数学毕业论文_极限扩展.doc

1 引言极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述，都可以用极限来描述.如函数在某点处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分的定义,三重积分的定义,无穷级数的定义都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具.极限是贯穿数学分析的一条主线.学好极限要从以下两个方面着手: 1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述.对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的,但是对于一个比较复杂的极限的计算,例如,求 的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的,然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续传统的极限的计算方法不下十几种,但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法,很多人总感到无从下手只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算2 极限简介2.1数列极限的定义（定义）已知数列,对,其中为常数，则该数列收敛,并将叫做数列的极限,记为或.如果数列没有极限,就说数列是发散的2.2数列极限的基本性质和定理性质1有界性 若数列收敛,则为有界数列,即存在整数,使得对一切正整数有.性质2 唯一性 若数列收敛,则它只有一个极限.性质3 保号性 若,则对任何或,存在正数,使得当时有.性质4 迫敛性 设收敛数列,都以为极限,数列满足:存在正数,当时有,则数列收敛,且.性质5 四则运算法则 若与为收敛数列,则 也都是收敛数列,且有定理1柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是:对任何的,存在正整数,使得当时有.定理2单调有界性定理 在实数系中,有界的单调数列必有极限.2.3函数极限的定义(定义) 已知函数,其定义域为D,下面只介绍在点处的极限,单侧极限和无穷极限可以类似得出.如果对于任意给定的,存在正数,使得满足的一切,所对应的都满足不等式,则函数在处收敛,并将叫做函数在的极限,记为或.2.4函数极限的基本性质和定理 由于函数极限的性质及基本定理与数列极限类似,在这也不一一列举了.3 极限的一般解法介绍3.1一般算法对于简单的极限计算,可直接按照定义、性质来解定义法一般步骤:第一步给定任意小的;第二步解不等式或,找或;第三步取定或;第四步令或,由或成立得出是或在点处的极限.例1 证明.证明 由定义,对,当时,有故有.例2 求证.证明 因为 故不妨设,而当时,.故.对任意,取,则对一切有.即.性质法利用迫敛性求极限(或称夹逼性)设,且,则.同样的对于函数也有此性质.例3 求极限.解 用数学归纳法可证，又，因此由迫敛性可得=0.利用单调有界性求极限 任何有界的单调数列一定有极限,且单调递增有界数列的极限为其上确界.单调递减有界数列的极限为其下确界.函数性质类似.例4 求极限(个根号).解 设则,所以单调增,又，设，则,有上界,故收敛.令，得故利用柯西收敛准则求极限例5 设,证明:收敛.证明 ,设,则 . 为使只须.令由柯西收敛准则,可知收敛.利用四则运算法则求极限 对于数列有（函数类似）若与为收敛数列,则也都是收敛数列,且有例6 (1); (2).解 (1)=.(2)=2.3.2 两个重要极限公式的应用; .在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.例7 (1) ; (2) . 解 (1) 所以有.即. (2) 类似(1)有，.3.3用单侧极限求极限 这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在.例8 求在的左右极限.解 因为,即.所以.3.4利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限.如果在点连续,而在点连续,那么复合函数在点连续.即,也就是说,极限号可以与符号互换顺序.例9 求.解 令 , 因为在点 处连续，所以 .3.5利用等阶无穷小量代换求极限(1)无穷小量若函数的极限等于零,则称这个函数为无穷小量.有限个(相同类型的)无穷小量之和仍为无穷小量.无穷小量乘有界量仍为无穷小量.若当则称当时,为高阶(或等阶,或同阶,或低阶)无穷小.(2)无穷大量若函数的极限等于无穷(不论正无穷还是负无穷),则称这个函数为无穷大量.若,则(其中内都不为0),反之亦然.当时,有下列常用的一组等价无穷小量:在求极限时,常可应用等价无穷小代换.例10 (1)求极限; (2).解 (1)用等价无穷小作替换:,(),则.(2)令取得自然对数得而 .所以.3.6技巧算法3.6.1利用微分中值定理若函数满足(1)在连续;(2)在可导,则在内至少存在一点,使.例11 求 . 解 因为 , 所以 .注1 在应用微分中值定理时一定要注意是否满足定理使用的条件.3.6.2利用洛必达法则(一般来求不定式极限)(1)若,的某空心邻域内可导,且,则.(2) 若, , 和在的某空心邻域内可导,且,则.(3)类似的有单侧极限的不定式的洛必达法则.例12 求极限.解 .例13 求极限.解 .注2 洛必达法则只能对或型才可直接使用,其他待定型必须先化成这两种类型之一,然后再应用洛必达法则.洛必达法则只说明当 时,那么.如果不存在时,并不能断定也不存在,只是这是不能用洛必达法则,而须用其他方法讨论.3.6.3利用泰勒展示泰勒展开式:若在点有直到阶连续导数,那么, (其中在0与1之间).例14 求. 解 由泰勒展开式有因而求得.3.6.4利用积分的定义或积分中值定理利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数.把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限.例15 求.解 由于 .由此不难看出,所求和式是函数在区间上的积分和.所以 积分中值定理:设函数在闭区间上连续;在上不变号且可积,则在上至少有一点使得 . 例16 求 解 .3.6.5利用级数的收敛利用级数收敛的必要条件:若级数收敛,则运用这个方法首先判定级数收敛,然后求出它的通项的极限.例17 （1）求.解 设,则 由比值判别法知收敛.再由级数收敛的必要条件知.（2）试证数列有极限,并求此极限.证明 当n6时,可证.故该数列在n6为单调递减,且有下界大于0,故极限存在.再考虑正项级数,因为,由此可知级数收敛,所以.注3 在利用正项级数证明极限时得先证明该级数是收敛的.3.7其它特殊算法3.7.1换元法当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时,可采用换元的方法加以变形,使之简化易求.例18 求 . 解 令,则,故.3.7.2利用有界变差数列例19 若数列满足条件,则称数列为有界变差数列,试证:有界变差数列一定收敛.证明 令.那么单调递增,由题知有界,所以收敛,从而对存在使当此即.而.由柯西准则，所以收敛.3.7.3利用压缩数列例20 若数列满足条件,则称它为压缩数列.试证:任意压缩数列一定收敛.证明 由题有所以 其中 为常数,然后由上题知数列收敛.3.7.4 利用Stolz定理此定理是针对一般方法解决不了的含有个比较复杂的数列或者函数的式子时,一个出奇制胜的方法.应用此定理时要注意大都是在比式中.并且,大多数学生在应用此定理时只知其然而不知其所以然,所以在此就具体介绍一下它的证明过程,以供读者参考.例 21 (1)设数列单调递增趋于,(可为无穷). 试证: ;(2)设 试证: ,并利用(1),求极限 .证明 (1)先设,由式存在,当时有 ,特别取将这些式子统统相加得所以,此即 . 而由于以及式.所以有所以故再当时，由有.所以.下证递增趋于,由知,当时,有. 因为所以,即单调递增.由式有 从而有将这些式子统统加起来有 所以有 显然当时,.由式及最先的证得的结论有.所以.当时,只要令,则由上面可证.(2)因为,两边取极限有所以故.再求,考虑 . 因为.又因为 .由上得 .将代入到得所以.注4 此证明过程比较复杂,读者应耐心阅读.3.7.5利用不等式不等式证明极限是一个技巧性解法,以下仅列举两例加以说明.算术平均收敛公式例22 设求证:.证明 由stolz定理有.几何平均收敛公式例23 设,且,证明:.证明 当时,.由迫敛性知当时,由得.所以.3.7.6利用Matlab软件使用matlab符号运算工具箱中的limit命令可直接求函数的极限.例24 求.syms x u;Limit (1+x/u)u,u,inf) ans= exp(x) 即极限为.例25 考察极限及其单侧极限的情况. syms x ; Limit(1/x) ans= NaN计算结果为不存在，考察其单侧极限Limit(1/x ,x,0,left)ans= -infLimit (1/x ,x,0,right)ans= inf知其左极限为负无穷,右极限为正无穷.注5 本题中，在使用matlab软件时一定要注意输出的命令是否正确,如果命令错误,则运算不出正确的结果,甚至不能运算.4 结束语极限的计算和证明方法较多,其中一些是常见的最基本的方法,还有一些是特殊但很实用的方法除此之外,还有很多其它的计算极限的方法,如:导数法、换元法、实数的完备性、利用收敛子列等等,但这些方法用处不多,所以在此不一一介绍同一个极限可以有多种方法,有的极限计算需要几种方法综合使用,这就要求在计算时应仔细观察极限在构造上的特点,利用极限的性质做适当的变形后,再选择某一种方法解答这就需看大家的灵活应用程度,能否找出一个最简便的方法解出其值本人认为只要理解和掌握以上几种方法,不管哪种极限的计算,都可以迎刃而解.只有在学习中多练习、多总结,才能更好地掌握极限的计算.总之，主要的求极限的方法有以上二十多种方法,根据实际情况,还有一些其它的方法,希望大家能反复揣摩,以达到灵活应用的水平.5 致谢在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始选题到论文的顺利完成的整个过程得到了那么多老师、同学和朋友的大力帮助.首先要感谢的我的论文指导老师祝奔石老师,是祝老师的亲切关怀和悉心指导让我最终完成了该论文.在此,我谨向祝老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！此外,我还要感谢周围的所以老师、同学和朋友们,是你们在我困惑不解时给了我莫大的帮助、支持和鼓励,在此衷心的谢谢你们.最后,我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母,谢谢你们！参考文献1 陈传璋,金福临编.数学分析（上下册）第二版,高等教育出版社.1983.2 蔡子华主编.考研数学2011复习大全（经济类）.现代教育出版社.2010.3 冯丽珠,变形发求极限的变法技巧.武汉职业技术学院学报.2003年3月.4 钱吉林.数学分析解题精粹M.北京:科学出版社.2003.5 华东师范大学数学系编,数学分析（上下册）第三版,高等教育出版.2007.6 中国科学技术大学之数学讲义.古今数学思想（2）.7 陈省身.微分学讲义第一讲.陈省身在南开大学的讲演稿件C.2003.8 罗尧成.我国研究生教育课程体系研究D.上海:华东师范大学.2005.9 谢安邦.构建合理的研究生教育课程体系J高等教育研究.2003年05期.10 欧阳光中等.数学分析M复旦大学出版社.2002.11 王译汉.数学分析基础.哈尔滨:黑龙江科学技术出版社.1985.12 周伯堳.数列与极限M南京:江苏人民出版社.197813 胡洪池.关于数列极限的教学与研究J.唐山师范学院学报,2003年第2期.14 马保国.数学分析中的极限M.西安：陕西科学技术出版社.2005.15 G.H.Hardy.A Course of Pure MathematicsM.China Machine Press.2003.16 Tom M.Apostol.Mathematical AnalysisM.China Machine Press.2004.17 求是科技.MATLAB7.0从入门到精通M.北京人民邮电出版