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应用根与系数关系莫忘判别式湖北省黄石市下陆中学宋毓彬一元二次方程中根与系数的关系称作韦达定理。韦达定理在解决与一元二次方程有关的实际问题中有着广泛的应用。但在应用韦达定理时，很多同学往往忽视一个重要制约条件，这就是要先保证该一元二次方程有实数根（满足根的判别式），如果一元二次方程没有实数根，则也不存在根与系数的关系。因此，我们在应用韦达定理时要牢记判别式条件。例1已知x、x是方程2x2x+13m=0的两个实数根，且xx+2（x+x）0，那么实数m的取值范围是。解析：方程有两个实数根，则（-2）42（13m）0，m由韦达定理x+x=1，xx=，又xx+2（x+x）0即有+20m 实数m的取值范围是m点拨：应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根。例2若关于x的一元二次方程3x+3（a+b）x+4ab=0的两个实数根x、x满足关系式x（x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），判断（a+b）4是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例。解析：由x（x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），变形得：（x+x）3 xx1=0由韦达定理有x+x=（a+b），xx=ab即有（a+b）4ab1=0（a+b）=4ab+1方程有两个实数根，由根的判别式9（a+b）48ab0，（a+b）ab4ab+1ab，可得4ab3（a+b）=4ab+14。点拨：由根的判别式作中间条件推导出4ab3是本题的解题关键。例3设x、x是方程2x4mx+2m+3m2=0的两个实数根，当m为何值时x+x有最小值？并求出这个最小值。解析：由根的判别式16 m8（2m+3m2）0，m由韦达定理有x+x=2m，xx=设y= x+x=（x+x）2 xx=4 m（2m+3m2） =2 m3m+2=2（m）+y关于m的二次函数对称轴m=，m时，y随m的增大而减小m=时，y有最小值，即x+x有最小值。最小值为：2（）+=点拨：由根的判别式确定m的取值范围，从而正确地确定二次函数区间上的最小值。练习：1若关于x的方程2x2x+3m1=0有两个实数根x、x，且xxx+x4，则实数m的取值范围是（）。Am； B。m； C。m；D。m2ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2x12x+m=0的两根，则m的
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