D8.1.2_第二型曲线积分.ppt

8 1 2第二型曲线积分 矢量场初步 例1 例2 矢量场初步 例3 例4 变力沿曲线所作的功 设一质点受如下变力作用 在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 求移动过程中变力所作的功W 常力沿直线所作的功 1 第二型曲线积分的概念 大化小 常代变 近似求和 取极限 解决办法 1 大化小 2 常代变 把L分成n个小弧段 有向小弧段 近似代替 则有 所做的功为 则 用有向线段 3 近似和 4 取极限 其中 为n个小弧段的最大长度 定义 设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑 弧 若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点 都存在 在有向曲线弧L上 对坐标的曲线积分 则称此极限为函数 或第二类曲线积分 其中 L称为积分弧段或积分曲线 称为被积函数 在L上定义了一个向量函数 极限 若 为空间曲线弧 记 称为对x的曲线积分 称为对y的曲线积分 若记 对坐标的曲线积分也可写作 类似地 性质 1 若L可分成k条有向光滑曲线弧 2 用L 表示L的反向弧 则 则 定积分是第二类曲线积分的特例 说明 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 例1 注 为方向余弦 2 第二型曲线积分的计算 例2 解 例3 解 取逆时针方向 取逆时针方向 定理 在有向光滑弧L上有定义且 L的参数方程为 则曲线积分 连续 证明 下面先证 存在 且有 对应参数 设分点 根据定义 由于 对应参数 因为L为光滑弧 同理可证 其他情形 3 对空间光滑曲线弧 类似有 代 将L的参数方程代入被积函数 换 定限 下限 起点参数值 上限 终点参数值 一代 二换 三定限 例4 计算 其中L为沿抛物线 解法1取x为参数 则 从点 的一段 例4 计算 其中L为沿抛物线 从点 的一段 解法2取y为参数 例5 计算 其中L为 1 半径为a圆心在原点的 上半圆周 方向为逆时针方向 2 从点A a 0 沿x轴到点B a 0 解 1 取L的参数方程为 2 取L的方程为 则 则 例6 计算 其中L为 1 抛物线 2 抛物线 3 有向折线 解 1 原式 2 原式 3 原式 例7 设在力场 作用下 质点由 沿 移动到 解 1 2 的参数方程为 试求力场对质点所作的功 其中 为 例8 求 其中 从z轴正向看为顺时针方向 解 取 的参数方程 设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为 已知L切向量的方向余弦为 则两类曲线积分有如下联系 3 第一型与第二型积分的关系 类似地 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是 令 二者夹角为 例9 设 曲线段L的长度为s 证明 续 证 设 说明 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分 在L上连 例10 将积分 化为对弧长的积 分 解 其中L沿上半圆周 1 定义 2 性质 1 L可分成k条有向光滑曲线弧 2 L 表示L的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 内容小结 3 计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧 4 两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧 原点O的距离成正比 思考与练习 1 设一个质点在 处受 恒指向原点 沿椭圆 此质点由点 沿逆时针移动到 提示 2 已知 为折线ABCOA 如图 计算 提示 3 解 线移动到 向坐标原点 其大小与作用点到xoy面的距离成反比 沿直 4 设曲线C为曲面 与曲面 从o