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第一章量子力学基础 目录 1 1从经典力学到旧量子论 1 2量子力学的建立 1 3量子力学的基本假定 1 4Schr dinger方程简单应用 1 5数学补充 一 十九世纪末 经典物理学已经形成一个相当完善的体系 唯独有几个实验还没找到合理的解释 如 黑体辐射 光电效应 原子光谱和原子结构等 而恰恰是这几个实验为我们打开了一扇通向微观世界的大门 1 1从经典力学到旧量子论 黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体 带有一微孔的空心金属球 非常接近于黑体 如图所示 黑体辐射与能量量子化 黑体辐射在单位波长间隔的能量密度曲线 M Planck 1900年 MaxPlanck在研究黑体辐射实验时发现 为了得到一个正确描述黑体辐射实验曲线的公式 必须引入能量量子化假设 Planck假定 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动 只能发射或吸收频率为 数值为h 的整数倍的电磁能 即振动频率为 的振子 发射的能量只能是0h 1h 2h nh n为正整数 光照射在某种金属导体上时 有可能使金属中的电子逸出金属表面 这种现象称为光电效应 光电效应 1902年 P Lenard宣布了光电效应的二个惊人规律 入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子 光电子的初动能与光强度无关而与光的频率成简单线性关系 按光的经典波动学说 光的辐射能取决于光的强度 而与其频率无关 只要光强度足够大 无论频率多少 电子就能吸收到足够多的能量而逸出 光电子的初动能应随入射光的强度增大 与频率无关 显然 经典波动理论不能解释光电效应的实验事实 A Einstein 首先认识到Planck的黑体辐射研究结果的重要性的是A Einstein 1905年Einstein为了解释光电效应的实验结果提出了光子学说 解释了光电效应 根据光子学说 光是一束光子流 每一个光子携带的能量E与光的频率n成正比 而与光强度无关 光子流的密度才与光强度成正比 光子能量 光子动量 光电效应方程 A Einstein的光量子理论成功的解释了光电效应的实验事实 光电效应给光的粒子学说提供了不可替代的事实支持 使得大家不得不重新认识光的本质 不得不接受这样一个事实 光既是波 也是粒子 即光具有波粒二象性 原子光谱由一些不连续的谱线组成 叫做线状光谱 实验发现 原子光谱中 各谱线按波长的排列和组成有一定的规律性 这种规律性反映了原子结构的内部信息 原子光谱与原子结构 卢瑟福于1911年提出了原子的有核模型 即原子中央有一个几乎占有全部原子质量的 带有正电荷的小区域 称为原子核 电子在核的周围绕核转动 核的半径较原子的半径小得多 卢瑟福的原子有核模型 卢瑟福的原子有核模型与经典的电磁理论有着深刻的矛盾 主要表现为 1 按经典电磁理论 加速运动着的电荷 电子 要向周围空间辐射电磁波 所呈现的光谱应为连续光谱 2 由于电子绕核运动时不断向外辐射电磁波 电子能量不断减少 逐渐接近原子核 最后落于核上 这样 原子应是一个不稳定系统 事实是 原子具有高度的稳定性 且原子光谱为线状光谱 这与经典电磁理论得出的结论完全不同 1913年 N Bohr提出一个新模型 原子中的电子在确定的分立轨道上运行时并不辐射能量 只有在分立轨道之间跃迁时才有不连续的能量辐射 满意的解释了氢原子光谱的规律性 NielsBohr Bohr的轨道角动量量子化 氢原子能级示意图与氢光谱 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 双击下列电子表格 打开它 将两个量子数填入以下电子表格的蓝色数字单元格 取代原来的数字 就会得到该跃迁对应的谱线波数 若固定n1而改变n2 n2 n1 就得到某一线系的各条谱线的波数 轨道的空间量子化 后来 Bohr模型又被A Sommerfeld等人进一步改进 增加了椭圆轨道和轨道空间量子化 扩充成玻尔 索末菲理论 也称旧量子论 旧量子论的主要成果在于明确地指出了经典理论不适用于原子内部的运动 量子规律在微观体系中的重要意义 对量子物理学的发展有着重大的影响 其功绩是不可磨灭的 N Bohr的量子理论有很大的局限性和缺陷 后来 虽经A Sommerfeld等人的修改 但这些改进并没有从根本上解决问题 应用到一般原子现象时 仍有着不可克服的困难 1924年 deBroglie提出了物质波可能存在 量子物理学走上了正确的发展轨道 A Einstein的光量子理论成功的解释了光电效应的实验事实 光电效应给光的粒子学说提供了不可替代的事实支持 使得大家不得不重新认识光的本质 不得不接受这样一个事实 1 2量子力学的建立 光既是波 也是粒子 即光具有波粒二象性 在经典物理学的范畴里 波性和粒性是决然不同 无法统一的两个概念 有一定大小 V m 站有一定位置 具有一定速度或动量 粒性 波性 无一定大小 弥散于它们所能达到的任何空间 因而也无确定位置 能量由其位置 大小 速度等因素决定 能量由波强 振幅的平方 决定 具可入性 能叠加 因而会产生干涉 衍射等现象 具不可入性 不会有叠加现象 L V deBroglie 1924年 deBroglie受到光的二象性和相对论的启发 提出了一个大胆的假设 实物微粒也有波动性 在微观世界里 波粒二象性是一切物质的共性 1 2 1微观世界的波粒二象性 等式左边是描述实物粒子的物理量 等式右边是描述波的物理量 两者通过Planck常数联系在了一起 1926年 美国物理学家戴维孙 Davisson 和革末 Germer 的电子衍射实验证实了电子的波动现象 经定量计算 证明了德布罗意公式的正确性 金晶体的电子衍射图 Debye Scherrer图 氧化锆晶体的X射线衍射图 Debye Scherrer图 控制电子一个一个发射 起初并无衍射图案出现 经历一定时间积累后 底片上仍出现衍射图象 分析 因电子是不可分割的粒子 而实验中控制单个电子通过晶体 说明衍射图象不是由两个电子的实物波的干涉引起 图象呈现衍射花样 说明电子具有波动性 改进的电子衍射实验 M Born 1921年6月 M Born提出了德布罗意波的统计解释 即微观粒子的物质波是一种概率波 Born关于波粒二象性的统计解释 E Schr dinger 1 2 2Schr dinger方程 1926年 受deBroglie的启发 E Schr dinger提出了一个著名的方程 其中 称为Hamilton算符 这个方程的推导思路很简单 1 微观粒子都具有波性 故其运动状态应可以用波函数来描述 2 一个稳定原子中的电子 只能在有限的空间运动 about1 其波性与驻波相似 考虑一个在x轴上振动的一维简谐驻波 其方程为 Y x x处波的振幅 A 最大振幅 对驻波方程求导 定态Schr dinger方程的推导 移项 得 据此 方程变形为 根据deBroglie关系式 2 其中 原子是一个保守体系 对一个在原子中运动的电子 即 替换掉m2v2项 得 方程两边同乘 移项 得 推广到三维的情况 并用r代表 x y z 有 其中 称为Laplace算符 称为Hamilton算符 其中 或 上式就是三维不含时的Schr dinger方程 方程不显含时间 表示波函数Y将不随时间改变 由Y所代表的体系的状态是一个定态 在 结构化学基础 课程中 我们所涉及的主要是定态问题 我们的讨论也将限定在这个范围内 W K Heisenberg 1927年 W K Heisenberg提出了微观领域的测不准原理 有这样一些成对的可测量 要同时测定它们的任意精确值是不可能的 其中一个量被测得越精确 其共轭量就变得越不确定 1 2 3Heisenberg测不准原理 不确定度关系式 1 3量子力学基本假定 量子力学的几个基本假定以及从中推导出的一些重要结论 是我们理解由原子 分子组成的物质的结构以及结构与性能之间关系的重要概念基础 MathematicalReview 一个微观体系的状态可以用波函数 态函数 Y r t 描述 Y r t 包含了测量该体系可能得到的全部信息 Y r t 是体系所有粒子的坐标和时间的函数 假定1 态函数 StateFunction 例如 对三维空间里的一个单粒子体系 原子 分子体系的势能函数不显含时间 电子在空间出现的概率与时间无关 体系的状态是一个定态 定态波函数不显含时间 只是坐标的函数 下面是关于波函数的几点补充说明 1 波函数的统计诠释 根据M Born的解释 波函数的平方 Y 2是一个几率函数 刻画了一个微观粒子处于状态Y r 下在空间的几率分布 或代表了在点r x y z 的几率密度 而 Y 2dt是在点r x y z 附近的小体积元dt内找到粒子的几率 结论 Y r 与kY r 所描述的几率波完全相同 表示了体系的同一状态 对一个定态下的几率分布 重要的是相对几率分布 设空间点r1 r2 其相对分布为 Y r1 2dt Y r2 2dt 显然 对任意常数k Y r1 2dt Y r2 2dt k Y r1 2dt k Y r2 2dt 即Y r 与kY r 所描述的相对几率分布完全相同 2 合格波函数的三个要求 因为Y Y是几率密度函数 波函数Y r 必须是单值 连续和平方可积的 波函数必须是单值的 即在空间每一点Y只能有一个值 波函数 以及其一阶导数必须是连续的 否则薛丁格方程无意义 因为波函数是几率函数 当然应具有归一性 波函数Y在整个空间的积分必须是一个不为零的有限值 是能够归一化的 即 是平方可积的 一个满足上述三个条件的波函数 被称为是品优函数 well behavedfunctions 体系的任一可观测的力学量都与一个线性厄米算符相对应 假定2 力学量与算符 测量一个微观体系的某可观测的物理量A 可能的测得值只能是其本征方程的本征值ai是该物理量A所对应的算符 要求是品优函数 假定3 本征方程与可测得值 基本假定3的重要意义 在于它把量子力学的计算值与实验测量值联系起来了 把抽象的公式同真实的世界联系起来了 根据假定3 如果我们对某个微观体系感兴趣 写出它的本征方程 通过计算就能在一定程度上了解它 例如 一个单粒子保守系 如核固定近似下的氢原子 总能量守恒且不随时间改变 E T V 对应的算符为 其中 V只是坐标的函数 不显含时间 如果我们想知道体系的总能量 将作用于体系的态函数Y 根据基本假定3 总能量E就是如下总能量本征方程的本征值 或 上式即为定态Schr dinger方程 在实际测量中 我们得到的只能是实数值 根据基本假定3 这个测量值于下述方程相联系 又根据基本假定2 在量子力学中 所有可观测的物理量A所对应的算符都是厄米的 1 厄米算符的本征值是实数 现在我们的问题是 厄米算符能满足假定3的要求吗 Inotherwords 由厄米算符组成的本征方程 能保证其本征值一定是实数吗 设是一个厄米算符 对任意一个品优的本征函数Yi有 根据厄米算符的定义 依据本征方程 我们有 Thusweproved ai ai ai ai ai ai 0 0 设某可观测物理量A的对应算符为 一般而言 由厄米算符的定义有 2 厄米算符的不同本征函数具有正交性 aj ai 注意 ai ai aj ai 移项 得 定理 一个可观测物理量所对应的厄米算符的全体本征函数ji i 1 2 构成一个完备的正交函数组 ai aj 0 ai aj Thusweproved 0 aj ai 一个可观测物理量A的算符通常对应多个不同的本征函数ji i 1 2 算符的全体本征函数ji i 1 2 构成一个正交归一的完备函数集 例如 求解氢原子的Schr dinger方程得到的1s 2s 2p 3s 等原子轨道波函数 3 简并与简并度 如果有2个不同的本征函数ji jj具有相同的本征值 我们就说状态ji和状态jj是简并的 例如 对单电子原子 凡n相同的轨道是简并的 对中心力场近似下的多电子原子 凡n l相同的轨道是简并的 简并态的数量称为简并度 如p轨道是3重简并的 d轨道是5重简并的 ai aj 若j1 j2 jn是某一微观体系的可能状态 则它们的线性组合Y也是该体系的可能状态 假定4 态叠加原理 例如 CH4分子中C原子的sp3杂化 根据态叠加原理 体系的态函数是不唯一的 实表示与复表示完全等价 例如 求解氢原子的Schr dinger方程直接得到的是一组复数解 经过一个简单的线性组合 就可将复数解转换为一组实数解 如氢原子的p轨道的复数解有3个分量p0 p1 p 1 它的3个实数解分别为 定理 简并本征态的任意线性组合仍是该体系的本征态 且本征值不变 证明 假设j1 j2 jn是算符的简并本征函数集 本征值为a 即有 态函数Y是算符的简并本征函数集的一个任意线性组合 即 非简并本征态的线性组合仍是该体系的一个可能状态 但一般不再是本征态 而是非本征态 即证 设一微观体系处于状态Y 其中某可观测力学量A的对应算符为 如果每次对该力学量A进行测量都能得到同一确定值a 则此体系处于该力学量的本征态 即 如果每次对该力学量A进行测量得不到同一确定值 则此体系处于该力学量的非本征态 此时 非本征态力学量的平均值 体系处于某力学量A的非本征态Y时 该力学量没有确定值 但可以求其测量的期望值 平均值 如果Y是归一化的 则 如果Y的函数形式是已知的 使用上式就可以直接求其测量的期望值 如果Y的函数形式是未知的 可以将态函数Y按算符的本征函数集展开 假设j1 j2 jn是算符的非简并的正交归一的本征函数集 将态函数Y按算符的本征函数集展开 即 按照非本征态力学量平均值公式 在这里 ci 2具有概率的意义 证明 Y是体系的一个可能状态 因此它应该是归一化的 即 展开上式 其中某一项组合系数ci的绝对值的平方的大小 代表了这个本征态ji对状态Y的贡献大小 或者说 代表了这个本征态ji在状态Y中出现的几率大小 小结 展开式中每一项的系数ci的绝对值的平方 代表了该力学量A的取值几率分布 体系处于某力学量A的非本征态Y时 该力学量没有确定值 但可以求其测量的期望值 平均值 小结 如果在这个状态下对力学量A进行测量 测量到的A值既有可能是A1也有可能是A2 相应的概率之比为 例 如果j1是体系的一个本征态 对应的本征值为A1 j2也是体系的一个本征态 对应的本征值为A2 那么 y c1j1 c2j2是体系一个可能的存在状态 c1 2 c2 2 A的平均值为 假定5 电子自旋与Pauli原理 在一个微观体系中 任意二个电子的四个坐标不能全同 在同一原子轨道或分子轨道上 至多只能容纳两个自旋状态相反的电子 或者说 两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道 1922年 O Stern和W Gerlach将银在高温炉中加热成蒸气 飞出的银原子经过不均匀磁场后打到玻璃板上沉积下来 在玻璃板上出现了对称的两条银迹 随后发现其它只含一个价电子的原子 如H Li原子都有此现象 Stern Gerlach实验 即每条光谱线不是简单的一条线 而是由波长很接近的二条或三条线组成的 当用分辨率较高的分光仪或摄谱仪 对钠单色光源发出的光谱线进行仔细观测时 发现了钠原子光谱线的精细结构 碱金属光谱的双线结构 基于上述事实 1925年Whlenbeck和Goldschmidt提出了电子自旋的假设 认为电子具有自旋运动 具有固定的角动量和相应的磁距 描述电子运动的状态波函数除了包括空间坐标外 还应包括自旋坐标 s 电子自旋 自旋角动量大小为 式中s称为自旋量子数 每个电子都具有同样的数值 自旋角动量的空间取向是量子化的 在外磁场方向的投影为 式中ms称为自旋磁量子数 电子自旋矢量的空间量子化 电子运动的完全波函数 电子不仅有空间 轨道 运动 还有自旋运动 描述电子运动的完全波函数也应包括轨道波函数和自旋波函数 以二电子体系为例 其轨道运动波函数为 其自旋运动波函数为 Anorbital Aspin Aspin orbital oramicrostate oracompletefunction 电子的自旋运动是电子的重要特征 但是 电子自旋的物理图像是什么 是至今尚未解决的问题 不要把 自旋 想像成宏观物体的 自转 电子的内部结构至今尚不清楚 只能说电子的自旋是电子的一种内禀 内部 运动 描述电子运动的完全波函数 电子运动的完全波函数 全同粒子 在经典力学中 一些全同粒子可能有相同的质量 相同的电量等 但宏观粒子在运动中都有自己的运动轨道 任何时刻可用粒子在空间的坐标和动量来标记它们 虽然性质相同 但还是可以区别的 全同粒子 微观粒子 如一组电子 一组光子等 它们具有相同的质量 电量 自旋等 它们具有波粒二象性 服从 测不准原理 在这样的全同粒子体系中 粒子是彼此不可区分的 当它们之间任意两个交换时 不会造成任何可观察的结果 例如 一个由2个电子组成的体系j q1 q2 两个电子交换坐标后的状态用j q2 q1 表示 根据不可区分性 取正号的函数称为对称函数 取负号的函数称为反对称函数 电子的完全波函数在交换二个电子的坐标时 是反对称的 对一个多电子体系 如果有二个电子具有完全相同的坐标 即 交换这二个电子的坐标 不引起体系状态的变化 假定5 Pauli原理 按照Pauli原理 此时 在一个微观体系中 任意二个电子的四个坐标不能全同 在同一原子轨道或分子轨道上 至多只能容纳两个自旋状态相反的电子 或者说 两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道 按照Pauli原理 1 4Schr dinger方程简单应用 S eq 解决问题的一般步骤 根据体系的特征 写出具体的Schr dinger方程 这个问题经常简化为写出具体的势能函数V 解Schr dinger方程 求得En和Yn 对结果进行分析 讨论 一维箱中粒子是指 一个质量为m的粒子被置于箱外势能无穷大 箱内势能为零 即无限深 的阱中 沿x方向运动 1 4 1一维箱中的粒子 对于某些实际问题 例如金属内的自由电子或共轭分子的 电子 无限深势阱中的粒子模型可以作为一种近似模型 1 4 1一维箱中的粒子 V 0 V V x 0 l 一维定态Schr dinger方程的通式为 x 0 x l V 箱外 0 x l V 0 箱内 求解过程 设其解为 为待定常数 特征根方程 解函数为 为待定常数 令 C A B D A B i 为待定常数 得 现在 通过边界条件来确定C D的值 根据 我们得到 x 0 x l V 根据 这就要求 或者 n 0对应的状态为空箱子 与大前提不符 非零正整数 n称为量子数 quantumnumber D可通过归一化条件确定 应用归一化条件 D可以取负值吗 Schr dinger方程的解 波函数和几率密度的图示 1 没有经典运动轨道 只有几率分布 按经典力学模型 对箱中粒子来说 箱内所有位置都是一样的 但按照量子力学模型 箱中各处粒子的几率密度是不均匀的 2 能量量子化 关于Schr dinger方程解的讨论 3 微观粒子运动状态的描述 我们得到的是一个系列解 这表明粒子可以处在多个运动状态 粒子的运动状态由态函数描述 由于能级和状态一一对应 也可以使用能级En来描述粒子的运动状态 量子数与能级 状态也有一个确切的对应关系 因此 量子数同样可以用来表征粒子的运动状态 4 零点能 基态时的动能 基态没有节点 对激发态而言 节点越多 能级越高 节点的几率密度也当然为零 5 节点 波函数的点 边界处除外 6 粒子能量与粒子的质量和运动范围成反比 粒子运动范围增大 能量降低 这正是共轭分子中大p键离域能的来源 下图分别是苯分子和丁二烯分子的基态p轨道示意图 7 Bohr对应原理 当体系的尺度由微观过渡到宏观 对体系的描述也由量子力学的过渡到经典力学的 这个现象也称为束缚产生量子化 不同能级间的能量差异与粒子的质量 m 和运动范围 l 的平方成反比 现在 我们以运动范围 l 的大小为例来说明束缚产生量子化 假定箱中粒子是一个电子 me 9 11 10 31Kg 如果电子的运动范围约为一个原子的大小 如果电子的运动范围约为一个厘米 8 体系的全部合理解构成一个正交归一的完备函数组 由一维箱中粒子推广到三维箱中的粒子 能量本征方程为 1 4 2三维箱中的粒子 本征函数与本征值 其中三个量子数nx ny nz是独立变化的 若a b c 箱子为立方体 acubicbox 能级成为 一维箱中的粒子未曾有过的新现象出现了 具有不同量子数的态尽管是互不相同的独立的波函数 却可能具有相同的能量 三维无限深正方体势阱中粒子的波函数 立方箱中粒子的简并态 1 4 3一维谐振子 在微观领域中 分子内的原子在平衡位置附近的振动 固体中的晶格离子的振动等也适用于谐振子模型 一维谐振子的经典力学处理 根据牛顿第二定律 angularfrequency frequency 按照经典力学处理结果 振动被限制在范围内 动能和势能均可连续变化 但在振动的每一点 系统的总能量E为常数 一维谐振子的量子力学处理 为谐振子的经典振动频率 一维谐振子的二种处理结果对比 谐振子的能量是量子化的 分立能级是等间隔的 classic quantum 存在零点能 隧道效应 波函数以指数形式衰减 在抛物线外不为零 一维谐振子的几率分布 波函数有n个节点 一维谐振子的几率分布 由上图可以看出 n越大 量子几率分布与经典几率分布就越相似 这个现象称为Bohr对应原理 一维无限深势阱中看不到的一种量子现象是隧道效应 当势垒为有限高度 V0 和厚度时 入射到势垒上的粒子能量E即使小于V0 也仍有一定的概率穿透势垒 似乎是从隧道中钻出来的 这种奇妙的量子现象是经典物理无法解释的 对于化学来讲 意义最大的恐怕是基于隧道效应发明的扫描隧道显微镜 STM 放大倍数3千万倍 分辩率达0 01nm 它使人类第一次真实地 看见 了单个原子 这是20世纪80年代世界重大科技成就之一 一维谐振子的量子力学处理结果中也看到了隧道效应 波函数以指数形式衰减 但在抛物线外不为零 第一章作业 教材第20 21页 1 9 1 14 1 15 1 17 试证 计算函数x在下列区间的范数 1 1 1 2 0 1 Classifytheseoperatorsaslinearornonlinear Whichofthefollowingfunctionsistheeigenfunctionsofd2 dx2 Fortheparticleinacubicbox Findoutthenumberof 1 states 2 energylevels and 3 thedegreeofdegeneracyofenergylevelswiththevalueof Acknowledgement 本 结构化学基础 课件的编写大量采用了可获得的网络课件素材和内容 其中主要有国家级精品课程 兰州大学化学化工学院李炳瑞主编 结构化学 多媒体教材 特此声明 并真诚致谢 本 结构化学基础 课件仅供华中科技大学化学与化工学院应用化学专业本科教学使用 学生可免费获得 任何人不得将本课件上传用于商业或其它用途 EndoftheChapter1 MathematicalReview 这个简要的复习材料所涉及到的数学知识并不复杂 但同学们可能不熟悉 这些数学概念对学习本课程是重要的 目录 一 正交函数 二 算符Operator 一 正交函数 对一个复函数 它的复共轭函数为 并且 复函数 对两个不同的复函数 1 一般来说 i e 两个不同的复变函数的乘积一般不满足交换律 2 当且仅当为实函数 一个常用的复函数的例子 Ex 1 试证 DiracBrackets 说明 复共轭始终定义在竖线的左边 或最左边的半括号里 因此 括号内的书写顺序是重要的 Kroneckerdelta 符号称为Kroneckerdelta或函数 函数的内积 定义 在展开区间内为连续变量的二函数的内积是 2 可类比于矢量的内积 也称标量积或点乘 1 括号下的书写顺序是重要的 函数的正交 定义 若二个函数在区间的内积为零 则称它们在该区间内是正交的 2 对应的 若二个矢量的内积为零 则二矢量垂直 1 若内积为零 括号下的书写顺序不重要 Ex 2 验证函数x和x2在下列区间内的正交性 1 1 1 2 0 1 必须先指定展开区间 才能讲正交性 函数的范数 定义 函数在区间的范数是函数自身的内积 可用符号N表示 函数的范数是实的 有限的正量 可以类比为矢量的长度的平方 证明如下 函数的归一化 定义 若一函数的范数是一 即 则称该函数是归一化的 如若一函数的范数不等于一 即 我们总可以造一个新函数 其中 k称为函数的模 可类比为矢量的长度 这个新函数是归一化的 其中 称为归一化因子 Ex 3 计算函数x在下列区间的范数 1 1 1 2 0 1 定义 若 则该函数是偶函数 若 则该函数是奇函数 定理 偶函数在对称区间的积分是其在半区间的二倍 奇函数在对称区间的积分为零 函数组 函数组是函数的集合 它们的变量相同 定义区间相同 写出函数的规则相同 例如 x的全部幂函数构成一个函数组 这个函数组用大括号写成 为了完备起见 必须标明区间和指标n可取的值 如 函数组