一类特殊实对称矩阵的性质与应用-应用数学毕业论文初稿-

本科毕业论文（设计）题 目： 一类特殊实对称矩阵的性质与应用 学 生： 蒋海波 学号： 201340510653 学 院： 数学与统计学院 专业： 数学与应用数学 入学时间： 2013 年 9 月 11 日指导教师： 田雪 职称： 讲师 完成日期： 2017 年 3 月 2 日 一类特殊实对称矩阵的性质与应用 摘 要 ：实对称矩阵是一类应用广泛的矩阵，很多科学问题的求解都离不开实对称矩阵,而在实对称矩阵中存在着一些特殊的的实对称矩阵，这些实对称矩阵具有一般矩阵同样具有的性质，同时因为自身具有的特殊性，因而在计算矩阵的行列式、逆、秩、迹等方面具有简便的运算.本文讨论了一类特殊的实对称矩阵等差实对称矩阵的定义和性质，给出了等差实对称矩阵在化二次型的标准型，一般的元函数求最大值最小值，对角化中正交矩阵的初等变换求法中的应用.关键词：实对称矩阵;等差数列;二次型标准型;初等变换Properties and applications of a class of special real symmetric matricesAbstract: The real symmetric matrix is a widely used matrix, solving a lot of scientific problems all cannot do without the real symmetric matrix, and some special of the real symmetric matrix in real symmetric matrix, real symmetric matrices with these propertiesof general matrix with the same, and because of its own specialties, with simple and convenient operation in the calculation of determinant, inverse matrix, rank, etc. and trace. This paper discusses the definition and properties of a special kind of real symmetric matrix arithmetic of real symmetric matrix, real symmetric matrix arithmetic in the standard type two type is given, the general function for the maximum minimum value of orthogonal elementary transformation for the application of matrix diagonalization method.Key words: Real symmetric matrix; arithmetic progression; two standard type; elementary transformation目 录引言.11基本概念 .12等差实对称矩阵的性质.23等差实对称矩阵的应用.63.1等差实对称矩阵在二次型中的应用. .63.2 等差实对称矩阵在一般的元函数中的极值讨论中的应用. .83.3等差实对称矩阵对角化中正交矩阵的初等变换求法.10参考文献.14致谢 .14引言为了叙述方便，假定本文进行的探讨均在实数域内随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普及运用，数学的独特魅力，在借助于计算机这一强大的工具作用下，在解决科技生产中的重大实际问题的过程中正得以充分的体现.在数学中，确立矩阵概念和产生“矩阵”一词的动机是试图为研究行列式提供一种适当的代数语言.英国数学家西尔维斯特（sylvester,18141897）在进行线性方程组的研究时，首次引入了矩阵的概念.如今，矩阵已经是数学上的一个重要概念.由于它描述问题表达简洁，刻画实质深刻等优点，近几十年来已经成为解决科技生产中的重大实际问题所最常用的方法之一.譬如：在概率论和经济学等学科中经常用的非负矩阵，在均衡轮、投入产出分析和增长模型的研究中产生的矩阵；在控制论及神经网络大系统的稳定性、线性时滞系统的稳定性中需要矩阵及正稳定矩阵等等.由于这些特殊矩阵应用背景的广泛性，近年来国内外对这方面的研究工作相当活跃.已经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为“大规模科学工程计算理论”的一个重要组成部分.正因为特殊矩阵在许多的科学技术领域内部有不同程度的应用，因而对一些特殊矩阵的研究具有较高的学术价值和实际意义.而实对称矩阵是一类应用广泛的矩阵很多科学问题的求解都离不开实对称矩阵,而在实对称矩阵中存在着一些特殊的的实对称矩阵，这些实对称矩阵具有一般矩阵同样具有的性质，同时因为自身具有的特殊性，因而在计算矩阵的行列式、逆、秩、迹等方面具有简便的运算。下面将介绍一种特殊的实对称矩阵并研究它具有的相关性质.1 基本概念 定义1：设 是以为首项，公差为的等差数列，则实对称矩阵称为等差实对称矩阵. 例如，实对称矩阵，均是等差实对称矩阵.2 等差实对称矩阵的相关性质定理1：设实对称矩阵为等差实对称矩阵，其中 是以为首项，公差为的等差数列，则证明：根据等差实对称矩阵的定义有所以有由行列式的性质，从第二行开始每一行减去前一行定理2:设实对称矩阵为等差实对称矩阵，其中 是以为首项，公差为的等差数列,则证明：由定义1知当时,此时矩阵的行向量，列向量均线性相关，极大线性无关组为零，所以秩;当时,此时等差实对称矩阵的极大线性无关组为，所以秩; 当时,此时等差实对称矩阵的极大线性无关组为，所以秩;当时由定理1知,此时等差实对称矩阵的行向量，列向量均线性无关，极大线性无关组为，所以秩;定理3：设实对称矩阵是一个的等差实对称矩阵，其中 是以为首项，公差为的等差数列，且，则证明：对进行初等行变换，所以有引理1：矩阵的全体特征值的和为称为的迹，记为.定理4：设实对称矩阵为等差实对称矩阵，其中 是以为首项，公差为的等差数列，则证明：根据引理1知引理2：设时一个数域，,矩阵的主对角线上的元素之和，叫做的迹，是矩阵的全部特征值，那么推论1：设实对称为等差实对称矩阵，是矩阵的全部特征值，则证明：根据引理2知,又由定理4知所以有证毕.例1：设阶等差实对称矩阵的全部特征根为证明证明：由的特征根为，故的全部的特征根为，而故.3 等差实对称矩阵的应用3.1 等差实对称矩阵在二次型中的应用引理3：若二次型中只含有变量的平方项，即，其中为实数，则称该二次型为标准型.用非退化线性替换，把二次型话为标准型的问题是二次型理论的主要问题.化二次型为标准型的方法主要有：配方法，正交替换法，初等变换法.下面将利用矩阵的和式分解的方法将以上述等差实对称矩阵为二次型的矩阵的二次型化为标准型.设实二次型，二次型的矩阵为等差实对称矩阵，即其中 是以为首项，公差为的等差数列，所以因为矩阵为等差实对称矩阵所以有根据矩阵的和式分解故有令即经非退化线性替换得例2 用非退化线性替换化下列实二次型为标准型：解的矩阵为 故有令即经非退化线性替换得3.2 等差实对称矩阵在一般的元函数中的极值讨论中的应用.为了证明下面的主要结果，我们先给出以下的几个引理.引理4：在微积分的多元函数理论中，曾经讨论了二元函数的极值问题，并得到了极值的必要条件和充分条件.现在，我们把这些条件推广到一般的元函数.设元函数 在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记 引理5：（极值存在的必要条件）设函数在点存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则.引理6：下面给出一个驻点为极值的充分条件.首先，引入矩阵称为函数在处的黑赛矩阵.即是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵.设函数 在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.且则（1）当为正定矩阵时，为的极小值.（2）当为负定矩阵时，为的极大值.（3）当为不定矩阵时，不是的极值.由3.1知以等差实对称矩阵为矩阵的二次型可以看作一个定义在实数域中的的元函数，根据引理5有：定理5：上述元函数的驻点唯一，即由得.证明：对求各阶偏导数便令各阶偏导数都等于零.解得.如要求得元函数的最大值和最小值，则需要求在处的黑赛矩阵，在根据引理6进行判断.又由于元函数是实数域上的一个元二次型，且其二次型矩阵为等差实对称矩阵，根据3.1等差实对称矩阵在二次型型中的应用，下面将提供一种不用求函数的黑赛矩阵而判断的最大值最小值.（1） 当时，在邻域，根据极值的判断条件.在处取得极大值.（2） 当时，在邻域，根据极值的判断条件.在处取得极小值.3.3 等差实对称矩阵对角化中正交矩阵的初等变换求法引理7:实对称矩阵一定可以正交对角化即对于任意一个阶实对称矩阵 ，都存在一个阶 正交矩阵 ，使，其中，,为的特征值 引理8:矩阵可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积.由于正交矩阵是可逆的，且其逆矩阵也为正交矩阵，所以对于实对称矩阵，存在一系列初等矩，使得 ， （1）注意到，初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵，且 ，所以相当于对实对称矩阵 先进行了一次初等行（列）变换，然后再进行一次相应的逆初等列（行）变换 上面的讨论提示了一种将对称矩阵对角化的方法设为一阶实对称矩阵，存在一系列初等矩阵，使得. （2）记，则可表示为 （3） 由（2），（3）知，如果用一系列初等列变换和相应的逆初等行变换把对称矩阵对角化，那么对单位阵实行同样的初等列变换，就可以得到变换矩阵即 （4）为了得到正交矩阵（变换），需要利用正交化方法，将变换矩阵化为正交矩阵由于实对称 矩阵存在重根的情形，且属于不同特征值的特征向量正交，因此，这里我们只讨论存在一个重特征值的情形，其余情形可以类推得到 设对角，其中为重根，对应的变换矩，对列向量进行标准正交化首先进行正交化，令， 其中为常数，此时相当于对矩阵进行了一系列初等列变换，以及同时对对角阵 进行相应的逆初等行变换接着进行单位化，即用 对矩阵进行初 等列变换以及对角阵进行相应的逆初等行变换，从而将矩阵 化为正交矩阵具体变换如下，先对 的前列进行正交化，再对第列正交化，即在使用正交化方法的过程中，仍然是对矩阵进行初等变换 综合以上情形，得到利用初等变换法求解实对称矩阵对角化中正交矩阵的方法, . （5）同理，也可得到初等行变换求对角化中正交矩阵的方法 . （6）需要注意的是，（5）式在对变换矩阵正交化时，只能对下端矩阵的列向量进行正交化，而（6）式 中，只能对右端变换矩阵的行向量进行正交化定理6：设矩阵为等差实对称矩阵，则实对称矩阵的特征向量分别，.下面利用初等变换法求解等差实对称矩阵对角化中的正交矩阵和特征向量 例3 已知，求正交矩阵，使为对角形,和特征向量. 解: 利用初等列变换（5）式求解对角化中的正交矩阵，这里采取先进行初等行变换，再进行相应的初等列变换的顺序由特殊实对称矩阵的特征向量分别,对特征向量进行正交化再对进行单位化所以 参考文献 ：1李文林.数学史概论M.3版.北京：高等教育出版社,2007：219-2202王恒斌，宋福庆.一类特殊矩阵及其相关问题的研究J.安阳师范学院学报（自然科学版），2006，26（2）：11-143北京大学数学系几何与代数研究室前代数小组,王萼芳,石生明,修订.高等代数M.4版.北京：高等教育出版社，2013.4唐鹏程矩阵的迹及其应用J孝感学院学报（自然科学版）2000,20（4）：11-13.5王品超高等代数新方法下册M徐州：中国矿业大学出版社，2003.6刘建业，张天德,吕洪波等.高等代数习题精选精讲M济南：山东科学技术出版社，2012,202-212.7邱森线性代数学习指导与习题解析M.武汉：武汉大学出版社，2014,248-250.8卢刚线性代数M.北京：高等教育出版社2000,218-220.9华东师范大学数学系.数学分析下册M.北京：高等教育出版社2010,145-148.10同济大学数学系.工程数学线性代数M.5版.北