广东省陆丰市碣石中学2013届高三上学期第四次月考数学理试题.doc

20132013 届高三第四次月考数学理试题届高三第四次月考数学理试题 时间 120 分钟 满分 150 分 1 选择题 每题 5 分 共 40 分 每题只有一个正确选项 1 巳知全集UR i是虚数单位 集合MZ 整数集 和 2 2 1 1 i Ni i ii 的 关系韦恩 enn 图如图 1 所示 则阴影部分所示的集合的元素共有 A 个 个 个 无穷个 2 设不等式 2 0 xx 的解集为M 函数 ln 1 f xx 的定义 域为N 则MN 为 A 0 1 B 0 1C 0 1D 1 0 3 在的 3 2 3 sin AAABC是中 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 Z XC 充要条件D 既不充分也不必要条 件 4 如下图 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 且体积为 则该几何 1 2 体的俯视图可以是 5 函数 0 12 0 2 x xx y x 的图象大致是 6 函数 3sin 2 3 f xx 的图像为 C 如下结论中正确的是 A 图像 C 关于直线 6 x 对称 B 图像 C 关于点 0 6 对称 C 函数 f x在区间 5 12 12 内是增函数 D 由3sin2yx 的图像向右平移 3 个单位长度可以得到图像 C 7 7 设为三条不同的直线 为一个平面 下列命题中不正确的是 nml A 若 则 与相交 ll B 若则 nlmlnm l C 若 则 lmmn l n D 若 则 lm m nln 8 对于使成立的所有常数中 我们把的最小值 叫做的上 2 2xxM MM1 2 2xx 确界 若 则的上确界为 1a bRab 且 12 2ab 3 AB4 C 4 1 D 9 2 2 填空题 每题 5 分 共 30 分 其中 9 13 题为必做题 14 15 为选做题 9 13 题为必做题 9 抛物线在点 0 1 处的切线方程为 2 1yxx 10 已知等比数列 n a各项均为正数 前n项和为 n S 若 2 2a 15 16a a 则公比 q 5 S 11 若的展开式中 x4的系数为 8 2 1 x x 12 已知函数 2 21 1 0 4 1 x x f xf fa xax x 若 则实数 a 13 在平面直角坐标系上 设不等式组所表示的平面区域为 记内的 0 0 4 x y yn x n D n D 整点 即横坐标和纵坐标均为整数的点 的个数为 则 经推 n a nN 1 a 理可得到 n a 第 14 15 题为选做题 考生只能选做一题 两题全答的 只计算前一题的得分 14 坐标系与参数方程选做题 极坐标系下 直线 与圆的2 4 cos 2 公共点个数是 15 几何证明选讲选做题 如图 4 是圆上的两点 且 A BOOAOB 2OA 为的中点 连接并延长交圆于点 则 COABCODCD 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 16 12 分 已知函数 xxxxy 22 coscossin32sin 1 求该函数的最小正周期和最小值 2 若 0 x 求该函数的单调递增区间 17 12 分 在ABC 中 角CBA 所对的边为cba 已知bcAba3 sin2 1 求B的值 2 若ABC 的面积为32 求ba 的值 19 本题满分 14 分 在数列 n a 中 3 1 1 a 并且对任意2 nNn都有 nnnn aaaa 11 成立 令 1 Nn a b n n 求数列 n b 的通项公式 设数列 n an 的前 n 项和为 n T 证明 4 3 3 1 n T 20 14 分 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C过点 2 3 1 且离心率 2 1 e 求椭圆方程 若直线 0 kmkxyl与椭圆交于不同的两点M N 且线段MN的垂 直平分线过定点 0 8 1 G 求k的取值范围 21 本小题满分 14 分 已知函数 1 ln x f x x 1 求函数 f x 的极值 2 如果当1x 时 不等式 1 k f x x 恒成立 求实数 k 的取值范围 3 求证 2 2 1 1 n nnenN 2013 届碣石中学高三级第四次月考数学 理科 答案 一 选择题 每题 5 分 共 40 分 1 B 2 A 3 B 4 C 5 D 6 C C 选做题 第 14 15 题为选做题 考生只能选做一题 两题全答的 只计算前一题的得分 14 1 1 15 5 53 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 16 已知函数 xxxxy 22 coscossin32sin 1 求该函数的最小正周期和最小值 2 若 0 x 求该函数的单调递增区间 解 1 3 分 6 2sin 22cos2sin3 xxxy 所以 min 2Ty 6 分 2 2 26263 xx 令2k 2k kZ 则k k kZ 8 分 令 0 1k 得到 6 3 x 或 54 63 x 与 0 x 取交集 得到 0 3 x 或 5 6 x 所以 当 0 x 时 函数的 5 36 递增区间是0 和 12 分 17 在ABC 中 角CBA 所对的边为cba 已知bcAba3 sin2 1 求B的值 2 若ABC 的面积为32 求ba 的值 解 1 Abasin2 ABAsinsin2sin 2 1 sin B 30 B或 150 bc 所以 30 B 5 分 2 由 30cos2 222 accab 解得 032 22 aabb ba 或ba2 8 分 又 3230sin 2 1 acS ABC 38 ac bc3 由 2 4 b a 或22 ba 12 分 18 本小题满分 14 分 甲和乙参加智力答题活动 活动规则 答题过程中 若答对则继续答题 若答错则 停止答题 每人最多答 3 个题 答对第一题得 10 分 第二题得 20 分 第三题得 30 分 答错得 0 分 已知甲答对每个题的概率为 乙答对每个题的概率为 1 求甲恰好得 30 分的概率 2 设乙的得分为 求的分布列和数学期望 3 求甲恰好比乙多 30 分的概率 答案 1 I 甲恰好得 30 分 说明甲前两题都答对 而第三题答错 其概率为 3 分 II 的取值为 0 10 30 60 4 分 的概率分布如下表 010 3060 8 分 10 分 III 设甲恰好比乙多 30 分为事件A 甲恰好得 30 分且乙恰好得 0 分为事件B1 甲恰好得 60 分且乙恰好得 30 分为事件B2 则A 为互斥事件 所以 甲恰好比乙多 30 分的概率为 14 分 19 本小题满分 14 分 在数列 n a 中 3 1 1 a 并且对任意2 nNn都有 2 1 4 2 1 4 4 3 11 23 4 53 2 1 1 1 2 3 2 1 2 11 2 2 nn n nn nn nnnn 分 nnnn aaaa 11成立 令 1 Nn a b n n 求数列 n b 的通项公式 设数列 n an 的前 n 项和为 n T 证明 4 3 3 1 n T 解 1 当 n 1 时 3 1 1 1 a b 当2 n时 由 nnnn aaaa 11 得 1 11 1 nn aa 所以1 1 nn bb 4 分 所以数列 n b是首项为 3 公差为 1 的等差数列 所以数列 n b的通项公式为2 nbn 5 分 2 1 1 1 1 5 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1 2 1 8 2 11 2 1 2 1 nn T nnnnn a n n 分 7 分 1 1 1 1 5 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1 2 1 8 2 11 2 1 2 1 nn T nnnnn a n n 分 11 分 可知 Tn 是关于变量 n 的增函数 当 n 趋近无穷大时 的值趋近于 0 2 1 1 1 nn 当 n 1 时 Tn 取最小值 故有 14 分 3 1 4 3 3 1 n T 20 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C过点 2 3 1 且离心率 2 1 e 求椭圆方程 若直线 0 kmkxyl与椭圆交于不同的两点M N 且线段MN的垂 直平分线过定点 0 8 1 G 求k的取值范围 2 1 4 2 1 4 4 3 11 23 4 53 2 1 1 1 2 3 2 1 2 11 2 2 nn n nn nn nnnn 分 解 离心率 2 1 e 即 1 2 2 13 1 44 b a 22 43ba 又椭圆过点 2 3 1 则 1 式代入上式 解得 22 19 1 4ab 2 4a 2 3b 椭圆方程为 4 分 22 1 43 xy 设 弦 MN 的中点 A 1122 M x yN xy 00 xy 由得 6 分 22 3412 ykxm xy 222 34 84120kxmkxm 直线 0 kmkxyl与椭圆交于不同的两点 即 1 8 分 2222 644 34 412 0m kkm 22 43mk 由韦达定理得 2 1212 22 8412 3434 mkm xxx x kk 则 10 分 2 000 222 443 343434 mkmkm xykxmm kkk 直线 AG 的斜率为 2 2 2 3 24 34 41 3234 348 AG m m k K mk mkk k 由直线 AG 和直线 MN 垂直可得 即 12 分 2 24 1 3234 m k mkk A 2 34 8 k m k 代入 1 式 可得 即 则 14 分 2 22 34 43 8 k k k 2 1 20 k 55 1010 kk 或 21 本小题满分 14 分 已知函数 1 ln x f x x 1 求函数 f x 的极值 2 如果当1x 时 不等式 1 k f x x 恒成立 求实数 k 的取值范围 3 求证 2 2 1 1 n nnenN 21 21 解 因为 1 ln x f x x x 0 则 2 ln x fx x 1 分 当01x 时 0fx 当1x 时 0fx 所以 f x在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 所以函数 f x在1x 处取得极大值 f 1 1 无极小值 3 分 不等式 1 k f x x 即为 1 1 ln xx k x 记 1 1 ln xx g x x