数学物理方法3.1数学模型的建立.pdf

3 偏微分方程的定解问题偏微分方程的定解问题 3 1 数学模型的建立 数学模型的建立 3 2 分离变量法 分离变量法 3 3 行波法 行波法 3 4 积分变换法 积分变换法 3 5 Green函数函数 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 3 1 数学模型的建立 3 1 数学模型的建立 3 1 1 三类典型的数学物理方程 3 1 2 定解条件和定解问题 3 1 3 解的概念和线性叠加原理 3 1 1 三类典型的数学物理方程 3 1 2 定解条件和定解问题 3 1 3 解的概念和线性叠加原理 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 主要内容 主要内容 第3章三种方程 四种求解方法第4章二个特殊函数 分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法 波动方程 热传导 拉普拉斯方程 贝赛尔函数 勒让德函数 数学物理方程定义 数学物理方程定义 描述某种物理现象的数学微分方程 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 一 基本方程的建立一 基本方程的建立 条件 均匀柔软的细弦 在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动 在外力f x t 的作用下 例例1 弦的振动 弦的振动 研究对象 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移 u x t 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 简化假设 2 振幅极小 张力与水平方向的夹角很小 1 弦是柔软的 弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向 cos1cos 1 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律 sin sin x dx t x TTgdsf x t dxdsu 水平方向 cos cos TT 竖直方向 sintan d sin tan u x t x u xx t x 其中 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 TT 22 22 dd x dxx dx xx u x tu x t Tgf x txx xt ddsx 2 2 d d x dx x u xx tu x tu x t x xxx 22 22 ux tu x t Tgf x t xt 22 2 22 uu afg tx 一维波动方程 2 T a 令 非齐次方程 非齐次方程自由项 22 2 22 0 uu a tx 齐次方程 齐次方程 忽略重力和外力作用 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 从麦克斯韦方程出发 c v 0 D HJ t B E t D B 在自由空间 HB ED 0 0 H E t H E t E H cv 0 0 J 例例2 时变电磁场 时变电磁场 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 0 0 H E t H E t E H 对第一方程两边取旋度 E t H 根据矢量运算 2 HHH 2 H H tt 2 2 2 t H H 由此得 得 222 2 222 xyz 拉普拉斯算子 同理可得 2 2 2 1E E t 电场的三维波动方程 2222 2222 1 HHHH txyz 磁场的三维波动方程 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 例3 热传导例3 热传导 所要研究的物理量 温度 tzyxu 根据热学中的傅里叶实验定律 在dt时间内从dS流入V内部的热量为 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 tSukQ t t S d d 2 1 1 高斯公式 矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分 tVukQ t t V dd 2 1 2 1 dd d u QkS t n tSnukdd tSukd d 热传导现象 当导热介质中各点的温度分布不均匀时 有 热量从高温处流向低温处 热场 M S S V n k为导热系数 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 tVukQ t t V dd 2 1 2 1 1 tzyxu 2 tzyxu VtzyxutzyxucQ V d 122 21 QQ 流入的热量导致V内的温度发生变化 2 1 2 1 dddd 2 t t V t t V tV t u ctVuk t u cuk 22 uk u tc 0 2 u fua t u 22 流入的热量 温度发生变化需要的热量为 Vt t u c V t t dd 2 1 2 1 dd t t V tV t u c 22 au 热传导方程 热场 M S S V n 稳恒温度场 有热源 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 例4 位势方程 Poisson方程或Laplace方程 例4 位势方程 Poisson方程或Laplace方程 根据物理规律建立微分方程 对方程进行化简 2 4u 0 2 u Eu 拉普拉斯方程 无源场 泊松方程 穿过封闭曲面向外的电场强度通量等于所围空间中电 荷量的 穿过封闭曲面向外的电场强度通量等于所围空间中电 荷量的 4 倍 倍 4 S V E dSx y z dxdydz 电势分布 u x y z 确定所要研究的物理量 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 同一类物理现象中 各个具体问题又各有其特殊性 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史 即个性 初始条件 能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件 边界条件 能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件 二 定解条件的推导二 定解条件的推导 其他条件 能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 初始时刻的温度分布 B 热传导方程的初始条件 0 t u M tM C 泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态 与初始状态无关 不含初始条件 A 波动方程的初始条件 0 0 t t ux u x t 1 初始条件 描述系统的初始状态 初始条件 描述系统的初始状态 系统各点的初位移 系统各点的初速度 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 2 给定两端点处所受的垂直于弦线的外力 2 边界条件 描述系统在边界上的状况 边界条件 描述系统在边界上的状况 A 有限弦长的振动 波动 方程的边界条件 1 给定两端点处的位移 01 0 uth t u a th t 01 0 xx utg t u a tg t 3 弹性支承端 在x a端受到弹性系数为k 的弹簧支承 x a x a u Tku x 或 0 x a u u x 0 0 1 i h ti 为固定端点为固定端点 0 0 1 i g ti 为自由端点为自由端点 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 B 热传导方程的边界条件 1 给定温度在边界上的值 suf S 给定区域 v 的边界 2 绝热状态 0 s u n 3 热交换状态 牛顿冷却定律 单位时间内从物体通过边界上单位面积流 到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比 11 d dd d u dQk uuS tkS t n 热交换系数 周围介质的温度 1 k 1 u 1 S S u uu n 1 k k 第一类边界条件 Dirichlet 第二类边界条件 Neumann 第三类边界条件 Robin 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 1 定解问题1 定解问题 三 定解问题的概念三 定解问题的概念 1 初始问题 只有初始条件 没有边界条件的定解问题 2 边值问题 没有初始条件 只有边界条件的定解问题 3 混合问题 既有初始条件 也有边界条件的定解问题 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解 条件结合在一起 就构成了一个定解问题 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 3 线性偏微分方程的分类3 线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系 数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程 2 微分方程一般分类2 微分方程一般分类 1 按自变量的个数 分为二元和多元方程 2 按未知函数及其导数是否线性 分为线性微分方程和 非线性微分方程 3 按方程中未知函数导数的最高阶数 分为一阶 二阶 和高阶微分方程 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 x x u a t u 2 2 2 2 2 22 2 22 uu au xt 2 2 2 uu axu xt 2 22 11 0 uu 判断下列方程的类型思考 二阶线性偏微分方程的一般形式二阶线性偏微分方程的一般形式 2 11 11 11 nn i jnin i ji iji nn uu axxb xx xxx c xxuf xx 其中其中 i jj i aa 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 4 微分方程的解4 微分方程的解 古典解 对于一个m阶偏微分方程 如果将某个具有m阶连 续偏导数的函数u 代入偏微分方程中 能使方程成 为恒等式 则这个函数就是该偏微分方程的解 形式解 具有特殊形式的包含待求常数的解称为形式解 广义解 如果将某个函数u 代入偏微分方程中 能使方程 左右同时乘以某一类特定性质的函数后在积分意义 下恒成立 则这个函数就是该偏微分方程的解 将 这类特定性质的函数称为试验函数 通常是利用分 部积分公式将方程中的偏导数运算转移到试验函数 上 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 解的适定性 解的适定性 解的存在性 定解问题是否有解 解的唯一性 是否只有一解 解的稳定性 定解条件有微小变动时 解是否有相应 的微小变动 线性方程的解具有叠加特性 ii fLu ffi uui fLu 5 叠加原理5 叠加原理 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加 物理上 第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立第三章偏微分方程的定解问题第一节 数学模型的建立 6 求解方法6 求解方法 分离变量法 行波法 积分变换法 格