1.5 函数的连续性.ppt

一 函数连续性的概念 四 函数的间断点 第5节函数的连续性 三 闭区间上连续函数的性质 下一页 上一页 返回 一 函数连续性的概念 引例考察下列4个函数及图象 1 1 2 3 P 1 a a 0 2 1 2 下一页 上一页 返回 1 4 3 下一页 上一页 返回 数值 说明函数曲线是否断开与点的极限 它们在 之外的曲线是连在一 起的 而在 处恰恰相反 是断开 的 在求多项式函数的极限时用到 而其他一些函数就不能保证极限值就是函 值和函数值有关 下一页 上一页 返回 定义1 函数值法 设函数y f x 在点x0及其左右近旁有定义 且 则称函数y f x 在点x0处连续 或称点x0为函数y f x 的连续点 1 点连续性的定义 下一页 上一页 返回 若函数y f x 的自变量x在点x0发生微小的改变量 或增量 记为 x x x0 此时相应的函数值由f x0 变到f x 记 y f x f x0 或 y f x0 x f x 称为函数y f x 在点x0处的增量 函数增量 下一页 上一页 返回 定义2 增量法 设函数y f x 在点x0及其左右近旁有定义 如果 则称函数y f x 在点x0处连续 称点x0为函数y f x 的连续点 下一页 上一页 返回 例1 证 由定义1知 下一页 上一页 返回 注意 下一页 上一页 返回 2 单侧连续性的定义 用引例说明单侧连续性 定义 下一页 上一页 返回 由上述定义可知 函数y f x 在x0处连续的充要条件可表示为 3 点连续的充要条件 即 函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左 右连续 下一页 上一页 返回 例2 在点的连续性 讨论函数 解 下一页 上一页 返回 例3 解 即函数f x 在点x 0处右连续但不左连续 下一页 上一页 返回 判断函数在某点是否连续的步骤 第一确定函数在所讨论点是否有定义 若有则继续 否则为不连续点 第二求函数在所讨论点的左极限 若是正常极限则继续 否则为不连续点 第三求函数在所讨论点的右极限 若是正常极限则继续 否则为不连续点 下一页 上一页 返回 第五求函数在所讨论点的函数值 若是与极限值相同则该点为连续点 否则为不连续点 第四判断函数在所讨论点的左极限和右极限是否相等 若是相等则继续 否则为不连续点 下一页 上一页 返回 4 区间连续性 定义 下一页 上一页 返回 3 下一页 上一页 返回 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 注意 例如 由基本初等函数的图形可以断言 4 函数在它定义域内的每一点都连续 则称为连续函数 下一页 上一页 返回 1 简单函数的连续性 定理1若函数f x 和g x 均在x0处连续 则f x g x f x g x f x g x 在该点都连续 二 初等函数的连续性 下一页 上一页 返回 故由极限的运算法则可得 因此f x g x 在x0处连续 证仅证明f x g x 的情形 因为f x g x 在x0处连续 所以有 下一页 上一页 返回 例如 注意和 差 积的情况可以推广到有限个函数的情形 简单函数在其定义区间内连续 结论 下一页 上一页 返回 2 复合函数的连续性 定理2设函数y f u 在点u0处连续 函数u x 在点x0处连续 且u0 x0 则复合函数y f x 在点x0处连续 即 下一页 上一页 返回 意义 1 极限号可以与函数关系互换 例 解 下一页 上一页 返回 3 初等函数的连续性 定理3初等函数在其定义区间内连续 意义代入法求初等函数的极限 即 下一页 上一页 返回 例 解 例 解 下一页 上一页 返回 三 闭区间上连续函数的性质 比较函数y f x 在区间 a b 上的函数值的大小 1 最值性质 下一页 上一页 返回 f x1 f x2 分别称为函数y f x 在区间 a b 上的最大值和最小值 定理 若函数y f x 在闭区间 a b 2 在 a b 上至少存在一点x2 使得 1 在 a b 上至少存在一点x1 使得 对于任何x a b 恒有f x1 f x 对于任何x a b 恒有f x2 f x 上连续 则 下一页 上一页 返回 1 若区间内有不连续点 定理不一定成立 注意 2 若区间是开区间 定理不一定成立 下一页 上一页 返回 推论 若函数y f x 在闭区间上连续 则它在该区间上有界 2 有界性 闭区间上的连续函数y f x 最小的上界为最大值 最大的下界为最小值 下一页 上一页 返回 3 介值性质 定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 即 则在上至少存在一点 使得 C是介于M与m之间的任一实数 即 下一页 上一页 返回 4 零点 方程根 的存在性 点x x0为函数f x 的零点 如果存在x0 使得f x0 0 则称 且f a f b 0 则至少存在一点 a b 使得f 0 零点存在性 定义 若f x 在 a b 上连续 由于函数的零点即是方程的根 因此又把它说成是方程根的存在性 下一页 上一页 返回 a b y f x c 一条连续曲线 若其上的点的纵坐标由负值 几何意义 变到正值或由正值变到负值时 则曲线至少要穿过x轴一次 下一页 上一页 返回 例7证明方程x3 4x2 1 0在 0 1 内至少有一个实根 证设f x x3 4x2 1 由于它在 0 1 上连续且f 0 1 0 f 1 2 0 因此由推论可知 至少存在一点 c 0 1 使得f c 0 这表明所给方程在 0 1 内至少有一个实根 下一页 上一页 返回 4 结论 小结 确定方程根的存在性的方法 1 把方程不为零的一端设成函数 2 判定函数在所求闭区间上是否连续 3 判定两个端点的函数值是否异号 下一页 上一页 返回 四 函数的间断点 定义如果函数f x 在点x0处不连续 则称点x0是函数y f x 的间断点 也称函数在该点间断 1 间断点的概念 下一页 上一页 返回 由函数的点连续定义可知 函数f x 在点x0处间断的条件有 函数f x 在点x0处间断只要满足上述三个条件之一即可 注意 下一页 上一页 返回 2 间断点的分类 间断点情形的不同主要在于函数f x 在点x0处的左右极限是否存在 由此把间断点分为两类 左 右极限都存在的间断点为第一类间断点 1 第一类间断点 下一页 上一页 返回 例 解 下一页 上一页 返回 例 解 下一页 上一页 返回 2 第二类间断点 若x0是函数y f x 的间断点 且在该点至少有一个单侧极限不存在 则称x0为f x 的第二类间断点 注意函数的间断点可以是多个 下一页 上一页 返回 例10 解 下一页 上一页 返回 练习1 解 下一页 上一页 返回 函数连续性的讨论方法 讨论函数f x 的连续性时 若f x 是初等函数 则由 初等函数在其定义区间内连续 的基本结论