复变函数复习自测题.doc

复变函数复习自测题一、仔细考虑复平面上区域、单连通区域和多连通区域的特点，判断下列复数关系表示的平面点集是否区域.若是区域，是单连通区域，还是多连通区域.1. ； 2. ； 3. 且.二、仔细回顾复数的各种运算，并利用复数的运算计算或证明下列各题：1. （1）设，求；（2）设，求.2、（1）将化为三角形式或指数形式；（2）证明：.3、证明：（1）；（2），并说明其几何意义；（3）设，则当时，；（4）若 ，且，则 ；，可连成一个正三角形.4、用复数的方法证明：；.5、若是1的任一个次方根，且，证明：.三、仔细回顾下面的几种关系：1. 复函数的极限或连续与实、虚部两个二元实函数，的极限或连续的关系；并利用此关系解决下面问题：（1）证明：在全平面上连续；（2）证明：和都不存在.2. 复函数在一点解析与在一点可导（可微）的联系与区别；3. 复函数的可导或解析与，的关系，并利用此关系讨论下列函数在复平面上的可导性和解析性：（1）；（2），；（3），；（4）.四、设在区域内解析，仔细体会并证明在区域为常数的下面几种条件：1. ；2. 常数或常数；3. 常数；4. 存在实常数（其中），使得；5. 或或也在区域内解析.并利用第5个条件简洁地证明下列各函数在复平面上不解析：，.五、仔细体会将初等多值函数单值化的方法，以及求初等多值函数单值分支函数的函数值的计算方法（即已知初值求终值的计算公式），并以此解决如下问题：1. 据理说明：（1）和都在区域内可分出单值解析分支；（2）和表示在正实轴上沿取正实数的解析分支，分别求，和在处的值以及在正实轴下沿上处的值；2. 课本P39页第16题，第17题，第18题.六、仔细体会复积分计算的参数方程法和牛顿莱布尼茨公式，并以此计算下列积分：1. ，其中 （1）是从0到2的直线段；（2）是从0到2的上半圆周.2. ，其中（1）是从到的上半单位圆周；（2）是从到的右半单位圆周.（用参数方程和牛莱公式两种方法计算，提示：用牛莱公式时，注意用对被积函数变形）3. （表示满足的分支），其中（1）是从到的上半单位圆周；（2）是从到的右半单位圆周.4. ，其中是从到的任意简单曲线.七、仔细体会柯西定理，柯西公式和解析函数的高阶导数公式的条件，并用它们解决如下问题：1. 计算下列积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（表示满足的分支）；（6）.2. 利用和的值分别证明：（1）； （2）.3. 证明：，其中为不过点的围线. 4、设在有界闭区域上解析，（1）若对任意，常数，则常数；（2）若对任意，则（为实常数）.5. P57页第13题.八、叙述解析函数的无穷可微性，关于解析函数高阶导数模的柯西不等式，并以此证明（1）对区域内解析的函数，其实部、虚部两个二元实函数在区域内具有任意阶连续的偏导数,且都是调和函数；（2）关于整函数的刘维尔定理（要求：先叙述定理，再证明）；（3）利用（2）再证明关于多项式函数的代数学基本定理（要求：先叙述定理，再证明）.九、（1）仔细体会幂级数的收敛半径，幂级数的性质，并归纳收敛半径的求法；（2）求P85页第5题中的幂级数的收敛半径，并指出其收敛圆和收敛圆周：十、仔细体会已学过的幂级数展式或罗朗展式的求法，并求下列函数在指定点或指定圆域或指定圆环内的展式：（1），在的幂级数展式；（2）分别在，内的展式；（3）课本P86页第12题.十一、仔细体会解析函数零点阶数的判别法，零点的孤立性以及解析函数的惟一性，并以此解决下面的问题：1. 判断是下列函数的零点，并求出零点的阶数级：。（1）；（2）；（3）.2. 用惟一性定理证明：（1）基本展式 ，.（2）三角恒等式 .（3）若在区域内解析，为曲线或区域或有属于的聚点的平面点集，在上常数，则在区域内 常数.十二、设是一条围线，在的内部解析，在上连续，且在上，为常数，若常数，则在内至少有一个零点.（提示：用反证法及最大模，最小模原理）十三、仔细体会解析函数孤立奇点分类的定义，各类孤立奇点的特征及各类孤立奇点的判别方法.，并以此讨论下列函数的奇点（包括无穷远点），并指出类型：1. ；2. ；3.