数学建模森林救火问题

精品文档森林救火问题的研究【摘要】：森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：救火的总费用=单位森林面积损失费损失面积每个队员的单位时间灭火费用人数灭火时间+单位人数一次性支出参加救火的消防员人数.对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题【 Summary: the forest fire problem is an optimization problem, after analyses, we decided to use extreme method and the definite integral method to find the area of forest burned, so as to solve the problem, through an analysis of the problem, that expression: Fire total cost = Units forest area losses Loss area Every team member the cost per unit of time fighting number extinguishing time + unit number of one-time expenditures participated in fire fighting, the number of firemen . On various levels, the area of forest loss was more difficult to find, so we will which separate consideration. In windy conditions, the spread rate is increasing faster, so the loss of expression image we can approximate as a fan, because the area is not easy to find, so we expect the use of the definite integral method to get the final fan-shaped pattern area, you can find out the total cost of an expression, change the number of firemen, then uses the expressions extreme method discussed the best, in order to solve this problem 【关键词】森林救火 优化模型 极值问题：1.问题重述森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？2.问题分析如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小。由此看来这就是一个优化问题了。救火的总费用由损失费和救援费两部分组成。损失费由森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）之间的时间差（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快。救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关。救援费可具体分为两部分：一部分（f 1(x)）是灭火器材的消耗和消防队员的薪金等，这些与队员人数及灭火时间有关；另一部分(f 2(x)是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。2.1对f 1(x)分析f 1(x)=森林单位面积损失费损失面积其中森林单位面积损失费用是固定的，我们需要考虑的就是设计模型求解损失面积。2.2对2(x)分析f 2(x)=单位人数一次性支出参加救火的消防员人数单位人数一次性支出也是一定的，人数为待求量。由此f 2(x)表达式的确立并不困难。综上可知，问题的关键在确定森林损失面积的表达式：3. 符号说明x： 消防员人数R 为燃烧半径S： 森林烧毁的面积： 消防队员平均灭火速度 火在无风状态下的自燃速度 风的速度a： 火灾中森林单位面积的损失a2： 每个队员的单位时间灭火费用a3： 每个消防员一次性费用4. 模型假设1) 森林损失面积为扇形且角度不变 2) 风速不变3) 消防员足够多4) 消防员平均救火速度不变0tt1, dS/dt 与 t成正比，系数+= U (火势蔓延速度）5) t1tt2, +降为+-x (为队员的平均灭火速度）n R火R-nv6) f1(x)与R(t2)成正比，系数 a(烧毁单位面积损失费）7) 每个队员的单位时间灭火费用a2, 一次性费用 a35图像分析和模型求解：根据假设的图像我们还可以得到进一步的图像；t1t2OUtu对于面积S（t）的图像我们做出了合理化的假设，图像如下： S(t) S(t) t1tOt2 令Dfx,x=0，求出最合理的人数x人。6.模型求解分析：设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为t =t1，灭火时刻为t =t2，t 时刻森林烧毁面积为S（t），则造成损失的被烧毁的森林的面积为S（t2），其导数是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度。从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩