21中学生数学学习中抽象概括的思维障碍研究.pdf

第 21 卷第 4 期 数 学 教 育 学 报 Vol 21 No 4 2012 年 8 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Aug 2012 收稿日期 2012 03 09 作者简介 林少杰 1953 男 广东广州人 中学特级教师 主要从事中学数学教学研究 中学生数学学习中抽象概括的思维障碍研究中学生数学学习中抽象概括的思维障碍研究 林少杰 广州市教育局 教学研究室 广东 广州 510030 摘要 数学活动的抽象概括过程分为抽离 筛选 假设 扩张和确认 4 个阶段 学生进行数学活动中抽象概括的思维障 碍有 抽离的意识 抽离的方向 抽离的表达 筛选的意识 筛选的逻辑方向 筛选的逻辑基础及对应的语言表达 扩张的 意识 扩张的表达形式 确认的意识 确认的逻辑 确认的形式具体化 初中学生数学学习中抽象概括的思维障碍相当严重 教师在教学中应对此有足够的估计 关键词 数学学习 抽象概括 思维障碍 中图分类号 G442 文献标识码 A 文章编号 1004 9894 2012 04 0087 05 1 抽象概括的逻辑过程在数学活动层面的阶段假 设和一般模式 抽象 一词 来源于拉丁语 abstracio 意思为排除 抽取 般地 人在思维中把客观事物的某 方面特性与其 它特性分别开来单独考虑 就是抽象 抽象是与具体相对应 的概念 具体是事物多种规定性的总和 因而抽象亦可理解 为由具体事物的多种性质中舍弃了若干性质而固定了另 些性质的思维活动 所谓概括 是指在思想上把抽象出来的各种对象或现象 之间的共同属性 本质特征结合起来的过程 科学的 正确 的概括就是把存在于事物和关系中的共同内容提取出来 抽象和概括是互相联系 密不可分的 抽象是概括的基 础 没有抽象就不可能认识任何事物的本质属性 就无法概 括 概括也是抽象过程中的所必需的 个环节 对共同点的 概括才可得到对象的本质属性 如何把心理学层面对抽象概括的一般认识运用到研究 数学学习过程 数学教育界对此曾进行了大量的工作 例如 曹才翰 蔡金法先生在其所著的 数学教育学概论 中 1 朱智贤 林崇德先生在所著的 思维发展心理学 中 2 都 分别对中小学数学学习中的抽象概括过程进行了系统的研 究 在此基础上 研究者从侧重研究学生数学学习的认知障 碍的角度去探讨在数学活动中的抽象概括的特征 试图揭示 其中的某些规律 为数学教学的理论研究和实践提供参考 1 1 数学活动中抽象概括过程 在数学学习中 抽象和概括被认为是数学活动中的主要 逻辑方法 学生数学学习水平的高低与学生抽象概括能力的 高低有直接的关系 3 研究数学学习过程中学生进行抽象概 括时所产生的思维障碍显得格外重要 从研究数学活动过程 的抽象概括的思维障碍层面来看 对抽象概括不能仅停留于 笼统的认识 需要结合学生进行数学活动时的思维特征 把 在现实中通常以综合方式出现的抽象概括过程进行科学地 分解 分析出它所包含的基本要素 研究这些要素之间的相 互关系 认识其相对稳定的结构特征 了解这些基本要素的 功能 进而为正确认识数学学习中进行抽象概括时可能产生 的思维障碍提供依据 1 基于此 研究者在文献研究和经验 概括的基础上 建立起学生在数学活动中 进行抽象概括的 过程之 般模式的假设体系 直接为研究数学学习过程中抽 象概括的思维障碍提供分类基础 以期有效地揭示数学教学 中培养学生抽象概括能力的科学规律 揭示数学活动中抽象概括过程的 般模式 先建立以下假设 假设 1 数学活动中的抽象概括过程由若干相对独立 的阶段构成 说明 数学活动中任 具体的抽象概括的过程都不是杂 乱无章地进行的 仔细去分析数学活动的抽象概括过程可 知 无论怎样简缩和跳跃 皆需要经过抽离 筛选 扩张和 确认等 4 个阶段 这其中的某些阶段在实践中或许可以简缩 或甚至于不被主体觉察 但却是逻辑地存在于数学活动的抽 象概括的过程之中 研究它们的存在和功能正是深入探讨数 学学习中抽象概括活动规律的重要内容 假设 2 无论是什么类别的数学对象的学习 其抽象概 括过程的阶段和智力活动成分是相同的 都是指向数学事物 的 本质属性 和 共同特征 说明 尽管学术界对知识的分类体系不同 4 例如安德 森把知识分为事实性知识 概念性知识 程序性知识和元认 知知识 而其他人对知识的分类与之不尽相同 但是主体 在数学活动中 抽象概括的指向都是数学事物的 本质属性 和 共同特征 以下分析主体在数学活动过程中进行抽象概括的4个阶段 1 抽象概括的抽离阶段 当主体开始对数学对象进行研究时 首先要做的是根据 数学活动的需要 通过对比 区分之后 舍弃数学对象的某 些属性或特征而确定其中的一些属性或特征 并通过文字或 符号语言将这些属性或特征表达出来 具体过程中通常表现 为个体的内部言语 这种将属性或特征从对象中抽取出来 的过程 就称为抽象概括的抽离阶段 例如 将 长度 这 一属性从 物体 这一对象中分离抽取出来 又如 对于数 列 2 4 6 8 10 12 考察其本质属性时 往往可能是 先被抽出只有局部特征的一系列属性 这时被抽取的属性未 必是该数学对象特有的或是本质的属性 对这些属性的表 88 数 学 教 育 学 报 第 21 卷 达通常以 判断 的形式出现 例如 首末两个数的个 位数是 2 每个数都是偶数 且大干 2 每一个数都 比前一个数大 2 第 个数是 2 从第二个数开始 每一 个数与前一个数之差是 2 第二个数与第五个数的和与 头尾两个数之和相等 这一阶段 抽象概括的对象可能是未被规范的语言准确 表述的 在具体事物中的某些数学属性和特征 抽取的方式 是力图用形式化的数学语言将被认定的数学属性和特征表 述出来 这一阶段显然受数学活动需要的支配 也受前此知 识背景的制约 但这一阶段所抽离出来的未必都是事物的数 学方面的本质属性和共同特征 2 抽象概括的筛选阶段 主体根据数学活动的需要 对在第一阶段中用数学语言表 述的属性和特征进行逻辑加工 分别从包含 由判断 A 可以推 出判断 B 则说 A 包含 B 并列 各个判断中涉及的对象没 有交叉部分 矛盾 两个判断相互矛盾 相容 各判断中涉 及的对象有交叉部分 等价 判断之间可以相互推出 等各 种逻辑方式去考察所面临的属性和特征 从中筛选出合理的部 分 例如对于以上数列属性的考察 通过筛选 可知 包含了 其它几条 而其它几条都是并列的 这一阶段 要求主体具有 相对完善的逻辑结构 掌握相应的知识 对用形式化表述的数 学内容中的相关术语和关系有正确的理解和认识 3 抽象概括的假设 扩张阶段 第二阶段所筛选出来的属性和特征通常仍带有具体的 被抽象概括的具体事物的痕迹 例如对以上数列的属性中所 筛选出的 仍含有具体数列中的 2 这一该数列的特殊 属性 第三阶段的功能是要解决如何将特殊化为一般 主体 面临经前两阶段加工的数学属性或特征时 按照抽象概括的 需要 思维的方向是从特殊扩张到一般 这种扩张的主要逻 辑途径是归纳与类比 例如对于以上数列的属性 将特殊对 象中的 2 这一限制除去 扩张成一般的等差数列的本质 属性 但由于这种扩张只是从某些具体事物出发的扩张 是 否带有一般意义仍需进一步考察 因而这种扩张带有假设的 成分 对于能力强者 所作的抽象概括可能一气呵成 思维 呈现出跳跃 4 抽象概括的确认阶段 对于在第三阶段假设成立的数学对象的本质属性或共 同特征 仍需要进行检验或证明 才能确认其是否符合数学 学科的真理性标准 这时通常可能出现两种情况 第一种是 通过检验或证明 否定了原来的假设 此时 如果主体不放 弃 则只能再次重复以上的 4 个阶段 修正原来的过程中的 误漏 直至成功 第二种是通过检验或证明 确认了原来的 假设 这里又分两种情况 其一是抽象概括的结论是完备的 即不含特例于结论之外 其二是抽象概括的结论是不完备 的 即存在个别特例于结论之外 必须作补充定义或补充说 明 进行 特例确认 例如 在概括出 同底数幂相除 底数不变 指数相减 这一法则后 还必须补充定义 0 1 0 aa的情况 1 2 数学活动的抽象概括过程的一般模式结构图 以上 4 个阶段及相互联系 可以用图 1 表示 图 1 数学活动的抽象概括过程的一般模式结构图 注 Y 表示经过检验 证明或特例验证确认得知结论正确 N 表示经过检验 证明得知结论不正确 箭头表示主体进行抽象概括活动的过程 2 数学学习过程中抽象概括的思维障碍分类体系 2 1 数学学习过程抽象概括思维障碍的操作性定义 为了使所研究的抽象概括过程具有明显的数学学习特 征 使研究中所指的 抽象概括 的思维障碍具有明确的 内涵 在此给出数学学习过程中抽象概括的思维障碍的操 作性定义 学生学习数学过程中抽象概括的思维障碍是指 学生学习数学时 对用实物 模型 语句 符号或图像所 特例确认 Y Y 共同特征 本质属性 N N 数学对象 共同点 不同点 若干特征 若干属性 认定特征 认定属性 待定 共同特征 待定 本质属性 筛选 抽离 数学需要 假设 扩张 检验 证明 经检验结论正确 完成了抽象概 括的任务 满足了数学需要 经检验结论不正确 需要 重复以上四个阶段再次进 行抽象概括 第 4 期 林少杰 中学生数学学习中抽象概括的思维障碍研究 89 表示的具体学习对象的数学本质属性和共同特征进行抽 离 筛选 假设和确认时 来自于非学科知识缺漏的认知 障碍 之所以要除去由于数学知识的缺漏而引起的障碍 是 为了保证所研究的障碍的产生仅与学生的抽象概括水平直 接相关 只有研究符合这一操作性定义的抽象概括的思维 障碍 才能更有效地揭示学生学习数学时抽象概括的思维 规律 2 2 数学学习过程中抽象概括的思维障碍的分类 在文献研究和经验概括的基础上 结合对学生的实际检 测的分析 建立起如下的抽象概括的思维障碍分类 共 4 类 11 种 体系 5 2 2 1 抽离阶段的障碍 1 抽取数学属性的意识不强 抽离的意识 2 抽取数学属性的思维方向不明确 抽离的方向 抽取的只是个别属性或非本质特征 而不是共同属性或本 质特征 或只对给出对象的局部进行抽取 而没有作整体 考虑 3 对所抽取的属性的形式化的表达不准确或者不严谨 而产生歧义 抽离的表达 2 2 2 筛选阶段的障碍 1 面临表述研究对象的数学属性的语句 含符号语句 时 进行逻辑加工的意识不强 筛选的意识 2 在筛选研究对象的数学属性时 对必须遵循从特殊 到一般 从具体到抽象去筛选和提取才能得到本质属性的思 维方向不明确 筛选的逻辑方向 3 对表示等价关系和非等价关系 包含 并列 矛盾 相容 的判断语句的识别与运用有困难 筛选的逻辑基础及 对应的语言表达 2 2 3 假设阶段的障碍 1 对用语句或式子表达的数学属性进行归纳和类比 时 要力求使之具有一般性的意识不强 扩张的意识 2 在将具体的数学结论推广时 不懂得如何用字母或 文字去表示具体结论的一般形式 扩张的表达形式 2 2 4 确认阶段的障碍 1 面临已给出的或经筛选阶段认定的一般结论时 自 觉去进行检验或证明 以确认其正确性的意识不强 确认的 意识 2 对如何证明结论与如何否定结论的逻辑标准不明确 确认的逻辑 通过构造反例去检验结论是否正确的逻辑功 能不明确 对由归纳或类比所得的结论尚需进行严格证明其 正确性的逻辑需要不明确 3 按抽象的语句或符号去表达具体的数学对象时有困 难 确认的形式具体化 不善于按假设的一般结论和抽象 数学形式去构造出特殊或具体的数学形式 确认时经常需要 通过构造正例或反例去检验假设的结论 3 中学生数学学习过程中抽象概括的思维障碍检 测体系的构建思路 不失一般性 研究者对初中学生在数学学习中抽象概括 的思维障碍进行了抽样检测 藉此去探讨中学生在数学活动 中抽象概括的思维障碍的现象和程度 以下是检测的方法 过程和所得的结论 首先 假设同一年龄阶段 相同知识背景的学生在进行 数学学习时所可能产生的抽象概括的思维障碍在整体上是 一致的 在取样合理的条件下 通过样本研究可以对整体的 特征做出正确的判断 其次 为了研究中学生学习过程中抽象概括的思维障 碍 按照前面对这些障碍的分类 设计出模拟数学学习过程 的具有代表性的 需要进行抽象概括才能解决的材料系列 作为对学生进行检测的题目 如前所述 这些题目都尽量注 意到知识背景的合理性 以保证被试不会因为知识缺陷而对 要解决的问题产生障碍 使这些题目对中学生数学学习中抽 象概括的思维障碍的诊断具有足够的信度 例如 在抽象概括的第四阶段 确认阶段 主体常需 要对得到的阶段性结论用具体的数学形式去验证 具体见以 下案例 案例 当主体通过不完全归纳得到 同底数幂相除 底 数不变 指数相减 这个结论之后 为了检验该结论是否正 确 做法之一就是可以用具体的数学形式去表达之 看看如 此之后会产生矛盾否 于是 主体就可能列出各种具体式子 去检验 一旦具体的表达式中出现类似于 253 aaa的情 况时 主体才会引起对 负整数指数幂 的考虑 从而才可 能对 同底数幂相除 底数不变 指数相减 这个结论得到 完整的认识 因此 用具体的数学形式去检验待证的阶段性结论过 程 是主体在进行抽象概括活动中不可或缺的 为了解学生在 确认阶段 的过程中按某种抽象的要求 去构造出具体的数学对象时可能产生障碍的情况 可设计如 下题目去进行检测 题目例 该问题要检测的是学生能否按抽象的语句去构造 具体的数学形式 在这里是由给出的语句去构造具体的数 列 现有两个语句 A 一列数 其中的每一个数都是大于 2 的偶数 B 一列数 其中的首末两个数的个位数是 2 1 写出一列数 使之只符合这两个语句中的一个语句 的要求而不符合另一个语句的要求 2 写出一列数 使之同时符合这两个语句的要求 被试在回答这个问题时 对其中的数学知识应该是完全 掌握的 测试之前要确认被试已经理解何谓 一列数 这 样设计的检测题目才能达到检测的目的 4 初中学生数学学习过程中抽象概括的思维障碍 的诊断检测分析及结论 研究者用按以上的设计原则设计的检测题在广州市的 6 所普通中学进行测试 分别在初二 初三 主要在初三 共取样约 600 人次 结果表明 学生学习数学过程中抽象概 括的障碍相当严重 教师在教学中应当对此有足够的估计 许多在教师眼里是显然的东西 学生却有困难 以抽象概括中的抽离意识为例 让初三的学生 103 人去 90 数 学 教 育 学 报 第 21 卷 完成以下的题目 时间为 4 分钟 题目 请求出方格中的 16 个数的和 1 9 9 8 39 3 6 19 39 4 5 19 2 29 29 7 事实上 只要学生具备先按这些数的特征去选择算法的 意识 抽离数学特征的意识 则不难确定优化计算的方案 并且就能高效地完成后续工作 因而这个的题目功能可视作 对抽离意识的检测 测试结果如下 大体上有 3 类解法 第一种 能从整体上处理 把 1 2 3 4 5 6 7 8 凑成 4 个 9 之和 而把 9 19 29 39 凑整十后计算的有 14 人 占13 5 其中有1人算错答案 占这种做法的人数的7 1 占总人数的 0 97 第二种 能从整体上处理 1 2 3 8 的和 但只会直 接计算 9 19 29 39 的两倍后相加的有 53 人 占 51 5 其中有 9 人算错答案 占这种算法人数的 17 0 占总人 数的 8 7 第三种 不能从整体上处理 只会逐行按顺序计算的有 36 人 占 35 5 其中有 17 人算错答案 占这种算法人数 的 47 2 占总人数的 16 5 可见 三分之一以上的被试没有抽离的意识 而一旦具 备了抽离的意识 则都能较轻易地确定优越的算法并且据此 计算出正确结果 由此得到的结论是 抽离意识强的被试的计算错误率远 小于抽离意识弱的 再以抽象概括中的抽离阶段中的抽离方向为例 题目 有 3 位同学分别去研究 1 3 5 7 9 11 13 这一列数 他们都希望自己对这一列数的特点掌握得更多 从下面他们各自得出的结论来看 你认为谁找到的特点最多 请说出理由 甲 1 都由奇数组成 2 两数之间相差 2 3 其 中有一个数是 9 4 有 5 个质数 5 最小的数是 1 乙 1 由最小是 l 最大是 13 的 7 个互不相等的正奇 数组成 2 其中有一个数是 9 丙 由最小是 1 最大是 13 的 7 个互不相等的正奇数 组成 对于以上的问题 被试往往认识不到对事物本质属性的 描述才可能穷尽对该事物特点的描述 而把抽离数学属性的 方向指向局部或非本质属性 他们认为找到最多特点的应是 甲或乙 这样看的被试占初三被试人数的 75 5 占初二被 试人数的 85 5 又以筛选阶段的筛选意识为例 对于以下问题 题目 写出符合以下 4 点要求的数列 排成一列的若干 个数就是一个数列 例如 4 2 8 5 1 0 2 就是一个 数列 A 其中有两个偶数 B 其中最小的数是 2 其余的 5 个数都是 2 的倍数 C 其中有两个数是互为相反数 D 其中有一个数与另一个数的乘积是 10 如果被试能有对于信息的筛选意识 就能轻意地只写出 一个数列便能同时满足以上 4 点要求 但不少被试却不具有 这种筛选意识 死板地按每点要求去写出不同的数列 检测 的结果是 初三被试学生这样做的占 89 3 再以筛选阶段的逻辑障碍为例 学生的困难更为普遍 对于以下问题 该题实际上也涉及到 确认的形式化 即 能按逻辑需要去构造出具体的数列 题目 几张红色卡片上写着相同的一列数 几张蓝色卡 片上写着相同的另外一列数 有几位同学各拿一张卡片 可 能拿的是红卡片 也可能拿的是蓝卡片 他们分别说出了 卡片中的那一列数的一些特点 甲 我卡片中的数有正数 也有负数 乙 我卡片中的数里有一个数是 0 丙 我卡片中的数里有一个数是 2 丁 我卡片中的数都是正奇数 戊 我卡片中的数都大于 3 己 我卡片中的数里有两个奇数是互为相反数 庚 我卡片中的数都大于 4 根据他们说的 能确定持某种颜色卡片的同学是 此时持另一种颜色卡片的同学是 不能确 定持哪一种颜色卡片的同学是 检测结果表明 不能正确写出结果的即使是初三被试学 生占 94 5 事实上 由丁说的可知 甲 乙 丙和己所持的卡片是 同一种颜色 丁和戌所持的卡片颜色是与甲等人不同的另外 一种颜色 而庚所持的卡片不能确定是哪一种颜色 而对于以下通常应视为简单的问题 不能做出判断的 占初二被试学生的 81 8 占初三被试学生的 49 9 题目 某图形 A 是一个四边形 和 某图形 B 是一个 对角线互相垂直的四边形 这两个语句中可知 图形 A 就是图形 B 这个判断对吗 图形 B 就是图形 A 这个判断对吗 至于对确认某一结论的逻辑标准的认识 学生同样存在 严重的障碍 在并不复杂的背景下 他们便已分辨不清 特 例 究竟是对肯定一个结论具有确定性还是对否定一个结论 具有确定性 例如 对于以下题目 有 85 1 的初三被试学 生认为答案应选 两人都不对 题目 小明认为式子 n 3 n2是正确的 他说因为 当 n 1 时 左边 1 3 4 右边 12 1 左边大于右边 当 n 2 时 左边 2 3 5 右边 22 4 左边大于右边 小方认为式子 n 3 n2是不正确的 他说因为 当 n 3 时 左边 3 3 6 右边 32 9 左边小于右边 你认为 在以下选项上打 小明的结论是对的 小方的结论是对的 两人的结论都不对 限于篇幅 测试的题目和被试的情况不再一一罗列 按前面对障碍的分类 4 类 11 种 去设计了测试题目 并在广州市的6所普通中学的初三学生中抽取493人次的测 第 4 期 林少杰 中学生数学学习中抽象概括的思维障碍研究 91 试 测试结果如表 1 表中数据是错误百分率 表 1 测试结果 抽离 筛选 假设 确认 意识 35 5 89 3 60 0 68 3 方向 75 5 57 4 表达 53 3 12 7 理解 94 5 85 1 具体化 57 4 由以上的检测与分析可见 对于中学生在数学学习中 需要进行抽象概括时所表现出的错漏或困顿 教师不应笼 统视为 水平低 或 基础差 应当具体地分析学生产生 障碍的类型和程度 以渗透的方式逐步地提高学生对事物 的数学属性的抽离 筛选 假设和确认的能力 针对数学 学习中对事物的数学属性和特征进行抽象概括的需要 分 阶段 分类型地培养学生的抽象概括的意识 帮助学生把 握抽象概括的方向 教会学生掌握用数学学科的规范对数 学现象进行准确的表达 帮助学生在头脑中建立起相对完 备的逻辑体系 进而排除来自认知过程中不仅涉及知识缺 陷 而且涉及认知模式 认知结构的各种障碍 6 13 从而 构建起对数学学习时进行抽象概括的完善的认知结构 形 成良好的数学素质 为数学学习乃至其他学习活动的顺利 进行打下重要的基础 参 考 文 献 1 曹才翰 蔡金法 数学教育学概论 M 南京 江苏教育出版社 1989 2 朱智贤 林崇德 思维发展心理学 M 北京 北京师范大学出版社 1986 3 蔡金法 关于学生数学概括能力发展差异的实验研究 J 数学通报 1988 3 37 4 安德森 学习 教学和评估的分类学 M 皮连生译 上海 华东师范大学出版社 2010 5 林少杰 初中学生数学学习感知障碍的研究 J 数学通报 1995 11 28 6 斯海霞 叶立军 新老教师数学抽象概括教学差异的比较研究 J 数学教育学报 2010 19 6 53 7 魏勇刚 儿童数学认知障碍的执行功能解释 J 数学教育学报 2010 19 1 86 8 裴昌根 初中生数学学习成败归因的调查研究 J 数学教育学报 2009 18 2 39 9 乔希民 李军庄 杜卫洁 等 基于促进学生高效学习的数学课堂教学行为研究 J 数学教育学报 2010 19 5 84 10 熊春连 王延文 王光明 数学优秀生的学习心理特征 J 数学教育学报 2009 18 2 42 11 王光明 刁颖 高效数学学习的心理特征研究 J 数学教育学报 2009 18 5 51 12 张文宇 范文贵 国际视野下数学学习中情感及元情感研究 J 数学教育学报 2009 18 1 52 13 宋晓平 严碧友 论数学课堂学习动力系统的特征 J 数学教育学报 2009 18 5 18 Study on Disorders of Abstract Thinking of Middle School Studen