河北省枣强县高三数学《101计数原理与排列组合》课件.pptVIP

10 1计数原理与排列组合 知识归纳1 分类计数原理完成一件事 有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有n m n种不同的方法 2 分步计数原理完成一件事 需要分成两个步骤 做第一步有m种不同的方法 做第二步有n种不同的方法 那么完成这件事共有n m n种不同的方法 分类 与 分步 应该如何理解与区分 1 分类 做一件事 完成它可以有两类办法 每一类办法中的每一种方法都能将这件事完成 分类时 首先据问题特点确定一个合理的分类标准 在这个 标准 下分类能够做到 不重不漏 完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一类 不漏 分别在不同两类中的两种方法不能相同 不重复 2 分步要做到 步骤完整 完成了所有步骤 恰好完成任务 步与步之间要相互独立 必须并且只需连续完成这些步骤后 这件事才算最终完成 3 排列从n个不同元素中 取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 所有排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用符号a表示 1 当m n时的排列称为选排列 排列数 2 当m n时的排列称为全排列 排列数ann n n 1 3 2 1 n 规定0 1 4 组合从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号c表示 误区警示1 正确区分 分类 与 分步 恰当地进行分类 使分类后不重 不漏 2 正确区分是组合问题还是排列问题 要把 定序 和 有序 区分开来 3 正确区分分堆问题和分配问题 例1 四个同学称体重 记年龄为n n 17 18 19 20 的同学体重为f n 单位 kg 若f n 56 57 58 59 60 61 且满足f 17 f 18 f 19 f 20 则这四位同学的所有可能体重有 a 15种b 20种c 30种d 35种分析 由f 18 f 19 包括f 18 f 19 和f 18 f 19 对应方式不同产生分类 解析 f 17 f 18 f 19 f 20 可分为 f 17 f 18 f 19 f 20 与 f 17 f 18 f 19 f 20 两种情形 答案 d 若直线方程ax by 0中的a b可以从0 1 2 3 5这五个数字中任取两个不同的数字 则方程所表示的不同直线一共有 条 解析 分两类 第一类 a b均不为零 a b的取值共有a 12种方法 第二类 a b中有一个为0 则不同的直线仅有两条x 0和y 0 共有不同直线14条 答案 14 09 湖南 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理 则甲 乙至少有1人入选 而丙没有入选的不同选法的种数为 a 85b 56c 49d 28 答案 c 例2 2008年7月22日奥运火炬在山东泰山脚下的泰安传递 某条传递路线共分6段 传递活动分别由包括甲 乙 丙在内的6名火炬手完成 如果第一棒只能从甲 乙 丙三人中产生 最后一棒只能从甲 乙两人中产生 则不同的传递方式有 种 分析 只有各棒全部确定好火炬手 一种传递方式才算完成 故用分类乘法计数原理求解 解析 最后一棒有两种选法 则第一棒也有两种选法 共有2 2 a 96种不同选法 答案 96点评 课标要求掌握分类计数原理与分步计数原理 并能用它们分析和解决问题 这就要求我们不仅要准确地理解两个基本原理 更要能灵活地运用两个原理分析和解决问题 运用两个原理解题的关键在于正确区分 类 与 步 如图所示 用五种不同的颜色分别给a b c d四个区域涂色 相邻区域必须涂不同颜色 若允许同一种颜色多次使用 则不同的涂色方法共有 a 180种b 120种c 96种d 60种 解析 按区域分四步 第一步a区域有5种颜色可选 第二步b区域有4种颜色可选 第三步c区域有3种颜色可选 第四步d区域也有3种颜色可选 由分步计数原理 共有5 4 3 3 180 种 答案 a 二 排列 组合问题的类型及解答策略排列 组合问题 通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上 它联系实际 生动有趣 但题型多样 解法灵活 实践证明 备考有效的方法是将题型与解法归类 识别模式 熟练运用 下面介绍常见排列组合问题的解答策略 1 相邻元素捆绑法 在解决某几个元素必须相邻问题时 可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列 例1 2010 重庆理 9 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班 每天安排1人 每人值班1天 若7位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在10月1日 丁不排在10月7日 则不同的安排方案共有 a 504种b 960种c 1008种d 1108种分析 甲 乙相邻看作一个元素与其它元素一块排 由于丙不排在第1天也不排在第7天 因此按甲乙的排位进行分类 答案 c 2010 云南省统考 现将5名学生分成两个小组 其中甲 乙两人必须在同一个小组里 那么不同的分配方法有 a 7种b 6种c 5种d 4种 答案 a 点评 将甲 乙两人看作一个整体考虑时 两个人在解题中可视作一个人处理 或者这两个人只留甲分组完成后 再把乙放进有甲的小组里亦可 2 相离问题插空法 相离问题是指要求某些元素不能相邻 由其它元素将它隔开 此类问题可以先将其它元素排好 再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置 故称 插空法 例2 2010 北京理 4 8名学生和2位老师站成一排合影 2位老师不相邻的排法种数为 答案 a 2010 北京顺义一中模考 一次演出 原计划要排4个节目 因临时有变化 拟再添加2个小品节目 若保持原有4个节目的相对顺序不变 则这6个节目不同的排列方法有 a 30种b 25种c 24种d 20种 答案 a 3 定序问题属组合 排列时 如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题 定序的元素属组合问题 例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号 现有3面红旗 2面白旗 把这5面旗都挂上去 可表示不同信号的种数是 4 定元 定位优先排 在有限制条件的排列 组合问题中 有时限定某元素必须排在某位置 某元素不能排在某位置 有时限定某位置只能排 或不能排 某元素 这种特殊元素 位置 解题时要优先考虑 例4 2010 山东理 某台小型晚会由6个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在前两位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 a 36种b 42种c 48种d 54种 分析 丙占最后一位不必考虑 甲在前两位 乙不在第一位 故应以甲为标准进行分类 答案 b 5 至多 至少间接法 含 至多 至少 的排列组合问题 是需要分类问题 可用间接法 即排除法 但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况 例5 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台 其中至少要甲型与乙型电视机各一台 则不同的选法共有 种 a 140b 80c 70d 35解析 在被取出的3台中 若不含甲型或不含乙型的抽取方式均不合题意 故符合题意的取法有c c c 70种 选c 答案 c 例6 6 选排问题先选后排法 对于排列组合的混合应用题 一般解法是先选 组合 后排 排列 例6 四个不同的小球放入编号为1 2 3 4的四个盒子中 则恰有一个空盒的放法共有 种 用数字作答 答案 144 09 广东 2010年广州亚运会组委会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前两项工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 a 36种b 12种c 18种d 48种分析 由于小张和小赵从事的工作受到限制 故应从小张 小赵入选情况分类 入选的要首先考虑安排好他们的工作 答案 a 7 部分符合条件淘汰法 在选取总数中 只有一部分符合条件 可从总数中减去不符合条件数 即为所求 例7 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条 其中异面直线有 a 18对b 24对c 30对d 36对解析 三棱柱共6个顶点 由此6个顶点可组成c 3 12个不同四面体 而每个四面体有三对异面直线则共有12 3 36对 答案 d 8 数字问题 首位不能为0 例8 09 陕西 从0 1 2 3 4 5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四位数的个数为 a 300b 216c 180d 162答案 c 例9 09 天津 用数字0 1 2 3 4 5 6组成没有重复数字的四位数 其中个位 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个 用数字作答 分析 数字问题首先看是否有0 0不能在首位 其次看有无其它限制条件 如奇数 偶数 能被某数整除的数等 本题中要求 个位 十位 百位上数字之和为偶数 因此解决本题应从这儿着手 答案 324 2010 江西宜春中学 用0 1 2 3 4这五个数字组成无重复数字的五位数 其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是 a 12b 28c 36d 48 答案 b 例4 有6本不同的书 1 甲 乙 丙3人每人2本 有多少种不同的分法 2 分成3堆 每堆2本 有多少种不同的分堆方法 3 分成3堆 一堆1本 一堆2本 一堆3本 有多少种不同的分堆方法 4 分给甲 乙 丙3人 一人1本 一人2本 一人3本 有多少种不同的分配方法 5 分成3堆 有两堆各1本 另一堆4本 有多少种不同的分堆方法 6 摆在3层书架上 每层2本 有多少种不同的摆法 9 某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组 每厂至少调1人 则这8个名额的分配方案共有 a 15种b 21种c 30种d 36种解析 由题意本题分两类办法完成 答案 b点评 可用建模法解 三 建模思想 例9 一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点o 0 0 出发 沿向上或向右方向爬至点 m n m n n 记可能的爬行方法总数为f m n 则f m n 例10 方程x y z 8的非负整数解的个数为 解析 把x y z分别看作是x个1 y个1和z个1 则共有8个1 问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题 由于x y z非负 故允许十号相邻 如11 111111表示x 2 y 0 z 6 11111111 表示x 0 y 8 z 0等等 答案 45 例11 一条街道上共有12盏路灯 为节约用电又不影响照明 决定每天晚上十点熄灭其中的4盏 并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏 问不同熄灯方法有多少种 点评 实际解题中 先找出符合题设条件的一种情形 然后选取一种替代方案 注意是否相邻 相间等受限条件 然后确定有无顺序是排列还是组合 再去求解 例12 如图 从上往下读 不能跳读 构成句子 构建和谐社会 创美好未来 的不同读法种数是 构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来 a 250b 240c 252d 300答案 c 四 枚举法 例13 如果直线a与b异面 则称a与b为一对异面直线 六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中 异面直线共有 对 解析 六棱锥的侧棱都相交 底面六条边所在直线都共面 故异面直线只可能是侧棱与底面上的边 考察pa与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线 pa bc pa cd pa de pa ef 共四对 同理与共它侧棱异面的底边也各有4条 故共有4 6 24对 答案 24 若三角形的三边长均为正整数 其中一边长为4 另外两边长分别为b c 且满足b 4 c 则这样的三角形有 a 10个b 14个c 15个d 21个 答案 a 解析 当b 1时 c 4 当b 2时 c 4 5 当b 3时 c