080.力学综合题(上).ppt

力学综合题 上 吕叔湘中学庞留根2005年4月 例1例2例3例4例5例604年福建25例7例9例1004年北京2404年春季34弹弓效应例1105年苏锡常镇一模18例12 力学综合题 上 例1 用长度为L的铁丝绕成一个高度为H的等螺距螺旋线圈 将它竖直地固定于水平桌面 穿在铁丝上的一珠子可沿此螺旋线无摩擦地下滑 这个小珠子从螺旋线圈最高点无初速滑到桌面经历的时间t 解析 测试学生利用常规物理知识 物体沿光滑斜面滑下 解决本题中的问题 考察学生等效思维能力和变通的能力 将此螺旋线圈等效长为L 高为H的光滑斜面 倾角为 例2 如右图所示 硬杆BC一端固定在墙上的B点 另一端装有滑轮C 重物D用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A点 若杆 滑轮及绳的质量和摩擦均不计 将绳的固定端从A点稍向下移 则在移运过程中 A 绳的拉力 滑轮对绳的作用力都增大B 绳的拉力减小 滑轮对绳的作用力增大C 绳的拉力不变 滑轮对绳的作用力增大D 绳的拉力 滑轮对绳的作用力都不变 解 由受力图可知 F1 G 则 AB AC A点稍向下移 则AB AC均减小 增大 均减小 F1不变 F2增大 C 如图示 小木块质量m 1kg 长为L的长木板质量M 10kg 木板与地面以及木块间动摩擦因数均为 0 5 当木板从静止开始受水平向右的恒力F 90N作用时 木块以初速v0 4m s向左滑上木板的右侧 则为使木块不滑离木板 木板的长度L至少要多长 解 m受摩擦力向左匀减速运动 a1 g 5m s2 M受到合力作用向右匀加速运动 a2 F f f地 M 90 5 55 10 3m s2 设经过ts 木块向左减速到0再向右加速到v时 跟木板相对静止 木块刚好不滑离木板 如图示 v1 v0 a1t v2 a2t v1 v2 v解得t 2s S1 v0t 1 2a1t2 8 10 2m S2 1 2a2t2 6m注意正负号的意义 L S2 S1 4m 例3 例4 如图所示 一质量为500kg的木箱放在质量为2000kg的平板车的后部 木箱到驾驶室的距离l 1 6m 已知木箱与车底板间的动摩擦因数 0 484 平板车运动过程中所受的行驶阻力是车和箱总重的0 20倍 平板车以v0 22m s的速度匀速行驶 某时刻驾驶员遇情况突然刹车 车做匀减速运动 为不让木箱撞击驾驶室 求 1 从刹车开始到平板车完全停止至少要经多长时间 2 刹车时平板车所受的刹车阻力不能超过多大 解 1 设为使木箱恰好不撞击驾驶室的最小刹车时间为t 刹车过程中车和木箱的加速度分别为a车和a箱 运动的位移分别为S车和S箱 刹车后 对车有 v02 2a车s车 v0 a车t 木箱的加速度a箱 g 刹车后木箱运动至停止 有 v02 2a箱S箱 木箱刚好不撞击驾驶室时 有 S箱 S车 l 解得 a车 5m s2 t 4 4s 2 设刹车阻力为F 则刹车过程 对车受力如图示 F 0 20 m箱 m车 g m箱g m车a车 解得F 7420N 例5 人和雪橇的总质量为75kg 沿倾角 37 且足够长的斜坡向下运动 已知雪橇所受的空气阻力与速度成正比 比例系数k未知 从某时刻开始计时 测得雪橇运动的v t图象如图中的曲线AD所示 图中AB是曲线在A点的切线 切线上一点B的坐标为 4 15 CD是曲线AD的渐近线 g取10m s2 试回答和求解 雪橇在下滑过程中 开始做什么运动 最后做什么运动 当雪橇的速度为5m s时 雪橇的加速度为多大 雪橇与斜坡间的动摩擦因数 多大 解 由图线可知 雪橇开始以5m s的初速度作加速度逐渐减小的变加速运动 最后以10m s作匀速运动 t 0 v0 5m s时AB的斜率等于加速度的大小 a v t 10 4 2 5m s2 t 0v0 5m sf0 kv0由牛顿运动定律 mgsin mgcos kv0 ma vm 10m sfm kvm mgsin mgcos kvm 0 解 得k 37 5N s m 0 125 例6 如图甲示 质量分别为m1 1kg和m2 2kg的AB两物块并排放在光滑水平面上 若对A B分别施加大小随时间变化的水平外力F1和F2 若F1 9 2t NF2 3 2t N 则 经多少时间t0两物块开始分离 在同一坐标乙中画出两物块的加速度a1和a2随时间变化的图象 速度的定义为v S t v t 图线下的 面积 在数值上等于位移 S 加速度的定义为a v t 则 a t 图线下的 面积 在数值上应等于什么 试计算A B两物块分离后2s的速度各多大 解 对整体 F1 F2 m1 m2 a a 12 3 4m s2 设两物块间的作用力为T 对A F1 T m1a T F1 m1a 5 2t当T 0时 两物块分离 t0 2 5s 分离前两物块的加速度相同为4m s2 分离后 对Aa1 F1 m1 9 2t m s2 对Ba2 F2 m2 1 5 t m s2 t 2 5s 画出两物块的a t图线如图示 见前页 a t 图线下的 面积 在数值上等于速度的变化 v 由 算出图线下的 面积 即为两物块的速度 VA 4 5 2 5 4 2 14m s VB 4 2 5 4 6 2 2 20m s 04年福建25 20分 一小圆盘静止在桌布上 位于一方桌的水平桌面的中央 桌布的一边与桌的AB边重合 如图 已知盘与桌布间的动摩擦因数为 1 盘与桌面间的动摩擦因数为 2 现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面 加速度的方向是水平的且垂直于AB边 若圆盘最后未从桌面掉下 则加速度a满足的条件是什么 以g表示重力加速度 解 设圆盘的质量为m 桌长为l 在桌布从圆盘上抽出的过程中 盘的加速度为a1 有 1mg ma1 桌布抽出后 盘在桌面上作匀减速运动 以a2表示加速度的大小 有 2mg ma2 设盘刚离开桌布时的速度为v1 移动的距离为x1 离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下 有 v12 2a1x1 v12 2a2x2 题目 上页 下页 盘没有从桌面上掉下的条件是 x2 l 2 x1 设桌布从盘下抽出所经历时间为t 在这段时间内桌布移动的距离为x 有 x 1 2at2 x1 1 2a1t2 而x l 2 x1 由以上各式解得 题目 上页 例7 一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动 其速度大小与其离开洞口的距离成反比 当其到达距洞口为d1的A点时速度为v1 若B点离洞口的距离为d2 d2 d1 求老鼠由A运动到B所需的时间 解 v1 k d1k d1v11 v1 d1 k v2 k d2 d1v1 d21 v2 d2 d1v1 作出v d图线 见图线 将v d图线转化为1 v d图线 取一小段位移d 可看作匀速运动 t d v d 1 v即为小窄条的面积 同理可得梯形总面积即为所求时间 t 1 2 1 v2 1 v1 d2 d1 d2 d1 2 2d1v1 例9 质量为M 3kg的小车放在光滑的水平面上 物块A和B的质量为mA mB 1kg 放在小车的光滑水平底板上 物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接起来 不会分离 物块A和B并排靠在一起 现用力压B 并保持小车静止 使弹簧处于压缩状态 在此过程中外力做功135J 如右图所示 撤去外力 当B和A分开后 在A达到小车底板的最左端位置之前 B已从小车左端抛出 求 1 B与A分离时A对B做了多少功 2 整个过程中 弹簧从压缩状态开始 各次恢复原长时 物块A和小车的速度 解 1 AB将分离时弹簧恢复原长 AB的速度为v 小车速度为V 对A B M系统 由动量守恒和机械能守恒得 向右为正 mA mB v MV 01 2 mA mB v2 1 2MV2 E0 即2v 3V 0v2 1 5V2 135 解得v 9m s V 6m s WA对B 1 2mBv2 40 5J 2 B离开小车后 对小车和A及弹簧系统由动量守恒定律和机械能守恒定律得 向右为正 mAv1 MV1 91 2mAv12 1 2MV12 E0 40 5 即v1 3V1 9v12 3V12 189 代入消元得2V12 9V1 18 0 解得v1 13 5m s V1 1 5m s或v1 9m s V1 6m s 答 B与A分离时A对B做了多少功40 5J 2 弹簧将伸长时小车和A的速度分别为9m s 6m s 将压缩时为13 5m s 1 5m s 例10 如图所示 平板小车C静止在光滑的水平面上 现在A B两个小物体 可视为质点 分别从小车C的两端同时水平地滑上小车 初速vA 2v0 0 6m s vB v0 0 3m s A B与C间的动摩擦因数都是 0 1 A B C的质量都相同 最后A B恰好相遇而未碰撞 且A B C以共同速度运动 g 10m s2 求 1 A B C共同运动的速度 2 经过多少时间A和B相对静止 3 B物体相对于地向左运动的最大位移 4 小车长度 解 1 对三者整体 由动量守恒定律 向右为正 2mv0 mv0 3mV V v0 3 0 1m s 2 AB运动时 C受力为0 静止 经时间t1 当B的速度减为0时 A的速度减为v0 对A由动量定理得 mgt1 mv0t1 v0 g 此后A做匀减速运动 BC保持相对静止匀加速运动 经过时间t2后有共同速度V 对A由动量定理得 mgt2 mv0 mVt2 2v0 3 g t t1 t2 5v0 3 g 0 5s 3 sB v0t1 2 v02 2 g 0 045m 4 sA1 3v0t1 2 3v02 2 g 0 135m 由能量守恒 mg s 1 2 mv02 1 2 3mV2 1 3 mv02 s 0 03m L sB sA1 s 0 21m 20分 对于两物体碰撞前后速度在同一直线上 且无机械能损失的碰撞过程 可以简化为如下模型 A B两物体位于光滑水平面上 仅限于沿同一直线运动 当它们之间的距离大于等于某一定值d时 相互作用力为零 当它们之间的距离小于d时 存在大小恒为F的斥力 设A物休质量m1 1 0kg 开始时静止在直线上某点 B物体质量m2 3 0kg 以速度v0从远处沿该直线向A运动 如图所示 若d 0 10m F 0 60N v0 0 20m s 求 1 相互作用过程中A B加速度的大小 2 从开始相互作用到A B间的距离最小时 系统 物体组 动能的减少量 3 A B间的最小距离 04年北京24 解 1 2 两者速度相同时 距离最近 由动量守恒 3 根据匀变速直线运动规律 v1 a1tv2 v0 a2t 当v1 v2时 解得A B两者距离最近时所用时间 t 0 25s s1 a1t2 s2 v0t a2t2 s s1 d s2 将t 0 25s代入 解得A B间的最小距离 smin 0 075m 又解 两者距离靠近时 减少的动能等于克服F做的功 W FS1 Ek S1 Ek F 0 015 0 6 0 025m 所以A B间的最小距离 smin d S1 0 075m 题目 04年春季34 34 22分 如图 abc是光滑的轨道 其中ab是水平的 bc为与ab相切的位于竖直平面内的半圆 半径R 0 3m 质量m 0 20kg的小球A静止在轨道上 另一质量M 0 60kg 速度v0 5 5m s的小球B与小球A正碰 已知相碰后小球A经过半圆的最高点c落到轨道上距b点为处 重力加速度g 10m s2 求 1 碰撞结束时 小球A和B的速度的大小 2 试论证小球B是否能沿着半圆轨道到达c点 解 1 以v1表示小球A碰后的速度 v2表示小球B碰后的速度 v1 表示小球A在半圆最高点的速度 t表示小球A从离开半圆最高点到落在轨道上经过的时间 则有 由以上四式求得 代入数值得v1 6m sv2 3 5m s 2 假定B球刚能沿着半圆的轨道上升到c点 则在c点时 轨道对它的作用力等于零 以vc表示它在c点的速度 vb表示它在b点相应的速度 由牛顿定律和机械能守恒定律 有 解得 代入数值得vb 3 9m s 由v2 3 5m s v2 vb所以小球B不能达到半圆轨道的最高点 题目 空间探测器从行星旁绕过时 由于行星的引力作用 可以使探测器的运动速率增大 这种现象被称之为 弹弓效应 在航天技术中 弹弓效应 是用来增大人造小天体运动速率的一种有效方法 1 如图所示的是 弹弓效应 示意图 质量为m的空间探测器以相对于太阳的速度v0飞向质量为M的行星 此时行星相对于太阳的速度为u0 绕过行星后探测器相对于太阳的速度为v 此时行星相对于太阳的速度为u 由于m M v0 v u0 u的方向均可视为相互平行 试写出探测器与行星构成的系统在上述过程中 动量守恒 及 始末状态总动能相等 的方程 并在m M的条件下 用v0和u0来表示v 弹弓效应 2 若上述行星是质量为M 5 67 1026kg的土星 其相对于太阳的轨道速率u0 9 6km s 而空间探测器的质量m 150kg 相对于太阳迎向土星的速率v0 10 4km s 则由于 弹弓效应 该探测器绕过土星后相对于太阳的速率将增为多大 3 若探测器飞向行星时其速度v0与行星的速度u0同方向 则是否仍能产生使探测器速率增大的 弹弓效应 简要说明理由 提示 属于完全弹性碰撞模型 用弹性碰撞公式解 mv0 Mu0 mv MV 1 2mv02 1 2Mu02 1 2mv2 1 2MV2 答案 1 v v0 2u0 2 v 29 6km s 3 不能 如图示 A B两物块及平板小车C的质量比为mA mB mC 1 2 3 A B间夹有少量炸药 如果A B两物体原来静止在平板车上 且A B与平板车表面之间的动摩擦因数相同 平板车置于光滑的水平面上 炸药爆炸后 A B分开 到两物体A和B分别与小车相对静止时 所用时间之比为多少 设小车足够长 解 设三物体的质量分别为m 2m 3m 炸药爆炸时 动量守恒 设B的速度为v0 则A的速度为2v0 由受力分析得 A B分别受到摩擦力 mg和2 mg向左右做匀减速运动 加速度分别为 g g C受到向右的摩擦力 mg 做匀加速运动 加速度为 g 3 例11 经时间tB B首先相对于C静止 达到速度V1 向右 由动量定理 对B 2 mgtB 2m V1 v0 对C mgtB 3mV1 解得V1 v0 4tB 3v0 4 g 此时A的速度减小为vA1 2v0 gtB 5v0 4 这时起系统合外力为0 总动量恰好为0 最后三物体相对静止时速度为V2 0 对A 始终受到不变的摩擦力 mg作用直到停止 运动的时间为tA由动量定理 mgtA 0 2mv0 tA 2v0 g tA tB 8 3 如图所示 n个相同的木块 可视为质点 每块的质量都是m 从右向左沿同一直线排列在水平桌面上 相邻木块间的距离均为l 第n个木块到桌边的距离也为l 木块与桌面间的动摩擦因数为 开始时 第1个木块以初速度v0向左滑行 其余所有木块都静止 在每次碰撞后 发生碰撞的木块都粘合在一起运动 最后第n个木块刚好滑到桌边而没有掉下 1 求在整个过程中因碰撞而损失的总动能 2 求第i次 i n 1 碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比 3 若n 4 l 0 10m v0 3m s g 10m s2 求 的数值 05年苏锡常镇一模18 解 1 摩擦力做功Wf mgl 1 2 3 n 由能量守恒 整个过程中由于碰撞而损失的机械能为 E碰 1 2mv02 1 2 n n 1 mgl 2 设第i次碰前的速度为vi 碰后的速度为vi 则 i 1 mvi imvivi ivi i 1 第i次 i n 1 碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比为 3 初动能Ek0 1 2mv02 第1次碰前Ek1 Ek0 mgl 第1次碰后Ek1 Ek1 Ek1 Ek1 1 2Ek1 1 2Ek0 mgl 2 第2次碰前Ek2 Ek1 2mgl 1 2Ek0 5mgl 2 第2次碰后Ek2 Ek2 Ek2 Ek2 1 3Ek2 1 3Ek0 5mgl 3 第3次碰前Ek3 Ek2 3mgl 1 3Ek0 14mgl 3 第3次碰后E