇非偶函数 答案 失误与防范 对函数奇偶性定义的实质理解不全面 对定义域内任意一个x 都有f x f x f x f x 的实质是 函数的定义域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件 对于函数f x 定义域中的任意x 总存在一个常数t t 0 使得f x t f x 恒成立 则t是函数y f x 的一个周期 1 若函数y f x 满足f x a f x a a 0 则t 2a是它 的一个周期 2 若函数y f x 满足f x a f x a 0 则t 2a是它的 一个周期 3 若函数y f x 满足f x a 1f x a 0 则t 2a是它的 一个周期 4 若函数y f x 满足f x a 1f x a 0 则t 2a是它的一 个周期 1 f x 1 f x a 0 则t 2a是它 5 若函数y f x 满足f x a 的一个周期 6 若函数y f x x r 的图象关于直线x a与x b对称 则t 2 b a 是它的一个周期 7 若函数y f x x r 的图象关于点 a 0 与x b对称 则t 4 b a 是它的一个周期 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 或f x f x 则称f x 为奇 偶 函数 因此在讨论函数的奇偶性时 应首先求函数的定义域 观察其定义域是否关于原点对称 若不对称 则函数不具备奇偶性 为非奇非偶函数 只有定义域关于原点对称 才有必要利用定义进一步研究其奇偶性 第4讲 函数的单调性与最值 1 函数的单调性的定义 设函数y f x 的定义域为a 区间i a 如果对于区间i内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间i上是单调增函数 i称为y f x 的 如果对于区间i内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间i上是单调减函数 i称为y f x 的 单调增区间 f x1 f x2 单调减区间 f x1 f x2 2 用导数的语言来描述函数的单调性设函数y f x 如果在某区间i上 那么f x 为区间i上的增函数 如果在某区间i上 那么f x 为 区间i上的减函数 f x 0 f x 0 3 函数的最大 小 值设函数y f x 的定义域为a 如果存在定值x0 a 使得对于任意x a 有 恒成立 那么称f x0 为y f x 的最大值 如果存在定值x0 a 使得对于任意x a 有 恒成立 那么称f x0 为y f x 的最小值 f x f x0 f x f x0 a k 1 函数y x2 6x的减区间是 d a 2 c 3 b 2 d 3 2 函数y 2k 1 x b在实数集上是增函数 则 a 12 b k 12 c b 0 d b 0 3 已知函数f x 的值域是 2 3 则函数f x 2 的值域为 d a 4 1 c 4 1 0 5 b 0 5 d 2 3 解析 f x 2 的图象是把f x 的图象向右平移2个单位 因此f x 2 的值域不变 单调减区间是 0 5 指数函数y a 1 x在 上为减函数 则实数a 的取值范围为 1 a 2 4 若函数f x m 1 x2 mx 3 x r 是偶函数 则f x 的 例1 已知函数f x x2 x 0 a r 考点1利用定义判断函数的单调性 ax 1 判断函数f x 的奇偶性 2 若f x 在区间 2 是增函数 求实数a的取值范围 当a 0时 f x 既不是奇函数也不是偶函数 解 1 当a 0时 f x x2为偶函数 互动探究 2xx 1 在区间 0 1 上 1 试用函数单调性的定义判断函数f x 的单调性 考点2利用导数判断函数的单调性 函数 在区间 6 上为增函数 试求实数a的取值范围 解题思路 本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题求解 也可求出整个函数的递增 减 区间 再用所给区间是所求区间的子区间的关系求解 解析 函数f x 的导数为f x x2 ax a 1 令f x 0 解得x 1或x a 1 当a 1 1即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 不合题意 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 上为增函数 在 1 a 1 内为减函数 在 a 1 上为增函数 依题意应有 当x 1 4 时 f x 0 当x 6 时 f x 0 所以4 a 1 6 解得5 a 7 所以a的取值范围是 5 7 互动探究 mf x 0恒成立 则实数m的取值范围是 m 1 考点3函数的最值与值域例3 求下列函数的值域 程 用判别式可求值域 也可把函数解析式化成a a 解题思路 关于x的一次分式函数 可通过求关于x的方程在定义域内有解的条件来求得值域 也可以经过变形 分离常量 观察得出结果 关于有理分式函数 去分母化成关于x的二次方 b x x 1 b是常数 的形式来求值域 可用换元法将无理函数化为有理函数或将已知等式化成关于x的二次方程 用判别式求函数的值域 互动探究 3 求下列函数的值域 易错 易混 易漏6 求函数的单调区间时没有考虑定义域例题 2010年广东珠海北大希望之星实验学校 函数f x log2 4x x2 的单调递减区间是 a 0 4 b 0 2 c 2 4 d 2 正解 由4x x2 0得0 x 4 又由u 4x x2 x 2 2 4知函数u在 2 4 上是减函数 根据复合函数的单调性知函数f x log2