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1 第二章卡方分布及正态总体方差的推断第一节卡方分布 一 数学形式1 定义设随机变量X1 X2 Xk 相互独立 且都服从同一的正态分布N 2 那么 我们可以先把它们变为标准正态变量Z1 Z2 Zk k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方 2 我们把随机变量 2的概率分布称为 2分布 其概率密度记作 其中k为卡方分布的自由度 它表示定义式中独立变量的个数 2 理解 卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布 实质 以Z分数测量的变量 将其值平方并加总后形成的概率分布 若干个Z变量的平方和 自由度 Z变量的个数卡方分布与Z分布关系 Z值 自由度为1的卡方值的平方根Z 2 1df 4 二 卡方分布的性质 1 右偏性 2 渐近性 随着自度由的增加 图形渐趋对称 当自由度逐渐变大时 卡方分布会趋近于正态分布 3 恒正性 因为其值经过平方 所以卡方值都是正值 没有负值 4 自由性 卡方分布取决于自由度k 每一个可能的自由度对应一个具体的卡方分布 分布由正态分布导出 但它之所以与正态分布的参数 和 无关 是因为标准正态变量Z与原来的参数无关 卡方分布的期望值是自由度k 方差为2k 5 可加性 5 注意写法的含义 它表示自由度为k的卡方分布 当其分布函数时 其随机变量 2的临界值 参见图 具体来说 在假设检验中 它表示在显著性水平 上卡方分布随机变量 2的临界值 三 卡方分位点关于卡方分布的分布函数 附表7对不同的自由度k及不同的临界概率 0 1 给出了满足下面概率式的 K 的值 参见图 20 1 8 13 3620 20 05 8 15 5070表示当一个卡方变量有8个自由度 卡方值超过13 3620的概率 为0 1 超过15 5070的概率 为0 05 2分布 分为点的求法 2分布 分为点的求法 对于n 45的 分为点可查表求得 当n充分大 n 45 时 近似地有其中u 为标准正态分布上的 分为点 例2 已知k 5 5 15 求临界概率 解 查卡方分布表 在表中自由度为5的横行中找到与15最接近的数值是15 086 得到 的近似值为0 01 由此可知P 0 01 5 0 01 例3 解 9 第二节正态总体的样本方差分布定理及其推断一 样本方差分布定理 定理内容 在正态总体中 所有可能样本的方差分布服从卡方分布 换句话说 正态总体中样本方差与总体方差之比服从卡方分布 或式中 2代表总体方差 自由度为n l 例 由一正态总体抽出容量为25的一随机样本 已知 2 6 求样本方差S2在3 3到8 7之间的概率 二 正态总体方差的区间估计由 2分布的性质 我们知道有因此 对于给定的置信水平1 总体方差的区间估计为 例 研究者调查某社区居民家庭收入情况 现随机抽查了10户 得到样本方差为S 200 元2 试以90 的置信水平估计居民总体家庭收入之方差的置信区间 三 单正态总体方差的假设检验 例 某研究人员为了证实六级小学生智商的标准差是小于15
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