河北省清河县清河中学高一数学《23 函数的值域与最值》课件 .ppt

基础知识一 函数的值域的定义在函数y f x 中 与自变量x的值对应的y值叫做 函数值的集合叫做函数的 函数值 值域 二 基本初等函数的值域1 y kx b k 0 的值域为 2 y ax2 bx c a 0 的值域是当a 0时 值域为 当a 0时 值域为 3 y k 0且x 0 的值域是 r y y r且y 0 4 y ax a 0 且a 1 的值域是 5 y logax a 0 且a 1 的值域是 6 y sinx y cosx y tanx的值域分别为 r 0 r 1 1 1 1 三 确定函数的值域的原则1 当函数y f x 用表格给出时 函数的值域是指表格中实数y的集合 2 当函数y f x 的图象给出时 函数的值域是指3 当函数y f x 用解析式给出时 函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定 4 当函数由实际问题给出时 函数的值域由问题的实际意义确定 图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合 四 求函数的值域是高中数学的难点 它没有固定的方法和模式 常用的方法有 1 直接法 从自变量x的范围出发 推出y f x 的取值范围 如y x 3 的值域为 2 配方法 配方法是求 二次函数类 值域的基本方法 形如f x af2 x bf x c的函数的值域问题 均可使用配方法 如y 4x 2x的值域为 2 0 3 反函数法 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系 通过求反函数的定义域 得到原函数的值域 形如y a 0 的函数的值域 均可使用反函数法 此外 这种类型的函数值域也可使用 分离常数法 求解 如 y 的值域为 1 1 4 判别式法 把函数转化成关于x的二次方程f x y 0 通过方程有实根 判别式 0 从而求得原函数的值域 形如y a1 a2不同时为零 的函数的值域常用此法求解 如y 的值域为 2 1 5 换元法 运用代数或三角代换 将所给函数化成值域容易确定的另一函数 从而求得原函数的值域 形如y ax b a b c d均为常数 且a 0 的函数常用此法求解 如y x 的值域为 1 6 不等式法 利用基本不等式 a b 2 a b r 求函数的值域 用不等式法求值域时 要注意均值不等式的使用条件 一正 二定 三相等 如y x 的值域为 4 4 7 单调性法 确定函数在定义域 或某个定义域的子集 上的单调性求出函数的值域 形如y 的函数的值域均可使用此法求解 该函数的值域为 8 求导法 当一个函数在定义域上可导时 可根据其导数求最值 如y x3 x x 0 2 的值域为 9 数形结合法 当一个函数图象可作时 通过图象可求其值域和最值 或利用函数所表示的几何意义 借助于几何方法求出函数的值域 如y 的值域为 0 易错知识一 值域求解失误1 求y sin2x sinx 1的值域结果为 对吗 答案 3 2 已知函数f x log2 x2 ax a 的值域为r 则实数a的取值范围 答案 4 0 二 忽视定义域对值域的制约作用而失误3 已知f x 2 log3x 其中x 1 9 当x 时 函数y f x 2 f x2 有最大值 最大值为 答案 x 313 解析 先求出函数y f x 2 f x2 的定义域 1 x 3 函数的定义域为 1 3 又y f x 2 f x2 2 log3x 2 2 2log3x log3x 2 6log3x 6 log3x 3 2 3 1 x 3 0 log3x 1 则x 1时有最小值6 当x 3时有最大值13 三 区分求函数值域的方法4 求函数y x 与y x 的值域 虽然形式上接近但采用方法却不同 前者采用的方法为 值域为 后者采用的方法为 值域为 答案 换元法 三角换元法 1 解析 y x 令 t x 1 t2 y t2 t 1 t 0 y y x 令x sin y sin cos sin y 1 回归教材1 教材p1016题改编 函数y x r 的值域是 a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 0 1 解析 1 x2 1 0 1 答案 a 2 函数y x2 x 1 x 0 的最小值为 a b 2c 1d 3解析 y x 1 2 x 0 y 1 故选c 答案 c 3 值域是 0 的函数是 a y x2 x 1b y 1 xc y 3 1d y log2x2 解析 a中y c中y 1 d中y 0 故应选b 答案 b 5 2008 重庆 函数f x 的最大值为 a b c d 1解析 将解析式整理 得y 利用均值不等式求得f x 的最大值为 答案 b 4 教材p10213题改编 函数y 的值域为 a 0 1 b 0 1 c 0 1 d 0 1 答案 b 例1 求下列函数的值域 1 y 4 2 y 2x 3 y x 解析 1 配方法 由3 2x x2 0 得 1 x 3 y 4 当x 1时 ymin 4 2 2 当x 1或3时 ymax 4 函数值域为 2 4 2 换元法 令t t 0 则x y t2 t 1 t 2 当t 即x 时 ymax 无最小值 函数值域为 3 三角换元法 函数的定义域是 x 1 x 1 设x sint t 则y x 化为y sint cost y t t 1 sin t y 1 原来的函数的值域是 1 总结评述 对于形如y ax2 bx c a 0 或求二次复合函数的值域可用配方法 对于形如y ax b 的函数令t x 且t 0 使之变形为二次函数 再利用配方 对于含的结构的函数 可利用三角代换 令x acos 0 或令x asin 对形如y 等一些结构简单的函数 可通过直接法 求下列函数的值域 1 y x 2 y sin2x 4cosx 1 3 y 2x 5 解析 1 x 0 0 x 1 值域为 0 1 2 y sin2x 4cosx 1 cos2x 4cosx 2 cosx 2 2 6由 1 cosx 1 3 cosx 2 1 1 cosx 2 2 9 3 cosx 2 2 6 5 3 y 5 值域为 3 5 例2 求下列函数的值域 1 y 2 y 解析 1 解法一 反函数法 由y 解出x 得x 2y 1 0 函数的值域为 y y 且y r 解法二 分离常数法 y y 故函数的值域为 y y 且y r 2 判别式法 由y 得yx2 3x 4y 0 当y 0时 x 0 当y 0时 由 0得 y 函数定义域为r 函数y 的值域为 总结评述 反函数的定义域即为原函数的值域 形如y a 0 的函数值域可用反函数法 也可用配凑法 把函数转化成关于x的二次方程f x y 0 通过方程有实根 判别式 0 从而求得原函数的值域 这种方法叫判别式法 形如y a1 a2不同时为0 的函数的值域常用此法 此类问题分为两大类 一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式 0解得 但要注意判别式 中二次项系数为零和不为零两种情况 另一类为分子和分母中有公因式 约去公因式回到 方法去解决 求下列函数的值域 解析 1 解法1 化为真分式 解法2 利用反函数法 由y 得2x 0 所以y 1 1 2 由y 变形得 y 1 x2 y 1 x y 3 0当y 1时 此方程无解 当y 1时 x r y 1 2 4 y 1 y 3 0解得1 y 又 y 1 1 y 故函数的值域为 y 1 y 例3 2007 重庆模拟 已知 f x 3x x2 x x r 1 求f x 的最大值 2 是否存在实数a b使f x 在区间 a b 上的取值范围为 解析 1 f x 3x x2 x 当x 0时 f x 3 3x2 3 1 x 1 x 所以当x 0 1 f x 0 所以x 0 1 时f x 递增 当x 1 f x 0 所以x 0 时f x 递增 因为函数f x 在x 0处连续 所以x 1 时f x 递增 x 1 时f x 递减 所以f x max f 1 2 2 由 ab 0 0 a b时 由 1 可知 x 0 时 f x max f 1 2 所以 2 a 1 即1 a b 由 1 可知 x a b 时f x 递减 所以即a b是方程f x 的两根 3x x3 x4 3x2 2 0 x1 1 x2 所以a 1 b a b 0时 由 1 可知 x 0 时f x 递增 所以相减得3 a2 ab b2 相加得3 a2 ab b2 所以ab 0 无解 综合 存在a 1 b 使f x 在区间 a b 上的取值范围为 总结评述 本题考查了导数及其运用 以及函数值域的讨论 如图所示 将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形 再沿虚线折起 做成一个无盖的正六棱柱容器 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时 其容积最大 解析 本小题主要考查正六棱柱的概念与性质 以及函数的相关知识 考查考生运用导数知识解决实际问题的能力 设被切去的全等四边形的一边为x 如图所示 则正六棱柱的底面边长为1 2x 高为x 所以正六棱柱的体积v 6 1 2x 2 x 00