数列中的最大项或最小项问题的求解.doc

数列中的最大项或最小项问题的求解方法法一 ：利用单调性 差值比较法若有，则，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若有，则，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为.商值比较法若有对于一切nN*成立，且，则，则即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若有对于一切nN*成立，且，则，则即数列是单调递减数列，所以数列的最小项为.利用放缩法若进行适当放缩，有，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若进行适当放缩，有，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为.法二： 先猜后证 通过分析，推测数列的某项(kN*)最大（或最小），再证明对于一切nN*都成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1 已知函数 ，Sn是数列的前n项和，点（n，Sn）（nN*）在曲线上.（）求数列的通项公式；（）若，且Tn是数列的前n项和. 试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值；若不存在，请说明理由.解 （）因为点（n，Sn）在曲线上，又，所以.当n=1时，.当n1时，当n=1时，也满足上式，所以.（）因为 所以 得 .整理得 利用差值比较法由式得，所以因为，所以.又，所以所以，所以. 所以Tn存在最大值利用商值比较法由式得.因为所以，即. 所以/所以Tn存在最大值.利用放缩法由式得，又因为Tn是数列的前n项和，所以. 所以所以Tn存在最大值.先猜后证通过分析，推测数列的第一项最在.下面证明：.方法 分析法因为，所以只要证明.即只要证明. 只需要证明.即只要证明由二项式定理得且时，所以成立. 所以成立.所以存在最大值.方法 利用数学归纳法（i）当n=2时，因为，所以，不等式成立.（ii）假设时不等式成立，即.则当时，由式得 所以.这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由（i）（ii）得，对于一切且，总有成立.所以存在最大值.数列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例 若数列的通项公式，求的最大项.解：设是数列中的最大项，则，即解，得， 又， 或9，.当时，的最大项为.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论的情况？分析：由于这个不等式中出现了下标，而数列中的项应该从1开始，因此，即。故应考虑的情况.疑问2：用这个不等式组求出的一定是最大项吗？分析：用求出的不一定是最大项，而只是比前后两项都不小的项，也就是数列这个特殊函数的极大值.疑问3：用这个不等式组求出的项唯一吗？分析：正如一个函数可能有多个极大值一样，一个数列中很有可能存在很多个比前后两项都不小的项，因此这样求出的项不唯一.疑问4：如果用这个不等式组求出的有多个，那么如何处理？分析：将求出的这些对应的项比较大小，取最大者，然后与比较.疑问5：为什么要与比较？分析：由于这个不等式组求得的是时的最大项，因此还需要与比较，二者最大的即为的最大项.正如我们在求函数最大值时，采取比较端点值和极大值的方法，原理是一样的.疑问6：若不等式组无解，又该如何处理？分析：若此不等式组无解，那么此数列无极大项，因此最大项只可能在首项或末项取得.这与当函数无极大值时，最大值必在端点处取得的原理一致.疑问7：若求得两个相邻的正整数，也要比较这两项的大小吗？分析：像本道例题中，或9，而我们发现，同为该数列的最大项.对于一般数列，若用这种方法求出两个相邻的正整数，则.因此，它们对应的项大小相等，不必另行比较.疑问8：若数列对应的函数具有单调性，也能用这种方法求其最大项吗？分析：若函数具有单调性，则不等式组无解，问题又回归到疑问6，最大项即为首项或末项（若该数列是有穷数列，只需比较首、末两项，择其大者，即为最大项；若该数列是无穷数列，则最大项要么为首项，要么不存在，视该数列的单调性而定）.通过对上述疑问的一一分析，对其进一步探究，我们发现：“极值法”求数列最大项的原理与“极值法”求函数的最大值一致.因此，我们可以得出结论：“极值法”求数列最大项是求数列最大项的通法.例2 在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）证明存在，使得对任意均成立解 （）由（N*），可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故， 所以数列的通项公式为.（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和（）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：由，知，要使式成立，只要，因为所以式成立因此，存在，使得对任意均成立评注 本题（）设计非常精彩. 为证明“存在kN*，使得对任意nN*均成立”，可以转化为思考 “存在kN*，使得是数列的最大项”问题. 本题若用差值比较法转化为探究差值与0的大小、用商值比较法转化为探究商值与1的大小、用单调性把通项公式为的数列的单调性问题转化为探究函数的导数问题以及放缩法解决问题，都颇有难度. 而先敏锐、大胆、果断猜出，再用分析法以及重要不等式证出这个结论，方法非常奏效. 命题高明之处就在于不是直接抛出了这个结论，让学生去证明；而是让学生先自己探究出结论再论证，富有挑战性.，能够很好地考查学生思维的深刻性.例3 在数列中，（），其中k是常数，且.（）求数列的通项公式；（）求数列的最小项.解 （）因为（），所以，即. 当时，.以上n-1个式子相加得，即.又，所以，即.当n=1时，上式也成立.所以数列的通项公式为.（）为考查数列的单调性，注意到，可设函数，则，即.可知时，；时，；时，.所以函数在1，上是减函数；在上是增函数.因为，所以.（1）当，即k=25时，.所以数列的最小项为.（2）当，即k=36时，. 所以数列的最小项为.（3）当a5=a6，即，即k=30时，. 所以数列的最小项为.（4）当且时，且，则，. 所以数列的最小项为.（5）当时，且k36，则，.所以数列的最小项为.综上所述：当k=25时，数列的最小项为a5=10；当时，数列的最小项为；当k=30时，数列的最小项为a5=a6=11；当30k1的自然数，不等式恒成立，试求实数a的取值范围.解：（）因为，an(nN*