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点到直线距离公式的另外几种推导方法 “点到直线的距离公式”是新课标人教版必修2数学的重点内容，教材在推到公式之后给出“请研究一下，如何用其它方法推导上面的距离公式”的伏笔，因此，笔者给出另外几种推导方法，供大家参考。1 点到直线的距离公式在平面直角坐标系中，已知点P（x0,y0），直线l：Ax+By+C=0(AB0).设点P（x0,y0）到直线l的距离为d，则设点外一点，如何求它到该直线的距离？解：设过点且与已知直线垂直的直线为，垂足为，点到点距离为，则y0P0Ddx 即，直线外一已知点到已知直线的距离公式为：当A=0或B=0，上面的公式依然适用。当然，也可以不用上面的距离公式，即当A=0且B0时，直线l：y=，d=；当A0，B=0时，直线l：x=，d= 图1证法二：如图1，过作直线，设直线和分别交轴于点、，过M作直线于点，则就等于点P到直线的距离，记为设直线的方程为，由于点在直线上， 直线：令，得；在直线：中，令，得设直线的倾斜角为，则，且，说明：在证法二中，先将点到直线距离转化成过点的且与平行的直线与的距离，并通过特殊位置轴上的线段的长，利用三角函数解决了问题，体现化斜为直的思想当然，也可以对证法二进行适当的变化来证明点到直线的距离公式，由兴趣的读者不妨去试一试2 公式的另外几种推导方法 方法1 利用直角三角形的面积公式 AB0， 直线l必与两坐标轴相交，如图1， 作PMx轴交直线l于M，作PNy轴交直线l于N，作PQl于Q，则d =PQ，d 既是点P到直线l的距离，又是RtMPN的高.d= () 设M（x1,y0），N（x0,y2）， M、Nl，易求出x1=,y2=.PM=x1-x0= PN=y2-y0=MN=Ax0+By0+C将代入（）得：d= (A2+B20).方法2 利用两点间的距离公式 教材指出，由PQl可知直线PQ的斜率为，可求出PQ所在直线的方程，从而可求出交点P的坐标，再用两点间的距离公式求PQ。“这种方法思路自然，但运算较繁”，可是，如果在推导过程中注意运算技巧，也并不繁琐！方法21 如图1，设Q（a,b），则d=PQ=，易得直线PQ的方程为y-y0= (x-x0),即Bx-Ay=Bx0-Ay0.从而有, 解之,a=, a-x0=-,b-y0=- d=PQ= (A2+B20).方法22 如图1，由方法21 有由(1)2+(2)2得：(A2+B2)(a-x0)2+(A2+B2)(b-y0)2=(Ax0+By0+C)2, (a-x0)2+(b-y0)2=, d=PQ= (A2+B20).方法3 利用换元法在方法22中，设b-y0=B t, a-x0=A t,代入(1)得(A2+B2) t=-(Ax0+By0+C) t=, d =PQ= = (A2+B20). y 方法4 利用向量法 l 显然，直线l的法向量=（A，B），设P1（x1,y1）是 x直线l上与Q不重合的任意一点，当为锐角时，d=PQ=cos（如图2）； 图2当为钝角时， l yd=PQ=cos(-) = -cos=cos（如图3）. x无论直线l的法向量=（A，B）的方向