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24.4弧长和扇形面积（第1课时） 榆关学区初级中学 陈春艳授课题目：弧长和扇形面积（第1课时）课型：新授课授课对象：九年级学生 授课学时：1课时 （45分钟） 参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社）一、教材分析1.弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式。应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题。学习这两个公式也为圆锥侧面积计算公式的推导打下基础。2.弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来的。运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积。二、教学目标1.掌握弧长和扇形面积的计算公式；并能灵活应用，解决实际问题.2.利用圆的周长及面积公式，推导弧长和扇形面积的计算公式，培养学生由“特殊到一般”的数学思想，发展学生合情推理的能力.3.通过学生对图形观察、对比、归纳，激发学生的求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.三、教学关键本节课关键是理解1弧长公式和1扇形面积公式。利用“动态”思想理解弧长公式和扇形面积公式推导，让学生体验知识的形成过程。四、教学重点弧长和扇形面积公式的推导及运用。五、教学难点弧长和扇形面积公式的推导六、教学辅助多媒体。七、教学方法根据九年级学生的年龄特点和心理特征以及现有的知识水平，老师通过动态演示形成弧长和扇形的面积变化，启迪学生思维，在讲解新课时我主要采用启发式教学法，先观察当半径一定时弧长的变化与哪些因素有关，然后由特殊到一般，由具体到抽象，通过探究，当学生顺利得出n圆心角所对弧长公式后，再利用类比方法得出n圆心角所对扇形面积公式。同时再启发学生用联系和发展的观点得出扇形面积的第二公式。本课设置两个例题，重点巩固两个公式，培养和渗透学生几何建摸和几何推理应用意识，提高解决问题的能力和树立严谨的学习态度。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。八、教学过程：（一）、复习引入1、圆的周长公式C= .2、圆的面积公式S= .3、圆上任意 两点间 的部分叫做弧设计意图：教师确立简单问题，让学生独立思考，为本课学习做好准备。（二）、进行新课1推导并应用弧长公式问题1 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分我们会计算圆周长，那么如何计算弧长？ 师生活动：面对这样的问题，学生能够感知弧长与半径和圆心角有关，但不易推导出弧长公式，此时教师继续追问。教师追问1:（1）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？（2）在同圆或等圆中，每一个 1的圆心角所对的弧长有怎样的关系？（3） 1的圆心角所对的弧长是圆周长的多少？（4） n的圆心角所对的弧长是多少？师生活动：教师引导学生回答（1）（4）： （1）360，（2）相等， （3）圆周长的 ，（4）1的圆心角所对弧长的 n 倍 若学生不能顺利解决（4，）教师可以通过实例引导。教师追问2:（1）怎样计算半径为 R 的圆中，1的圆心角所对的弧长？（2）怎样计算半径为 R 的圆中，2的圆心角所对 的弧长？（3）怎样计算半径为 R 的圆中，5的圆心角所对 的弧长？师生活动：教师引导学生回答（1）（3）：（1）1的圆心角所对弧长是圆周长的 ，为（2）2是 1的 2 倍，所以弧长也是 1的圆心角所对弧长的 2 倍，为 （3）5是 1的 5 倍，所以弧长也是 1的圆心角所对弧长的 5 倍，为 设计意图：引导学生关注圆心角的大小，让学生体验弧长公式的推导过程。教师追问3: 怎样计算半径为 R 的圆中，n的圆心角所对的弧长？师生活动：学生独立思考，n的圆心角所对的弧长是1的圆心角所对的弧长的n倍，半径为R的圆周长为2R,利用1的圆心角所对的弧长是，再乘以n，就可以得到n的圆心角所对的弧长为l= 此时教师还要强调公式中的n的意义，n表示1的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中，180也是不带单位的。设计意图：让学生经历从整体到部分的研究过程，从圆周长公式出发推导出弧长公式。教师追问4: 弧长的大小由哪些量决定？师生活动：学生独立思考，在弧长公式l =中，180和是常数，n和R是变量。弧的长度与圆心角的度数和圆的大小（半径）有关：当远的大小一定时，圆心角越大，弧的长度越大；当圆心角的度数一定时，圆越大，弧的长度越大。设计意图：通过辨析弧长公式，让学生加深对公式的理解。例1制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L（结果取整数）师生活动：（1） 学生分析题中条件和解题思路：管道由三个图形组成（两条线段和一段弧），要求展直长度L，需要知道两条线段长和弧长；其中线段长已知，要求弧长需要知道圆心角和半径；而圆心角和半径题目都已经给出了，由弧长公式即可求出弧长，进而可求出展直长度L。（2） 学生独立完成解题过程，一名学生板书，师生共同交流。设计意图：通过实际问题，加深学生对弧长公式的认识。2推导扇形面积公式图片引出扇形定义： 像这样由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。BA半径半径弧问题2同学们已经学习了扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形你能否类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式？师生活动：学生独立思考并讨论。类比弧长公式的研究过程过程（从求360的圆心角所对的弧长出发，先研究1的圆心角所对的弧长，再研究n的圆心角所对的弧长），可以发现在半径为R的圆中，360的圆心角所对的扇形面积就是圆面积S=所以1的圆心角所对的扇形面积是圆面积的 ，则的圆心角所对的扇形面积设计意图：类比弧长公式的发现过程，由学生独立思考，归纳出扇形面积公式。问题2比较扇形面积公式 和弧长公式 ，你能用弧长表示扇形面积吗？师生活动：学生独立思考并讨论。通过观察可以发现扇形面积公式中，分子含有因式nR，则分子可以写成nRR，分母可以写成180x2。所以可以用弧长公式来表示扇形面积 此时教师可以引导学生，扇形面积的另一个公式即与三角形的面积公式类似，只要把扇形看作是一个曲边三角形，八弧长l看成底边，半径R看成高就可以了。设计意图：通过对比弧长和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长表示扇形面积，为圆锥侧面积公式的推导做准备。3.练习、巩固弧长和扇形面积公式例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）教师追问：（1）截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？是什么形状？（2）水面高0.3m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎么画出？你能否在图中标出截面半径和水高？（3）如何利用我们学过的图形面积公式计算图中阴影部分的面积？师生活动：（1） 教师通过问题引导学生分析解题思路，并画出相应的图形。然后分析有水的部分为弓形，从而确定了弓形面积的计算方法（扇形面积-三角形面积）。进而通过已知求出相应线段和圆心角即可解决本题。（2） 学生独立完成解题过程，一名学生板书。（3） 师生共同分析板书学生的解题过程。设计意图：结合具体例子介绍弓形的面积，加深学生对扇形面积公式的认识。同时小结不规则图形面积的的解法：若图形为不规则图形时，要把它转化为规则图形来解决。练习 教科书113页练习第1、2、3题师生活动：学生板演第2、3题，其他学生在练习本上完成，教室巡视、指导。然后小组交流并评价。设计意图：练习1是对弧长公式进行辨析，半径和圆心角的大小都对弧长的大小有影响。练习2是巩固弧长公式。练习3是巩固扇形的面积公式。4.课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？（2）弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什么联系？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学的内容，把握本节课的核心-弧长和扇形面积公式，并体会部分与整体之间的联系和类比、转化的数学思想。5.布置作业教科书习题24.4第4、6、8题6.当堂检测1.已知扇形的圆心角为30，半径为3，则这个扇形的弧长是 ( ) 2.已知扇形的圆心角为80，半径为4cm,则这个扇形的面积是( )3.在正方形ABCD中，分别以B,D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为( )设计意图：考察学生对弧长和扇形面积公式的掌握情况。板书设计在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长l公为：在半径为R的圆中，n的圆心角所对的扇形的面积公为：案例评析内容一般来说老师会把重点放在公式的理解和熟练运用上，对于九年级的学生来说这很重要，而且弧长公式和扇形面积公式的推导过程也比较容易理解。但是这样可能导致中等及以下学生因为某些概念、细节的不理解或者不懂，造成学习的障碍。结合学生的实际，认真分析学生可能出现障碍的地方，逐步引导学生观察、比较，从基本的概念入手，处理好各个思维的转折点，在注重基础的同时发展学生的数学能力，关注了全体学生的发展。另外在提问的处理上进行分层，避免死板的教公式、记公式的老套，希望能激发学生思维，体现教师引导者的身份。 针对学生的实际情况，在课堂中关注大多数学生能够参与到教学中来很重要，存在的不足之处是，于九年级的学生来说，成绩较好学生的思维明显受到限制