一维热传导方程(Richardson格式).doc

中南林业科技大学 偏微分方程数值解法学生姓名：周晓虹学 号：20083710学 院：理学院专业年级：08信计1班设计题目：一维热传导方程的Richardson格式 2011年06月一 问题介绍考虑一维热传导方程：（1） 其中a是正常数，是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法，可将方程（1）的定解问题分为两类：第一类、初值问题（也称Cauthy问题）：求具有所需次数偏微商的函数，满足方程（1）（）和初始条件：（2） 第二类、初边值问题（也称混合问题）：求具有所需次数偏微商的函数，满足方程（1）（）和初始条件：（3）及边值条件(4) 假定在相应区域光滑，并且在满足相容条件，使上述问题有唯一充分光滑的解。二 区域剖分考虑边值问题（1），（4）的差分逼近。去空间步长和时间步长，其中N,M都是正整数。用两族平行直线：将矩形域分割成矩形网格，网格节点为。以表示网格内点集合，即位于开矩形G的网点集合；表示所有位于闭矩形的网点集合；=-是网格界点集合。三 差分格式第k+1层值通过第k层值明显表示出来，无需求解线性代数方程组，这样的格式称为显格式。第k+1层值不能通过第k层值明显表示出来，而由线性代数方程组确定，这样的格式称为隐格式。Richardson格式（8） ，或（9）。这是三层显示差分格式。 截断误差阶为： 。为了使计算能够逐层进行，除初值外，还要用到，这可以用前述二层差分格式计算（为保证精度，可将0,分成若干等份）。四 格式稳定性通过误差估计方程（1） 可知对任意的r ，Richardson格式都不稳定，所以Richardson格式绝对不稳定。五 数值例子例1 令f ( x ) = 0和a = 1，可求得u（x,t）一个解析解为u ( x , t ) =exp ( x + t )。用Richardson格式验证数值结果如下：请输入n的值(输入0结束程序):5请输入m的值(输入0结束程序):5xj tk 真实值xik 近似值uik 误差errik0.166667 0.166667 1.395612 1.396080 0.0004680.333333 0.166667 1.648721 1.649481 0.0007600.500000 0.166667 1.947734 1.948649 0.0009150.666667 0.166667 2.300976 2.301888 0.0009120.833333 0.166667 2.718282 2.718949 0.0006670.166667 0.333333 1.648721 1.645540 0.0031820.333333 0.333333 1.947734 1.944806 0.0029280.500000 0.333333 2.300976 2.297583 0.0033930.666667 0.333333 2.718282 2.713600 0.0046820.833333 0.333333 3.211271 3.204099 0.0071710.166667 0.500000 1.947734 1.988145 0.0404110.333333 0.500000 2.300976 2.291621 0.0093550.500000 0.500000 2.718282 2.707514 0.0107680.666667 0.500000 3.211271 3.195685 0.0155860.833333 0.500000 3.793668 3.907779 0.1141110.166667 0.666667 2.300976 1.214156 1.0868200.333333 0.666667 2.718282 3.293822 0.5755410.500000 0.666667 3.211271 3.164907 0.0463640.666667 0.666667 3.793668 5.400692 1.6070240.833333 0.666667 4.481689 1.545878 2.9358110.166667 0.833333 2.718282 35.747074 33.0287920.333333 0.833333 3.211271 -24.211361 27.4226310.500000 0.833333 3.793668 31.083927 27.2902590.666667 0.833333 4.481689 -69.891509 74.3731980.833333 0.833333 5.294490 95.148891 89.854401六 参考文献1陆金甫，关治编.偏微分方程数值解法M.北京：清华大学出版社，2003：35-137.2南京大学数学系.计算数学专业编，偏微分方程数值解法M.北京：科学出版社，1979：10-11.附录程序源代码：#include #include #include #define Max_N 1000double uMax_NMax_N,bMax_N,aMax_N,cMax_N,fMax_N,errMax_NMax_N,xMax_NMax_N,yMax_N,betaMax_N,ErrMax_N;int n,m; /将空间区间【0，1】分为n等份；时间区间【0，1】分为m等份void catchup()int i;beta1=c1/b1;for(i=2;in;i+)betai=ci/(bi-ai*betai-1);y1=f1/b1;for(i=2;i0;i-)ui1=yi-betai*ui+11;int main() /一维热传导方程的Richardson格式int k,i;double h,t,r;double pi=3.1415627;printf(请输入n的值(输入0结束程序):n);if(scanf(%d,&n) printf(请输入m的值(输入0结束程序):n);while(scanf(%d,&m)&m&n) /u(x,t)=exp(x+t),u(x,0)=exp(x),f(x)=0,x属于0,1,t属于0,1,a=1. h=1.0/(n+1);t=1.0/(m+1);r=t/(h*h);for(i=0;i=n+1;i+)/初值条件ui0=exp(i*h); for(k=0;k=m+1;k+)/边值条件u0k=exp(k*t);un+1k=exp(n+1)*h+k*t);printf(xj tk 真实值xik 近似值uik 误差errikn);b1=1+r; c1=-r/2;an=-r/2;bn=1+r;f1=r/2*u20+(1-r)*u10+r/2+r/2*u01;fn=r/2*un+10+(1-r)*un0+r/2*un-10+r/2*un+11;for(i=2;in;i+)bi=1+r;ai=-r/2;ci=-r/2;fi=r/2*ui+10+(1-r)*ui0+r/2*ui-10;catchup();for(k=2;k=m;k+)for(int j=1;j=n;j+)ujk=2*r*(uj+1k-1-2*ujk-1+uj-1k-1)+ujk-2;for(k=1;k=m;k+)for(i=1;iui