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文档简介

微积分课project3 Applied project 4 彩虹中的微积分小组成员：温裕祥，王轩，于晓阳报告人：2012.11一 问题重述 当雨滴散射阳光时，彩虹就会出现。自古以来人类就被它吸引，并且自从亚里士多德时期开始，人类就已经尝试对彩虹的科学解释。本项目中，我们利用牛顿和笛卡尔的思想来解释彩虹的形状，位置和色彩。二 问题分析彩虹进入空气中的水滴后会进行一定角度的折射和反射，使观察者能够看到太阳光（白光）色散而成的其中颜色光。三 模型建立及求解过程1. 如图所示，展示了光线在A点进入了一个球型雨滴，而直线AB表示光线进入雨滴部分的轨迹。注意到光线向着法线AO被折射，并且事实上，Snell定律告诉我们：sinksin，是入射角，是折射角，k4/3为水的折射率。在B点，一部分光线穿过雨滴并折射到空气中，但BC表示反射部分（入射角等于反射角）当光线到达C点，又有一部分被反射。但此时，我们更感兴趣的是在C点离开雨滴的部分(注意到它折射离开法线)。角度的偏转D()是光线在这三个过程中顺时针旋转的总和，即D（）=（-）+（-2）+（-）=+2-4证明：偏转角的最小值D()138,并且在=59.4时发生最小偏转角的意义在于当59.4时，有D（）0，从而D/（）0，许多光线偏转到了大致相同的角度，这是来自最小偏转角方向的光线的聚集，产生了明亮的主虹。从观察者到彩虹最高点提升的角度为180-138=42（此角度被称为彩虹角） 证明： 若,则带入，得由k1,得0由极值第二充分条件的，在时取得极小值此时D()=138.0,180-138.0=422. 问题1解释了初级主彩虹的位置，那如何解释色彩呢？光包含一定范围的波长，从红到橙.黄.绿.青.蓝和紫。牛顿在1666年在他的棱镜实验中发现每种颜色的光的折射率是不一样的（这一效果称为色散）。红光折射率k1.3318而紫光折射率k1.3435.对这些k再计算问题1，证明彩虹角对红色弓是42.3，对紫色弓是40.6。所以彩虹确实含有七个弓对应七种颜色。由1中得，若,则（1） 红光：，则，红色弓（2） 紫光：，则，红色弓3. 你或许还会看到主虹上方有一个弱一点的第二级彩虹。这一结果的得出是由于光线进入雨滴，在A点折射，两次反射（B点和C点），且在D点离开雨滴折射（如图）。现在偏转角H（）是光线经过这四步逆时针旋转角的总和。证明D（）=2-6+2，且当cos= 时，D（）有最小值。取k=4/3，偏转角的最小值约为129，因而第二级彩虹角约为51，如图。令角度的偏转为 则若，则,则，偏转角，第二级彩虹角4. 证明二级彩虹的色彩以相反的顺序出现在主虹上方。（一）第一级彩虹，入射角第二级彩虹，入射角由单调性，k相同时所以，二级彩虹在主彩虹上方（二）以红光紫光为例，计算方法同2.主彩虹： ，二级彩虹：，如图所示，两种情况下顺序是相反的:实线
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