1.22 函数的极值与导数课件公开课.ppt

复习回顾 解 f x x3 3x 3x2 3 3 x2 1 3 x 1 x 1 当f x 0 即 1 x 1时 函数f x 3x x3单调递减 当f x 0 即x 1或x 1时 函数f x 3x x3单调递增 所以函数f x x3 3x的单调减区间为 1 1 单调增区间为和 判断函数f x x3 3x的单调性 并求出单调区间 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数在这个区间内单调递减 2 函数的单调性与导函数的正负的关系 1 3 2函数的极值与导数 1 理解极大值 极小值的概念 2 会用导数求函数的极大值 极小值 并掌握求极值的步骤 学习目标 自学指导一 时间 4分钟内容 课本第26页 27页任务 1 什么是极小值 什么是极大值 各有什么特点 2 函数的极大值一定大于极小值吗 3 在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗 4 导数为0的点一定是极值点吗 1 极小值点与极小值如图 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且 而且在点x a的左侧 右侧 则把点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 f x 0 f x 0 0 0 f a 0 都小 f a 0 2 极大值点与极大值如图 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 且 而且在点x b的左侧 右侧 则把点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 统称为极值点 和 统称为极值 f x 0 f x 0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 0 0 f b 0 都大 f b 0 问题1 你能找出函数的极小值点和极大值点吗 为什么 观察上述图象 试指出该函数的极值点与极值 并说出哪些是极大值点 哪些 问题2 极小值一定比极大值小吗 上述图象 试指出该函数的极值点与极值 并说出哪些是极大值点 哪些 观察图象回答下面问题 不一定 小试牛刀 课本 第96页练习2 思考 1 导数为0的点一定是函数的极值点吗 例如 f x x3 f x 3x2 0 f 0 3 02 0 不一定 f x0 0 x0是函数f x 的极值点 自学指导二 时间 3分钟内容 课本第28 29页任务 1 体会例4中求函数极值的解题步骤 2 尝试总结求函数极值的步骤 因为所以 例4求函数的极值 解 令解得或 当x变化时 f x 的变化情况如下表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 2时 f x 有极大值 极大值为 当x 2时 f x 有极小值 极小值为 求导 列表 求根 列表 判断 定义域 求函数极值 极大值 极小值 的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导函数 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况若f x 左正右负 则f x 为极大值 若f x 左负右正 则f x 为极小值 定义域 求导 求根 列表 判断 解 1 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 得x1 1 x2 3 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 当x 1时函数取得极大值 且极大值为f 1 10 当x 3时函数取得极小值 且极小值为f 3 22 练习 求下列函数的极值 解 解得列表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 3时 f x 有极大值54 当x 3时 f x 有极小值 54 练习1 下列函数中 x 0是极值点的函数是 A y x3B y x2C y x2 xD y 1 x B 课堂练习 小结 1 函数的极值点 极值2 判定函数极值的方法 极大值 极小值 函数的性质 单调性 单调性的判别法 单调区间的求法 函数极值 函数极值的定义 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 函数极值的求法 必要条件 求极值的步骤 1 求导 2 求极点 3 列表 4 求极值 1 求导 2 求临界点3 列表 4 单调性 例 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值为10 求a b的值 解 3x2 2ax b 0有一个根x 1 故3 2a b 0 又f 1 10 故1 a b a2 10 由 解得或 当a 3 b 3时 此时f x 在x 1处无极值 不合题意 当a 4 b 11时 3 111时 此时x 1是极值点 从而所求的解为a 4 b 11 习题A组 4 下图是导函数的图象 在标记的点中 在哪一点处 1 导函数有极大值 2 导函数有极小值 3 函数有极大值 4 函数有极小值 或 例3 已知函数f x x3 ax2 b 1 若函数f x 在x 0 x 4处取得极值 且极小值为 1 求a b的值 解 1 由得x 0或x 4a 3 故4a 3 4 a 6 由于当x0时 故当x 0时 f x 达到极小值f 0 b 所以b 1 例4 已知f x ax5 bx3 c在x 1处有极值 且极大值为4 极小值为0 试确定a b c的值 解 由题意 应有根 故5a 3b 于是 1 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 2 设a 0 列表如下 由表可得 即 又5a 3b 解得a 3 b 5 c 2 1 极值的概念理解在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点指的是自变量的值 极值指的是函数值 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小 已知函数极值情况 逆向应用确定函数的解析式 进而研究函数性质时 注意两点 1 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用 以及与单调性问题的综合 题目着重考查已知与未知的转化 以及函数与方程的思想 分类讨论的思想在解题中的应用 在解题过程中 熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键 设函数f x x3 6x 5 x R 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 若关于x的方程f x a有三个不同的实根 求实数a的取值范围 思路点拨 1 利用导数求单调区间和极值 2 由 1 的结论 问题转化为y f x 和y a的图象有3个不同的交点 利用数形结合的方法求解 名师点评 用求导的方法确定方程根的个数 是一种很有效的方法 它通过函数的变化情况 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数 从而判断方程根的个数 2 函数的极值不一定是惟一的 即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 2 极值点与导数