《流体力学》辅导材料5.doc

流体力学辅导材料5第5章 【教学基本要求】掌握 1. 相似概念2. 相似准则的意义与常用流动相似准则3. 量纲分析的基本方法【学习重点】1. 相似的概念。2. 相似准则数的物理意义。3. 量纲分析法，P定理，以及应用。4. 相似准则数的应用，自动模拟的概念。【内容提要和学习指导】5,1 相似概念一、物理现象相似如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征量之间的比值在所有对应点上保持常数，则这两个物理现象称为相似的，这些常数称为相似系数（比尺），它们都是无量纲的常数。1. 流动的力学相似 力学相似包括：几何相似，运动相似，动力相似。1）几何相似：两流场中对应长度成同一比例。 对用边成比例:对应角相等：流场边界的几何相似： 对于绕流问题，分为有界流场和无界流场，对于无界流场内边界为物体表面，外边界为无穷远，对于有界流场，应有外边界的几何相似。 对于内流问题，几何相似就是流道的几何尺度相似。 2）运动相似：两流场中对应点上速度成同一比例，方向相同。即运动相似的系统，时间也相似。运动相似必须以几何相似为前提。即运动相似的系统中，加速度也相似。 3）动力相似：两流场中对应点上各同名力同一比例，方向相同。 在几何对应点上，所作用的同名力对应相似，这些作用力包括重力，惯性力，压力，粘性力等。如图-所示。在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边之间的夹角应相等。动力相似包括运动相似，而运动相似又包括几何相似。 所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物理量相似。两系统之间存在密度相似和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。密度相似无因次流体流体动力系数由下式定义：其中为流体作用力，和分别为选定的作为特征量的流体密度、速度和面积 。下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等 下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等若几何相似，运动相似，动力相似，则两流动现象相似。例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动相似，动力相似，则两流动现象相似。三.相似准则（判据）相似准则的作用：判断两个流动现象是否相相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的无量纲组合数。在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这些关系就是由相似准则推导出来的。5,2 相似理论1. 相似性第一定理（正定理）彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似准则。2. 相似性第二定理（逆定理）若流动现象的相似准则在数值上相等，则这些现象必定相似。.相似性第三定理（定理）结论两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程式相同。若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程式可以应用到原形流动中去。1）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型系统的特征长度、特征速度，流动介质等。2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量，并把它们整理成相似准则。3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形流动中5,3 量纲分析法流动现象相拟的充分必要条件是，满足同一微分方程式，而且边界条件和初始条件相似。对于两个流动相似粘性流体流动，均满足纳维尔斯托克斯方程以方向方程为例：一撇:原形系统 两撇：模型系统 两系统流动相似，所有同类物理量成比例，对应的相似常数表示如下：代入原方程可得:对于模型系统，物理量要同时满足两式。局部惯性力 变位惯性力 质量力压力 粘性力 全式除以变位惯性力 项得：引入音速的传播公式：对应的相似常数为所以所以因此可以得到如下五项重要的结果：特洛哈尔数：佛劳德数：欧拉数：雷诺数：马赫数：以上五个无因次数称为相似准则（相似准数）相似准则的物理意义： 雷诺数反映了流体粘性的作用，和粘性力有关的现象由来决定，如卡门涡街的产生和激发振动，层流过渡为湍流，以及潜艇水下航行的阻力系数等都和密切有关，另外雷诺数数值的大小还反应惯性力和粘性力的比值，大表示粘性作用小，而小则表示粘性作用大。对于理想流体，此时。 佛劳德数是惯性力与重力的比值。佛劳德数反应重力（质量力）对流体的作用。相等表示现象的重力作用相似，所以和重力有关的现象由决定，例如波浪运动和舰船的兴波阻力等，都和密切相关。斯特洛哈尔数反应流体非定常运动的相似，对于周期性的非定常运动就反映其周期性相似。相等表示现象的周期性相似，所以和周期性有关的非定常流动由来决定，例如卡门涡街引起的振动，螺旋桨的性能等等。欧拉数反应压力对流体的作用。，所以和压力有关的现象由来决定，例如空泡现象、空泡阻力等。在讨论空泡问题时这一相似准数称为空泡数，并用来表示式中为液体的饱和汽压。完全相似：满足两流动现象相似的全部动力相似准则，但在工程实际中难于做到。部分相似：对某一具体问题，只考虑对流动起主导作用的动力相似准则，忽略次要因素的相似准则。 自动模拟：当雷诺数达到一定数值时，阻力系数几乎不随雷诺数而变化，这一阻力系数不随雷诺数而变的区域称为自动模拟区，所对应的雷诺数称为自模雷诺数。不同形状的物体，所对应的雷诺数也不同。5.4因次分析法与定理定理：描述某流动现象的各物理量a，之间的关系式（，）可以转变为由相似准则，之间的函数关系：（，）这种关系式称为准则关系式或准则方程式，也称定理。基本概念：量纲：物理参数度量单位的类别称为量纲或因次。基本量纲：基本单位的量纲称为基本量纲，基本量纲是彼此独立的，例如用来表示长度，质量和时间等，基本量纲的个数与流动问题中所包含的物理参数有关，对于不可压缩流体流动一般只需三个即（长度，质量和时间），其余物理量均可由基本量纲导出。导出量纲：导出单位的量纲称为导出量纲，例如流体运动粘性系数等。量纲齐次性原理：一个具有物理意义的方程中各项的因次必须相同称量纲齐次性。有量纲的方程可以用无量纲形式表示。无量纲数：又称无因次数，例如压力系数P定理：描述某物理现象的有量纲参数，可以转化为无量纲参数。 设某个物理现象与n个物理量有关，可以由函数关系式表示。如果n个物理量中有P个基本量纲, 则可将n个物理量组合成n-p个独立的无量纲数P1，P1，Pn-p，因而该物理现象可以由无量纲关系式所描述。在不可压缩流体流动中，p=3, 则有不可压缩流体流动中P定理的运用：1） 在n个物理量中选3个基本量（循环量），基本量选取的一般原则：为保证几何相似，选取一个与长度直接相关的量， 为保证运动相似，选取一个与速度直接相关的量，为保证动力相似，选取一个与质量直接相关的量。2）用所选定的3个基本量与其余n-3个物理量依次组合成无量纲数。【例题】例1 管路沿程阻力圆管中水流阻力引起的压力降，与流体密度，管内平均流速，管径，管长,流体的运动粘度以及管壁粗糙度有关，因此可以写出下列函数关系式：（，） （-）取，作为基本量，根据定理（-）可以写成无因纲关系式：A = 1. c = 0, b = - 2所以类似方法有因此或管道沿程损失沿程阻力系数例2 采用缩尺比为1/20的潜艇模型在水洞中进行试验，潜艇长L，速度U，海水密度，运动粘性系数n，潜艇的阻力F; 试验用水密度m，运动粘性系数nm，设流动定常，确定：1）水洞试验时的水速， 2）潜艇与模型的阻力比。解：1）采用雷诺数相似，潜艇原型的雷诺数为：，按照缩尺比,模型试验的雷诺数为两雷诺数应该相等： 得模型试验水速2）由阻力系数相等（阻力系数也是相似准则数）：所以例3 已知实船长L=100m，=0.4，船模速度U=1m/s，考虑兴波阻力实验下的船模长度和实船速度。解：由佛鲁德数相等 船模长度为 由 得：12.53m/s例4 船用螺旋桨转数为800转/分，模型缩尺比为1/10，考虑粘性相似求模型转速。解：螺旋桨的线速度为nD所以 转/分例5 缩尺比为1：64的船模，模型试验测得兴波阻力10N，求原船的兴波阻力。 解：由兴波阻力系数相等： 佛鲁德数相等 速度之比： 面积之比： 原船的兴波阻力例6 球体在流体中运动，所受阻力R与流体动力粘性系数，密度，球的半径r及球的运动速度U有关。试用P定理给出阻力的表达式。解：将该流动问题所涉及的物理量共有n=5, 涉及的基本量纲即p=3,选为基本量（循环量），可组成余