北航动力学5C.ppt

1 习题课 2 第二类拉格朗日方程的总结 对于具有完整理想约束的质点系 若系统的自由度为k 则系统的动力学方程为 为对应于广义坐标的非有势力的广义力 当系统为保守系统时 有 1 若系统存在循环坐标 则 2 若系统的拉格朗日函数不显含时间t 则 3 5 3 拉格朗日方程的首次积分 例 系统如图所示 已知 为弹簧原长 求滑块的拉格朗日方程首次积分 解 系统 滑块 的广义坐标为q 拉格朗日函数中不显含时间t 则Lagrange方程有广义能量积分 T2为牵连惯性力的势能 4 5 3 拉格朗日方程的首次积分 例 系统如图所示 求系统动力学方程 维持AB匀角速 转动所需的控制力偶M 已知 为弹簧原长 解 系统的广义坐标为 当时 问题 该题还可以用什么方法求解 5 习题课 例 在图示机构中 均质圆盘在地面上纯滚动 均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接 初始时 杆水平 系统静置 求系统在图示位置时 杆的角速度 角加速度以及A点的速度和加速度 AB L 解 系统的主动力均为有势力 6 习题课 当 上式对时间求导得 7 习题课 例 在图示机构中 均质圆盘在地面上纯滚动 均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接 图示瞬时系统静止 求该瞬时地面的约束力 AB L R 解 系统的主动力均为有势力 8 习题课 求地面的法向力 研究整体 求摩擦力 研究圆盘 9 习题课 例 系统如图所示 不计质量的绳索绕在均质圆盘上 无相对滑动 另一端悬挂在A点 求系统的运动微分方程 关键问题 求系统的动能和势能 P 10 习题课 例 系统如图所示 均质圆盘可绕O轴转动 不计质量的绳索绕在圆盘上 无相对滑动 另一端与小球A 视为质点 连接 求系统的运动微分方程 已知 m r Jo 问题 系统有几个自由度 如何选取广义坐标 系统的动能和势能 11 5 4 哈密顿方程 一 保守系统的拉格朗日方程 设 L T V 拉格朗日函数 拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组 12 5 4 哈密顿方程 二 哈密顿方程简介 其中 哈密顿方程是关于广义坐标和广义动量的一阶微分方程组 对于定常约束的保守系统 哈密顿函数H就是系统的动能与势能的和 即 13 5 4 哈密顿方程 例题 求自由质点在重力场中的哈密顿函数和哈密顿方程 1 系统的广义坐标 2 系统的动能 系统的哈密顿函数H T V 14 5 4 哈密顿方程 例 图示机构在铅垂面内运动 均质杆AB用光滑铰链与滑块连接 杆与滑块用刚度系数为k1的扭簧连接 时扭簧无变形 求系统哈密顿方程 AB 2L M是正定对称矩阵 是广义坐标的函数 15 5 4 哈密顿方程 系统的哈密顿函数H T V 16 例题的数值仿真 摆杆的运动 滑块的运动 现象 不同的初始条件 系统的动力学行为不同 17 例题的数值仿真 18 地球安全吗 地球并不太平 天文学家们经过观测发现 在火星的外侧和木星的内侧有一个由数目众多的小行星构成的小行星带 它们一般都是按照正常轨道运行 但是总有那么一些不安分守己分子悄悄逃跑 进入近地轨道 给地球带来威胁 1989年曾有一颗小行星与地球擦肩而过 引起人们一阵紧张 国外科学家预测 2014年或2017年 地球有可能遭到小行星的撞击 19 彗星撞击木星的 预测 1994年7月16日至22日 一颗命名为苏梅克 列维9号的彗星断裂成21个碎块 其中最大的一块宽约4公里 以60km s速度连珠炮一般向木星撞去 伽利略 号木星探测器 20 木星简介 木星是太阳系9大行星中位居中间且又是最大的一个星球 它的半径为71300公里 比地球大11倍 体积是地球的1316倍 质量是地球的318倍 相当于其他8大行星总质量的2 5倍 21 太阳系 哈密顿系统 在研究星球的运动轨道时 太阳系可视为哈密顿系统 其动力学方程可表示成 问题 如何精确地计算行星的运动轨迹 准确地预测行星位置 从而估计小行星撞击地球的可能性 k 3n n为行星的个数 9大行星 近百个小行星 22 哈密顿系统的辛算法 冯康 1920 9 1993 8 数学与物理学家 计算数学家 1944年毕业于重庆中央大学物理系 1951 1953年赴前苏联进修 曾任中国数学会理事 计算数学分会副理事长 中国计算机学会副主任等职 1980年被选为中国科学院学部委员 数学物理学部院士 在拓扑代数 广