北京大学数学物理方法经典课件第四章——留数定理.ppt

1 第四章留数定理 数学中的一些美丽定理具有这样的特性 它们极易从事实中归纳出来 但证明却隐藏的极深 数学是科学之王 高斯 2 学习要求与内容提要 目的与要求 掌握留数的概念及计算方法 掌握用留数定理计算典型实定积分的方法 重点 难点 理解解析函数的积分值与函数的奇点的关系 留数的计算与留数定理 3 一 留数引入 的某去心区域 内半径为零 4 1留数定理 在去心区域内解析 可展开洛朗级数 4 由柯西定理 我们有积分 各正幂项fk z z0 ak z z0 k是解析函数 即 称为 称为在有限远点z0处的留数 处的留数 5 二 留数定理 说明 Resf bj f z 在的无心邻域0 z bj R中的罗朗级数的系数a 1 j 称为f z 在z bj的留数 a 1 j f z 在它的第j个孤立奇点的邻域内罗朗展开式中 z bj 1的系数 6 证 两边同时除以 则有 由复连通域的柯西定理 7 1 方程左边 解析函数的积分值 方程右边 函数奇点的留数 留数定理 将上述两者建立了一种关系 2 要计算解析函数的积分 关键 计算留数 3 bj j 1 2 是l所包围的f z 的所有奇点 而不是f z 所有的奇点 即 8 9 如果为的一级极点 那末 规则1 求a 1 10 规则1 证 取z z0的极限 即得a 1 11 证 规则2 12 含有正幂的项 得 13 解 14 规则3 如果 证 的一级极点 且有 15 因此 其中在解析且 为的一级极点 16 例3计算f z 在z 0处的留数 解 P z ez Q z sinz 于是P 0 1 Q 0 0 Q 0 1 17 例4 解 18 解 为一级极点 为二级极点 f z 19 三 无穷远点的留数 注意积分路线取顺时针方向 记作 定义 20 其中l z R 积分方向为顺时针方向 实际上是包含无穷远点的区域的正方向 如果f z 在z 的去心邻域R z 内的罗朗级数为 由逐项积分定理及公式得到也就是说Resf 等于f z 在 的去心邻域的罗朗展开式中1 z项系数的负值 l 21 证 由留数定义有 22 解 共有七个奇点 前6个根均在内部 故由留数和定理可用求无限远奇点留数解此题 即 例7计算 而故 从而 23 4 11 1 3 5 7 9 2 1 3 3 本讲作业 24 4 2应用留数定理计算实变函数定积分 25 留数定理计算实变函数定积分要点 设法把实变函数定积分跟复变函数的闭合围线积分联系起来 把实变定积分联系于复变函数的闭合回线积分的要点 把实积分 的积分区间 a b 看成复平面实轴上的一线段l1 添加路径l2 使l l1 l2构成复平面中包围区域B的回路 类型二 四 26 实积分解析延拓为回路区域B内的复积分 而原实积分成为回路积分的一部分 如图 或 利用自变量的变换把l1变换成复数平面上的闭合围线 这样就可以应用留数定理了 类型一 左边可以利用留数定理 右边对l2的积分在解析延拓允许的情况下 可以自由选择 通常以最易完成积分的线路选择l2 27 一 型的积分 2方法 将自变量作这换 x z 把被积函数转化为复变函数 积分区域为 0 2 如不是要先变为 0 2 1特征 有理实函数R cosx sinx 在区域 0 2 内连续 沿区间 0 2 的实积分变成沿单位圆的回路复积分 28 z的有理函数 且在单位圆周上分母不为零 满足留数定理的条件 包围在单位圆周内的诸孤立奇点 留数定理 29 例1计算积分 解 则 30 为二级极点 为一级极点 31 例2 解 在区域 0 2 不为零 故被积函数在 0 2 连续 分析被积函数的连续性 作变换 f x 32 33 因此 34 二 型积分 2计算方法 通过 围道积分法 和留数定理计算此类积分 1特征 35 把主值积分转化为围道积分 即 36 以原点为中心 R为半径 的在上半平面的半圆周 除去有限孤立奇点 处处解析 取R适当大 使f z 所有的在上半平面内的极点 都包在这积分路线内 37 根据留数定理得 结果 38 例3计算积分 解 辅助函数 39 40 三 型积分 这类积分常见于傅里叶变换中 1特征 1 F z 在上半平面中除了有限个孤立奇点外解析 在实轴上没有奇点 2 当z在上半平面及实轴上趋于 时 F z 一致地趋于零 2目标 41 与 的在上半平面内的极点 包在这积分路线内 3方法 同前一型 补线 一起构成封闭曲线l 使F z 所有 都 而回路积分为 关键 42 若z在上半平面及实轴上趋于 时 F z 一致地趋于零 则其中m 0 CR是以z 0为圆心 R为半径的位于上半平面的半圆 约当引理 证 43 由于z在上半平面及实轴上趋于 时 F z 一致地趋于零 只需证是有界 从而 考虑下图 44 由留数定理 45 例4计算积分 解 在上半平面只有二级极点 又 46 47 4 21 1 2 6 2 1 2 6 3 2 4 6 本讲作业 48 四 实轴上有单极点的情况 49 50 51 例4计算狄利克雷积分 分析 因 在实轴上有一级极点 应使封闭路 线不经过奇点 所以可取图示路线 52 解 封闭曲线l 由柯西 古萨定理得 由 5