学案1 函数及其表示.ppt

学案1函数及其表示 1 在高考试题中三种题型都可能出现 以选择 填空为主 属于低档题目 在解答题中偶尔有对函数建模能力的考查 2 对函数的概念 函数的记号 分段函数的求值以及求函数解析式等仍会重点考查 也有可能把定义一种新运算作为考查的目的 3 近几年对函数各种表示法的考查都涉及过 估计仍会保持这种考查方式 熟练应用三种表示方法解决函数的一些实际问题是高考的重中之重 1 函数的基本概念 1 函数定义设集合A是一个非空的 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个数x 在集合B中都有的数f x 和它对应 那么就称f A B为从集合A到集合B的一个函数 记作 数集 唯一确定 y f x x A 2 函数的定义域 值域在函数y f x x A中 x叫做自变量 x的取值范围A叫做函数的 与x的值相对应的y值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的 显然 值域是集合B的子集 3 函数的三要素 和 4 相等函数 如果两个函数的相同 并且完全一致 则这两个函数相等 这是判断两函数相等的依据 2 函数的表示法表示函数的常用方法有 和 定义域 值域 定义域 值域 对应法则 定义域 对应关系 解析法 图象法 列表法 3 映射的概念设A B是两个非空的集合 如果按照某一个确定的对应关系f 使对于集合A中的任意一个元素x 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 则称对应f A B是集合A到集合B的一个 4 由映射的定义可以看出 映射是概念的推广 函数是一种特殊的映射 要注意构成函数的两个集合A B必须是 非空数集 映射 函数 考点1函数的概念 下列四组函数中 f x 与g x 是否为同一函数 为什么 1 f x lgx g x lgx2 2 f x x g x 3 f x g x logaax 4 f x lgx 2 g x lg 分析 判断两个函数是否为同一函数 关键是判断它们的对应法则 定义域和值域是否分别相同 如果有一个不同 它们便不是同一函数 解析 1 f x 的定义域为 0 g x 的定义域为 0 0 定义域不同 故f x 与g x 不是同一函数 2 函数f x 的值域为 g x 的值域为 0 值域不同 故f x 与g x 不是同一函数 3 因为f x x x 0 g x x x R 定义域不同 故f x 与g x 不是同一函数 4 因为f x lgx 2 x 0 g x lg lgx 2 x 0 所以f x 与g x 的对应法则 定义域和值域都分别相同 故它们是同一函数 评析 1 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时 这两个函数才是同一函数 换言之就是 定义域不同 两个函数也就不同 对应法则不同 两个函数也是不同的 即使定义域和值域都分别相同的两个函数 它们也不一定是同一函数 因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则 2 函数的对应法则可以化简 例如题型一 3 4 中的函数 再比如函数f x x 和g x 从表面上看它们的对应法则不同 但实质上是相同的 3 当一个函数的对应法则和定义域给定后 它的值域便随之确定 所以 函数的三要素可简化为定义域 对应法则两要素 判断下列各组函数是否为同一函数 1 f x x2 2x 1 g t t2 2t 1 2 f x g x x 1 3 解析 1 两函数的定义域 值域 对应法则均相同 所以它们是同一函数 2 y x 1 但x 1 而y x 1中x R 所以它们不是同一函数 3 函数f x 的定义域为 x x 0 而函数g x 的定义域为 x x 1或x 0 它们的定义域不同 所以不是同一函数 考点2求函数解析式 根据下列条件分别求出函数f x 的解析式 1 2 f x 2 x2 3x 1 3 f x 2 3x 4 已知二次函数f x f 0 0且f x 1 f x x 1 求f x 分析 1 可用配凑法 2 可将x 2看作一个整体 根据函数的定义 寻找x2 3x 1与x 2的对应关系 3 因考虑到x与的倒数关系 可通过解方程组来求解析式 4 可用待定系数法求解析式 但此题也可采用多种方法 解析 1 因又 2或 2 则f x x2 2 x 2 2 2 令x 2 t 则x t 2 代入已知得f t t 2 2 3 t 2 1 t2 7t 11 所以f x x2 7x 11 x R 3 由已知f x 2f 3x 以代替 中的x 得f 2f x 由 解得f x x x 0 4 设f x ax2 bx c a 0 由f 0 0知c 0 f x ax2 bx 又由f x 1 f x x 1 得a x 1 2 b x 1 ax2 bx x 1 即ax2 2a b x a b ax2 b 1 x 1 解得a b f x x2 x 评析 1 求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式 2 换元法求解析式时 要注意换元变量范围应保持一致 例如 已知f cosx cosx 求f x 可求得f x x 但此处应有 x 1 3 求解析式的几种常见方法 代入法 换元法 待定系数法 方程组法 根据下列条件分别求出函数f x 的解析式 1 f 1 x 2 2 f x 为二次函数且f 0 3 f x 2 f x 4x 2 1 令t 1 t 1 x t 1 2 则f t t 1 2 2 t 1 t2 1 即f x x2 1 x 1 2 设f x ax2 bx c a 0 f x 2 a x 2 2 b x 2 c 则f x 2 f x 4ax 4a 2b 4x 2 4a 4a 14a 2b 2 b 1 又f 0 3 c 3 f x x2 x 3 解析 考点3分段函数 分析 先求出f 0 再把f 0 的值作为自变量求出f f 0 2x 1 x 1x2 ax x 1 若f f 0 4a 则实数a等于 A B C 2D 9 已知函数f x 评析 分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的 处理分段函数的问题时 首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段 从而选相应的关系式 对于分段函数 注意处理好各段的端点 已知函数y 使函数值为5的x的值是 A 2B 2或 C 2或 2D 2或 2或 解析 A 由题意有x2 1 5 得x 2 又x 0 所以x 2 或 2x 5 得x 又x 0 舍去 故应选A 2010年高考课标全国卷 已知函数f x 若a b c互不相等 且f a f b f c 则abc的取值范围是 A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 C a b c互不相等 不妨设a b c f a f b f c 由图象可知0 a 1 1 b 10 10 c 12 f a f b lga lgb lga lgb 即lga lga ab 1 10 abc c 12 故应选C 1 判断对应是否为映射 即看A中元素是否满足 每元有象 和 且象唯一 但要注意 1 A中不同元素可有相同的象 即允许多对一 但不允许一对多 2 B中元素可无原象 即B中元素可有剩余 2 分段函数的定义域是各段区间的并集 各个段上的定义域交集为空集 即各个段的端点处不能重复 3 函数的定义中最重要的是定义域和对应法则 值域是由定义域和对应法则确定的 在求f f x 类型的值时应遵循先内后外的原则 4 判断两个函数是否为相同的函数 抓住两点 1 定义域是否相同 2 对应法则即解析式是否相同 注意 解析式可以化简 5 建立简单实际问题的函数式 首先要选定变量 而后寻找等量关系 求得函数解析式 但要注意定义域 正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键 函数的本质是一种特殊对应关系 它的特殊性在于 1 它是非空数集到非空数集的对应 2 定义域中的每个元素只有一个函数值 3 定义域中的每个元素一定有函数值 确定一个函数需要三个要素 定义域 对应法则 值域 对应法则是规定元素对应关系的法则 它不一定能够用解析式表示 如列表法和图象法表示的函数 对于f x 可以理解为根据对应法则f 自变量x对应的函数值 也可以理解为根据对应法则f产生的函数f x 表示函数时 前面一般加 函数 二字 列 表法 图象法和解析法是