人教A版数学名师一号选修2-2本章回顾二.ppt

本章回顾 知识结构 学生用书P65 规律方法总结 学生用书P65 1 合情推理由合情推理的过程可以看出 合情推理的结论往往超越了前提涵盖的内容 带有猜想的成分 因此 推理所得的结论未必正确 但合情推理具有猜测和发现结论 探索和提供证明思路和方向的作用 归纳和类比是合情推理常用的思维方法 归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般的推理 是做出科学发现的重要手段 类比推理是由特殊到特殊的推理 它常以已知的知识作基础 推测出新的结果 具有发现功能 2 演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理 其结论不会超出前提所界定的范围 所以其前提和结论之间的联系是必然的 因此 在演绎推理中 只要前提及推理正确 结论必然正确 3 证明数学命题的常用方法 1 综合法 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种方法叫做综合法 综合法的定义 给出了用综合法证明数学结论的方法步骤 其基本思路是 由因导果 即从已知推可知 再逐步推向未知 结论 的过程 它是数学中最常用的方法 2 分析法 是从待证的结论出发 一步一步的去寻找结论成立的充分条件 最后达到题设的已知条件或被证明的事实 因此 若从最后一步倒推回去 直到结论 这个过程就是综合 因此 在解答较复杂的数学命题时 常用分析法找思路 再用综合法表达 有时分析法和综合法合用称为 分析综合法 3 反证法 数学中的命题 都有题设条件和结论两部分 当我们证明一个命题时 不直接从题设出发去证明结论成立 而是从否定这个命题的结论出发 通过正确 严密的逻辑推理 由此引出一个新的结论 而这个新的结论与题设矛盾 或与已知 定义 定理等事实相矛盾 或者自相矛盾 这说明原命题结论的否定是错误的 从而肯定原结论是成立的 这就是用反证法证明数学命题的过程 一般地 结论中出现 至多 至少 唯一 等词语 或结论以否定的语句出现 或要讨论的情况复杂等 都可以考虑用反证法 4 数学归纳法 它主要用于与正整数有关的数学命题 证明时 它的两个步骤缺一不可 它的第一步 归纳奠基 验证n n0时 命题成立 第二步 归纳递推 假设n k时 结论成立 推得n k 1时命题也成立 在第二步中必须用上假设 否则不是数学归纳法 对于与正整数有关的探索性问题 一般经过归纳 猜想 探索出结论 再用数学归纳法证明 1 合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理 尽管结论的正确性有待证明 但在探索新结论 发现新方法 拓展新知识方面有着极其重要的作用 也是每个人应必备的基本能力 数学思想方法 学生用书P65 例1 观察下图中各正方形图案 每条边上有n n 2 个点 第n个图案中圆点的总数是Sn n 2 S2 4 n 3 S3 8 n 4 S4 12 按此规律 推出Sn与n的关系式为 答案 Sn 4n 4 n 2 n N 解析 依图的构造规律可以看出 S2 2 4 4 S3 3 4 4 S4 4 4 4 正方形四个顶点重复计算一次 应减去 猜想 Sn 4n 4 n 2 n N 例2 中学数学中存在很多关系 比如 相等关系 平行关系 等等 如果集合A中元素之间的一个关系 满足以下三个条件 1 自反性 对于任意a A 都有a a 2 对称性 对于a b A 若a b 则b a 3 传递性 对于a b c A 若a b b c 则a c 则称 是集合A的一个等价关系 例如 数的相等 是等价关系 而直线的平行不是等价关系 自反性不成立 请你再判断两个关系 解析 类比 数的相等 这一等价关系知 a与a自身相等 a与b相等 则b与a也相等 a与b相等 b与c相等 则a与c也相等 可联想到如下关系也是等价关系 图形的全等 图形的相似 命题的充要条件 非零向量共线等 答案 图形的全等 命题的充要条件 注 答案不唯一 2 观察 归纳 猜想利用归纳猜想探究数列的通项一直是高考的热点 例3 浙江高考 已知数列 an 的相邻两项a 2k 1 a 2k 是关于x的方程x2 3k 2k x 3k 2k 0的两个根且a 2k 1 a 2k k 1 2 3 1 求a1 a3 a5 a7及a 2n n 4 不必证明 2 求数列 an 的前2n项和S 2n 解 1 方程x2 3k 2k x 3k 2k 0的两根为x1 3k x2 2k 当k 1时 x1 3 x2 2 a1 2 当k 2时 x1 6 x2 4 a3 4 当k 3时 x1 9 x2 8 a5 8 当k 4时 x1 12 x2 16 a7 12 当n 4时 2n 3n a 2n 2n n 4 2 S2n a1 a2 a2n 3 6 9 3n 2 22 2n 例4 一个平面内有n条直线 这n条直线把平面最多分成几块 解析 只有当这n条直线互不平行且没有两条以上的直线相交于同一点时 才能把平面分成的块数最多 下面用f n 表示n条直线划分平面的块数 用归纳法探求如下 n 1时 f 1 2 1 1 n 2时 f 2 4 2 2 n 3时 f 3 7 4 3 n 4时 f 4 11 7 4 f n f n 1 n f n 2 n 1 n f n 3 n 2 n 1 n 1 1 2 3 n 规律技巧 对于比较抽象的问题 可通过具体化探求其规律 如本例先用实验的方法 求出n 1 2 3 4时的f n 的值 从中归纳出规律 递推关系 f n f n 1 n 使问题得以解决 3 综合法综合法是从原因推测结果的思维方法 即从已知条件出发 经过逐步的推理 最后达到待证的结论 这是常用的数学方法 分析 1 f x 0中二次项系数有参数a 应考虑a 0与a 0 进而分类讨论 从后一小题可知应证a 0 证明 1 若a 0 b c f 0 f 1 c 3a 2b c c2 0 与已知矛盾 所以a 0 方程3ax2 2bx c 0的判别式 4 b2 3ac 由条件a b c 0 消去b 得 4 分析法分析法是从待证的结论出发 一步一步地寻找结论成立的充分条件 最后达到题设的已知条件或已被证明的事实 例6 设a b c为一个三角形的三边 且S2 2ab 求证 S 2a 例7 四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面 满足 时 BD A1C 写出一个条件即可 答案 BD AC 解析 欲使BD A1C 只需BD 平面AA1C1C 只需BD AC 可填条件 BD AC或ABCD为正方形等 5 反证法应用反证法证明命题时要注意以下三点 1 必须先否定结论 当结论的反面有多种情况时 必须罗列各种情况加以论证 缺少任何一种可能 反证法都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面进行推理 就不是反证法 3 推导出的矛盾多种多样 有的与已知相矛盾 有的与假设相矛盾 有的与已知事实相矛盾等等 推出的矛盾必须是明显的 例8 求证 一元二次方程至多有两个不相等的实根 分析 所谓至多有两个 就是不可能有三个 要证 至多有两个不相等的实根 只要证明它的反面 有三