河北省清河县清河中学高一数学《32 等差数列》课件.ppt

基础知识一 等差数列的基本概念与公式1 如果数列 an 从第二项起每一项与它的前一项的等于常数 那么这个数列叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 即 d n n 且n 2 或 d n n 或an 其中d为公差 差 同一个 公差 an an 1 an 1 an an 1 d 2 若 an 是等差数列 则其通项公式an 或变式为an 其中m n n 则d n 1 或d n m an 成等差 an pn q 其中p q 点 n an 是直线上的的点 单调性 d 0时 an 为数列 sn有最值 d 0时 an 为数列 sn有最值 d 0时 an 为 等差中项 若a b c是等差数列 则称b是a c的 且b 故a b c成等差 a1 n 1 d am n m d d a1 d y dx a1 d 一群孤立 单调递 增 小 单调递减 大 常数列 2b a c 等差中项 3 求和公式sn na1 其推导方法是 若n为奇数 则sn n 求和公式又可变形为sn pn2 qn 其中p q 即 an 成等差数列 sn 说明 是以为首项 为公差的等差数列 或点 n 在直线上 点 n sn 是在抛物线y px2 qx的图象上的一群的点 倒序相加法 na中 na a1 pn2 qn a1 n 1 a1 y a1 x 1 孤立 4 若三数成等差 则可设为或 若四数成等差 则设为 其公差为 5 an 成等差 求sn的最值 若a1 0 d 0 且满足时 sn最大 若a1 0 d 0 且满足时 sn最小 或利用求最值 或利用求最值 a a d a 2d a d a a d a 3d a d a d a 3d 2d 二次函数 导数 6 等差数列的判定方法 1 定义法 an 1 an d 常数 n n an 是等差数列 2 中项公式法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式法 an kn b k b是常数 n n an 是等差数列 4 前n项和公式法 sn an2 bn a b是常数 n n an 是等差数列 二 等差数列的性质1 am an d m n n 2 在等差数列中 若p q m n 则有ap aq am 若2m p q 则有2am ap aq p q m n n 3 若 an bn 均为等差数列 且公差分别为d1 d2 则数列 pan an q an bn 也为数列 且公差分别为 m n d an 等差 pd1 d1 d1 d2 d1 d2 4 在等差数列中 等距离取出若干项也构成一个等差数列 即an an m an 2m 为等差数列 公差为 5 等差数列的前n项和也构成一个等差数列 即sn s2n sn s3n s2n 为等差数列 公差为 6 若等差数列的项数为2n n z 则有s偶 s奇 d 7 等差数列的项数为奇数2n 1 n z 则s2n 1 s奇 s偶且a中间项 s奇 s偶 md n2d n 8 an 为等差数列 sn为前n项和 则s2n 1 2n 1 an bn 为等差数列 s n为前n项和 则s 2n 1 2n 1 bn 9 通项公式是an an b a 0 是一次函数的形式 前n项和公式sn an2 bn a 0 是不含常数项的二次函数的形式 注 当an b时 sn bn 10 若a1 0 d 0 sn有最大值 可由不等式组来确定n 若a1 0 d 0 sn有最小值 可由不等式组来确定n 一 忽视隐含条件失误1 首项为 24的等差数列 从第10项起开始为正数 则公差d的取值范围是 2 一个凸n边形的内角成等差数列 最小角为120 公差为5 则凸n边形的边数n为 9 3 已知 数列 an 中 a1 1 a2 2 2an 1 2an 3 n 2 n n 判断 an 是等差数列吗 解析 a2 a1 1 a3 a2 2a2 3 a2 an 不是等差数列 二 忽视讨论失误4 设数列 an 的通项为an 2n 7 n n 则 a1 a2 a15 三 盲目套用公式失误5 数列 an 中 若sn 2n2 5n 3 则数列 an 是从第项起成等差数列 153 二 回归教材1 2009 湖南 3 设sn是等差数列 an 的前n项和 已知a2 3 a6 11 则s7等于 a 13b 35c 49d 63解析 由等差数列的性质得49 故选c 答案 c 2 记等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 s4 20 则s6 a 16b 24c 36d 48答案 d3 已知 an 是等差数列 a1 a2 4 a7 a8 28 则该数列前10项和s10等于 a 64b 100c 110d 120答案 b 4 等差数列 an 中 a1 a2 a50 200 a51 a52 a100 2700 则a1为 a 12 21b 21 5c 20 5d 20答案 c解析 由题设有解得d 1 a1 20 5 5 课本p1186题改编 已知 an 是等差数列 a2 5 a5 14 1 求 an 的通项公式 2 设 an 的前n项和sn 155 求n的值 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 则a1 d 5 a1 4d 14 解得a1 2 d 3 所以数列 an 的通项为an a1 n 1 d 3n 1 2 数列 an 的前n项和为 155 化简得3n2 n 310 0 即 3n 31 n 10 0 所以n 10 例1 在等差数列 an 中 1 已知a15 33 a45 153 求a61 2 已知s8 48 s12 168 求a1和d 3 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 分析 在等差数列中有五个重要的量 即a1 an d n sn 只要已知任意三个 就可求出其他两个 其中a1和d是两个最重要的量 通常要先求出a1和d 解答 1 方法一 设首项为a1 公差为d 依条件得 a61 23 61 1 4 217 由an am n m d 得a61 a45 16d 153 16 4 217 2 sn na1 n n 1 d 3 a6 10 s5 5 解方程组得 a8 a6 2d 10 2 3 16 s8 拓展提升 1 等差数列问题的一般求解方法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化条件列方程 组 求解 2 等差数列前n项和公式有两个 如果已知项数n 首项a1和第n项an 则利用sn 如果已知项数n 首项a1和公差d 则利用sn na1 2009 福建 3 等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 6 a3 4 则公差d等于 a 1b c 2d 3答案 c解析 s3 6 而a3 4 a1 0 d 2 等差数列 an 的前n项和记为sn 已知a10 30 a20 50 1 求通项an 2 若sn 242 求n 解析 1 由an a1 n 1 d a10 30 a20 50 得方程组解得a1 12 d 2 所以an 2n 10 2 由sn na1 d sn 242 得方程12n 2 242 解得n 11或n 22 舍去 例2 已知数列 an an n sn an 2 2 1 求证 an 是等差数列 2 若bn an 30 求数列 bn 的前n项和的最小值 分析 由sn求出an 进而判断是否满足下列条件之一 an 1 an d an kn b k 0 sn an2 bn a 0 解答 1 an 1 sn 1 sn an 1 2 2 an 2 2 8an 1 an 1 2 2 an 2 2 an 1 2 2 an 2 2 0 an 1 an an 1 an 4 0 an n an 1 an 0 an 1 an 4 0 即an 1 an 4 数列 an 是等差数列 2 由 1 知 a1 s1 a1 2 2 解得a1 2 an 4n 2 则bn an 30 2n 31 解 n n n 15 an 前15项为负值 s15最小 可知b1 29 d 2 s15 总结评述 证明数列 an 是等差数列 若利用an an 1 d 本题d 4 必须说明n 2 若利用an 1 an d 则只需指出n n 即可 bn 2n 31已是n的一次函数的形式 直接说明即可 由下列各表达式给出的数列 an sn a1 a2 an n2 sn a1 a2 an n2 1 a an an 2 2an 1 an an 2 n n 其中表示等差数列的是 a b c d 答案 a 2009 汕头模拟 已知数列 an 中 a1 数列an 2 n 2 n n 数列 bn 满足bn n n 1 求证数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 中的最大项与最小项 并说明理由 解析 1 bn 而bn 1 bn bn 1 1 n n 且n 2 而b1 bn 是首项为 公差为1的等差数列 2 由 1 得bn n 设函数f x 1 在区间 内f x 为减函数 当x 3时 f x f 3 1 当x 4时 f x f 4 3 an的最小值为a3 1 最大值为a4 3 例3 等差数列 an 的前m项和为30 前2m项和为100 则它的前3m项和为 a 130b 170c 210d 260 命题意图 本题主要考查等差数列求和公式的运用 以及等差数列各种性质的灵活运用能力 解法一 将sm 30 s2m 100代入sn na1 得 解法二 s3m 3ma1 知 要求s3m只需求m a1 即可 由已知两式相减得 ma1 d 70 s3m 210 解法三 由等差数列的前n项和公式知 sn是关于n的二次函数 即sn an2 bn a 0 a b是常数 将sm 30 s2m 100代入得解得a s3m a 3m 2 b 3m 210 解法四 s3m s2m a2m 1 a2m 2 a3m s2m a1 2md a2 2md am 2md s2m a1 a2 am m 2md s2m sm 2m2d 由解法一知d 代入得s3m 210 解法五 根据等差数列性质知 sm s2m sm s3m s2m也成等差数列 从而有2 s2m sm sm s3m s2m s3m 3 s2m sm 210 解法六 sn na1 上的一串点 由三点 m 共线易知s3m 3 s2m sm 210 解法七 令m 1得s1 30 s2 100 从而a1 30 a1 a2 100 得到a1 30 a2 70 a3 70 70 30 110 s3 a1 a2 a3 210 故选c 答案 c 总结评述 解法一利用函数思想 解法二设而不求整体处理 解法三运用函数思想 解法四利用等差数列任意两项am an具有关系式am an m n d 解法五利用等差数列依次每k项之和仍然成等差数列的性质 解法六是数形结合思想的运用 解法七利用选择题型的逻辑结构 采用赋值法 错解剖析 1 记错性质 误以为sm s2m s3m成等差数列 错选b 2 误以为sm s2m s3m满足s3m sm s2m 错选a 2009 宁夏银川一中 已知数列 an 为等差数列且a1 a7 a13 4 则tan a2 a12 的值为 答案 d 解析 由题意可得 3a7 4 a7 tan a2 a12 tan 2a7 tan tan 2009 北京宣武 在等差数列 an 中 a1 2a8 a15 96 则2a9 a10 a 24b 22c 20d 8答案 a解析 因为a1 2a8 a15 96 所以4a8 96 a8 24 又因为2a9 a10 a8 所以2a9 a10 a8 24 例4 在等差数列 an 中 a1 25 s9 s17 问此数列前几项的和最大 分析一 本题以数列为核心知识 在考查等差数列基本知识的同时 考查了数列求最值的方法 由已知列方程 得出d 从而将sn转化为关于n的二次函数求最值 解法一 s9 s17 17a1 将a1 25代入可得d 2 从而sn 25n n 13 2 169 故前13项的和最大 最大值为169 分析二 由sn na1 利用二次函数图象解决问题 解法二 sn sn的图象是开口向下的抛物线上一群孤立的点 最高点的横坐标为 13 即s13最大 分析三 对于等差数列 当a1 0且为递减数列时 前n项和sn有最大值 如果数列从第n项开始变号 那么sn就在此处取得最值 解法三 由a1 25 s9 s17 知此数列必递减 且a10 a11 a12 a17 0 又由等差数列性质有a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 4 a13 a14 0 数列递减 a13 a14 a13 0 a14 故此数列前13项和s13最大 分析四 先求出d 然后利用an 0 an 1 0解n 解法四 同解法一求得d 2 由an 0且an 1 0得故此数列前13项和s13最大 总结评述 1 数列是特殊的函数 上述解法中解法一 解法二两种思路均是转化为函数中求最值的方法 即利用单调性 配凑法转化为二次函数以及数形结合等 2 对于等差数列当a1 0且为递减数列时 前n项和sn有最大值 当a1 0且为递增数列时 前n项和sn有最小值 若把题目条件改为 在等差数列 an 中 前n项和为sn 且a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出s1 s2 s3 s12中哪个值最大 并说明理由 解析 1