高考数学复习第九章平面解析几何第8节曲线与方程学案理新人教B版.docx

第8节曲线与方程最新考纲1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知 识 梳 理1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤常用结论与微点提醒1.“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件.()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线.()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.()(4)方程y与xy2表示同一曲线.()解析对于(2)，由方程得x(xy1)0，即x0或xy10，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y是曲线xy2的一部分，错误.答案(1)(2)(3)(4)2.已知M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，则动点P的轨迹是()A.双曲线 B.双曲线左支C.一条射线 D.双曲线右支解析由于|PM|PN|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.答案C3.(2018广州调研)方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线解析原方程可化为或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.答案D4.已知A(2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足APOBPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是()A.(x2)2y24(y0) B.(x1)2y21(y0)C.(x2)2y24(y0) D.(x1)2y21(y0)解析由角的平分线性质定理得|PA|2|PB|，设P(x，y)，则2，整理得(x2)2y24(y0)，故选C.答案C5.过椭圆1(ab0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是_.解析设MN的中点为P(x，y)，则点M(x，2y)在椭圆上，1，即1(ab0).答案1(ab0)考点一直接法求轨迹方程【例1】 (1)(2018豫北名校联考)已知ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_.(2)(2018大同模拟)与y轴相切并与圆C：x2y26x0也外切的圆的圆心的轨迹方程为_.解析(1)设A(x，y)，由题意可知D.又|CD|3，9，即(x10)2y236，由于A，B，C三点不共线，点A不能落在x轴上，即y0，点A的轨迹方程为(x10)2y236(y0).(2)若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2y26x0外切的圆的圆心为P(x，y)(x0)，则半径长为|x|，因为圆x2y26x0的圆心为(3，0)，所以|x|3，则y212x(x0)，若动圆在y轴左侧，则y0，即圆心的轨迹方程为y212x(x0)或y0(x0)或y0(x0)规律方法直接法求曲线方程的关键点和注意点(1)关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程，要注意翻译的等价性，通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略.(2)注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.【训练1】 (2018聊城模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足t()，其中tR，则点C的轨迹方程是_.解析设C(x，y)，则由t()得t()，所以t，即(x1，y)t(1，2)，故消去t得y2(x1)，即2xy20.答案2xy20考点二相关点(代入)法求轨迹方程【例2】 (1)(2017银川模拟)动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是_.(2)(2018武威模拟)设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为_.解析(1)设中点的坐标为(x，y)，则圆上的动点A的坐标为(2x3，2y)，所以(2x3)2(2y)21，即x2y23x20.(2)设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0，由2，得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x，故点N的轨迹方程为y24x.答案(1)x2y23x20(2)y24x规律方法“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.【训练2】 已知F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.1(y0) B.y21(y0)C.3y21(y0) D.x21(y0)解析依题意知F1(1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得即代入1，得重心G的轨迹方程为3y21(y0).答案C考点三定义法求轨迹方程(典例迁移)【例3】 (经典母题)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.解由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2).【迁移探究1】 将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为_.解析由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|PN|(Rr1)(Rr2)r1r22，即|PN|PM|2，又|MN|2，所以点P的轨迹方程为y0(x2).答案y0(x2)【迁移探究2】 把本例中圆M的方程换为：(x3)2y21，圆N的方程换为：(x3)2y21，则圆心P的轨迹方程为_.解析由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|1R，|PN|R1，故|PM|PN|(1R)(R1)21).答案x21(x1)【迁移探究3】 在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x1相切，则圆心P的轨迹方程为_.解析由于点P到定点N(1，0)和定直线x1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y24x.答案y24x规律方法定义法求曲线方程的两种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解.【训练3】 ABC的顶点A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_.解析如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826，|AB|10.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3).答案1(x3)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018长沙月考)若方程x21(a是常数)，则下列结论正确的是()A.任意实数a方程表示椭圆B.存在实数a方程表示椭圆C.任意实数a方程表示双曲线D.存在实数a方程表示抛物线解析当a0且a1时，方程表示椭圆，故选B.答案B2.若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足0，则P点的轨迹是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析以线段MN的中点为原点(0，0)，以MN所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则M(3，0)，N(3，0).设P(x，y)，则(3x，y)(3x，y)x2y290，即x2y29，则P点的轨迹是以(0，0)为圆心，以3为半径的圆.答案A3.已知点P在曲线2x2y0上移动，则点A(0，1)与点P连线的中点的轨迹方程是()A.y22x B.y28x2C.y4x2 D.y4x2解析设AP的中点坐标为(x，y)，则P(2x，2y1)，由点P在曲线上，得2(2x)2(2y1)0，即y4x2.答案C4.设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()A.y22x B.(x1)2y24C.y22x D.(x1)2y22解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0).连接MA，PM，则MAPA，且|MA|1，又因为|PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以(x1)2y22.答案D5.(2018长春模拟)设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.a，c1，则b2a2c2，M的轨迹方程为1.答案D二、填空题6.已知点O(0，0)，A(1，2)，动点P满足|2，则点P的轨迹方程为_.解析设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x1，y2)，(2x1，2y2)，所以(2x1)2(2y2)24，整理可得4x24y24x8y10.答案4x24y24x8y107.直线1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是_.解析设直线1与x，y轴的交点分别为A(a，0)，B(0，2a)，AB中点为M(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1，因为a0，a2，所以x0，x1.答案xy1(x0，x1)8.在ABC中，|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|2，则顶点A的轨迹方程为_.解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.|AB|AC|2|BC|4，点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)且a，c2，b，轨迹方程为1(x).答案1(x)三、解答题9.如图所示，动圆C1：x2y2t2，1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左、右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解由椭圆C2：y21，知A1(3，0)，A2(3，0)，由曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3).直线A2B的方程为y(x3).由得y2(x29).又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0).因此点M的轨迹方程为y21(x3，yb0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且，则动点Q的轨迹方程是_.解析由于，又22.设Q(x，y)，则，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.答案113.(2018安庆模拟)已知抛物线x22py(p0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示.(1)求点C的轨迹M的方程；(2)直线n是抛物线不与x轴