广西桂林市逸仙中学九年级数学《不等式》课件 人教新课标版.ppt

知识体系 第四节基本不等式及其应用 基础梳理 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 a b r a b同号 3 ab a b r a 0 b 0 a b 2ab 2 1 基本不等式 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当时取等号 3 利用基本不等式求最值问题已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当时 x y有值是 简记 积定和最小 如果和x y是定值p 那么当且仅当时 xy有是 简记 和定积最大 典例分析 题型一证明不等式 例1 已知a 0 b 0 c 0 且a b c 1 求证 9 x y 最小 最大 x y 证明 a b c a b c a b c 3 3 2 2 2 9 学后反思本题如果改为a 0 b 0 c 0 求 a b c 9就比较明显 用a b c 1的条件 a b c 隐 去 造成了思考上的困难 因此应注意 1 的代换 构造基本不等式 使其积为定值 并使得等号同时成立 分析将a b c 1代入不等式左边 构造基本不等式模型 再利用基本不等式证明 举一反三1 设a 0 b 0 c 0 求证 证明 a 0 b 0 同理 即 题型二求最值 例2 1 设00 y 0 且x y 1 求的最小值 分析 1 由00 8 3x 0 由于3x 8 3x 8 可由基本不等式得 2 原式变为 再讨论a 4的正负 3 由 再用基本不等式求最值 解 1 02 0 当且仅当3x 8 3x 即时取等号 当时 的最大值是4 2 显然a 4 当a 4时 a 4 0 当且仅当时 取等号 3 x 0 y 0 且x y 1 当且仅当 即x 2y时等号成立 当时 有最小值18 当a 4时 a 4 0 当且仅当 即a 4 时 取等号 的取值范围是 4 4 学后反思 1 在利用基本不等式求函数或代数式的最值时 有时不一定恰好能用上基本不等式 因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理 通过凑项的办法 一般是凑和或者积为定值 构造出基本不等式的形式再进行求解 本题第 2 小题中 a虽不是定值 但变形为 a 4 4即可发现 a 4 3为定值 故可用基本不等式求之 分式函数求最值 通常化成y mg x b a 0 m 0 g x 恒正或恒负 的形式 然后运用基本不等式来求最值 2 第 3 小题要求根据条件求最值 如何合理利用条件x y 1是解答本题的关键 方法是在式子上乘以 x y 利用基本不等式求最值时 要注意三个条件 即 一正 二定 三相等 本题常见的错解为 x 0 y 0 此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件和x y同时成立是不可能的 所以在不等式连续放缩的时候 要时刻注意是否在同一条件下进行放缩 放缩时还要注意目的性 同向性 不要出现放缩后不能比较大小的情况 在第 2 小题中当a 4 即a 4 0时 要用基本不等式必须前面添负号变为正 举一反三2 求f x x的值域 解析 由已知得 1 若x 2 则x 2 0 故当且仅当 即x 3时 取等号 2 若x 2 则x 2 0 故所以f x 0 当且仅当 即x 1时 取等号 由 1 2 可知 的值域为 0 4 分析这是一道建筑工程类问题 解决本题的突破点是将总费用分成三个部分 1 建花坛mnpq的费用 2 阴影部分铺花岗岩地坪费用 3 草坪费 题型三实际应用 例3 14分 某住宅小区为了使居民有一个优雅 舒适的生活环境 计划建一个八边形的休闲小区 其主体造型的平面图是由两个相同的矩形abcd和efgh构成的面积为200的十字型区域 现计划在正方形mnpq上建一花坛 造价为4200元 在四个相同的矩形上 图中阴影部分 铺花岗岩地坪 造价为210元 再在四个空角上铺草坪 造价为80元 1 设总造价为s元 ad的边长为xm 试建立s关于x的函数关系式 2 计划至少要投多少元 才能建造这个休闲小区 解 1 设dq y则 3 7 2 10 当且仅当 即x 10时取等号 即计划至少要投入11 8 万元 才能建造这个休闲小区 14 学后反思用基本不等式解决实际问题时 一般都是求某个量的最值 先把要求最值的量表示为某个变量的函数 再利用基本不等式求该函数的最值 求最值时 仍要满足前面所说的三个求最值的要求 有些实际问题中 要求最值的量需要用几个变量表示 同时 这几个变量满足某个关系式 这时 问题变成了一个条件最值 可用前面求条件最值的方法来求最值 举一反三3 某游泳馆出售冬季游泳卡 每张240元 其使用规定 不记名 每卡每次只限一人 每天只限一次 某班48名同学 老师打算组织同学们集体去游泳 除需购买若干张游泳卡外 每次游泳还需包一辆汽车 无论乘坐多少名同学 每次的包车费均为40元 1 若使每个同学游8次 每人最少应交多少元钱 2 若使每个同学游4次 每人最少应交多少元钱 解析 可设买x张游泳卡 总开支y元 则 1 每批去x名同学 共需批 总开支又分为 买卡所需费用240 x 包车所需费用 0 x 48 x n 当且仅当 即x 8时取等号 每人最少应交 80 元 2 每批去x名同学 共需去批 总开支又分为 买卡所需费用240 x 包车所需费用 0 x 48 x n 当且仅当 即x 5 66时取等号 又x n 当x1 5时 当x2 6时 当x 6时 y有最小值 每人最少应交 元 易错警示 例 已知两正数x y满足x y 1 求的最小值 错解方法一 因为对任意a 0恒有a 1a 2 从而 4 所以z的最小值为4 方法二 x y 1 x2 y2 2xy 1 x2 y2 1 2xy x2y2 x2 y2 1 错解分析方法一中z 4成立的条件是且 即x 1且y 1 与x y 1相矛盾 方法二中z 2 1 的条件是 xy 即xy 2 这与0 xy 相矛盾 正解由x y 1知x2 y2 2xy 1 x2 y2 1 2xy 从而有z x2y2 x2 y2 1 2 x2y2 2xy 令xy t 0 t t 时 x y 则z t 2 令f t t 不难证明f t t在 0 14 上单调递减 当t 时 f t t取最小值334 即当x y 时 z 取最小值254 10 若lgx lgy 2 求的最小值 解析 lgx lgy 2 lgxy 2 即xy 100 当且仅当x y 10时取等号 的最小值为 11 已知x 0 y 0 且x y 1 1 求的最小值 2 求的最大值 解析 1 方法一 x 0 y 0 且x y 1 当且仅当x 2y时取等号 方法二 x 0 y 0 且x y 1 可令 0 2 则当且仅当 即 时等号成立 当 时 有最小值18 2 当a b 0时 a b 2 当且仅当a b时取等号 x 0 y 0 且x y 1 当且仅当2x 1 2y 1 即时取等号 12 2008 湖北 如图 要设计一张矩形广告 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影部分 这两栏的面积之和为18000cm2 四周空白的宽度为10cm 两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告面积最小 解析 方法一 设矩形栏目的高为acm 宽为bcm 则ab 9000 广告的高为a 20 宽为2b 25 其中a 0 b 0 广告的面积为s a 20 2b 25 2ab 40b 25a 500 18500 25a 40b 18500