数学物理方程02_线性偏微分方程的分类【OK】.ppt

1 第2章线性偏微分方程的分类 LinearPartialDifferentialEquations 2 2 1偏微分方程的基本概念 自变量 未知函数 偏微分方程的一般形式 数学物理方程 3 PDE的阶 PDE的解 古典解 广义解 一些概念 是指这样一个函数 它满足方程 并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数 线性PDE 非线性PDE 半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE 数学物理方程 4 线性PDE PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的 例如 常系数线性PDE 不然称为变系数的 齐次线性PDE 不然称为非齐次的 线性PDE的主部 具有最高阶数偏导数组成的部分 主部 数学物理方程 5 PDE中对最高阶导数是线性的 例如 半线性PDE 完全非线性PDE PDE中对最高阶导数不是线性的 拟线性PDE 拟线性PDE中 最高阶导数的系数仅为自变量的函数 例如 数学物理方程 6 举例 未知函数为二元函数 1 2 变换 解为 解为 数学物理方程 7 举例 未知函数为二元函数 4 3 解为 变换 解为 数学物理方程 8 5 不易找出其通解 但还是可以找出一些特解 任意解析函数的实部和虚部均满足方程 也是解 6 特解都不易找到 KDV方程 数学物理方程 举例 未知函数为二元函数 其中 9 7 拟线性PDE 8 拟线性PDE 9 半线性PDE 10 半线性PDE 11 完全非线性PDE 数学物理方程 举例 未知函数为二元函数 10 拉普拉斯 Laplace 方程 热传导方程 波动方程 数学物理方程 举例 未知函数为多元函数 11 2 2二阶线性偏微分方程的分类 两个自变量 齐次 目的 通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部 从而据此分类 非奇异 1 数学物理方程 12 复合求导 数学物理方程 13 系数之间的关系 2 1 3 数学物理方程 14 其他系数之间的关系 3 数学物理方程 15 考虑 如若能找到两个相互独立的解 那么就作变换 从而有 4 数学物理方程 16 假设 是方程 的特解 则关系式 是常微分方程 4 5 的一般积分 反之亦然 引理 由此可知 要求方程 4 的解 只须求出常微分方程 5 的一般积分 数学物理方程 17 定义 称常微分方程 5 为PDE 1 的特征方程 称 5 的积分曲线为PDE 1 的特征曲线 6 数学物理方程 18 记 定义 方程 1 在点M处是 双曲型 椭圆型 抛物型 若在点M处 有 若在点M处 有 若在点M处 有 数学物理方程 19 双曲型PDE 右端为两相异的实函数 它们的一般积分为 由此令 方程 1 可改写为 双曲型方程的第一标准型 双曲型方程的第二标准型 数学物理方程 20 抛物型PDE 由此得到一般积分为 由此令 数学物理方程 21 由于 由此推出 数学物理方程 22 因此 方程 1 可改写为 抛物型方程的标准型 而 数学物理方程 23 椭圆型PDE 右端为两相异的复数 由此推出两族复数积分曲线为 其中 数学物理方程 24 由此令 从而方程 1 可改写为 满足方程 4 椭圆型方程的标准型 数学物理方程 25 例1 抛物型方程 令 数学物理方程 26 例2 双曲型方程 下次课将对这类题目进行详细的讨论 数学物理方程 27 例3 Tricomi方程 椭圆型 双曲型 抛物型 数学物理方程 28 数学物理方程 29 本章综合习题 1 确定下列各方程为双曲线型 抛物型或椭圆型的范围