数学期望在经济决策中的运用.doc

石家庄经济学院本科生设计摘 要在这个充满生存竞争的世界里，商人若进行一次投资，做一个决策他所需要考虑的是是否能获得利润.社会处处是风险，从而要想在竞争中立于不败之地他们需要采取科学的方法对其所面对的风险进行量化评价，从而制定出有效的“决策”而数学期望在解决不确定因素的问题中有着重要的作用。数学期望是反映随机变量总体取值平均水平的一个重要的数字特征，本文通过讨论数学期望在企业获得利益最大化，超市抽奖，投资者进行投资，委托代理问题，减少工作量问题等方面的一些实例。来阐述数学期望在经济决策中的重要作用，并总结出数学期望在经济决策中的一般运用方法，同时还对数学期望在多级决策中的运用作出了讲解,并总结了相应的一般方法。 关键词：数学期望；决策；多级决策ABSTRACT In this competitive world which is full of survive, if an investment or a decision made by a businessmen, he needs to consider whether he can make a profit. The society which is a risk to the competition, they need to take the scientific method for the quantitative evaluation of the risks they would faced, and develop effective decision. And mathematical expectation in solving the problem of uncertainty factors play an important role. Mathematical expectation is a reflection of the general average values of random variable， and it is also an important characteristic of the digital, this paper will discuss mathematical expectation in the enterprises to gain maximum benefit, supermarket, investors invest, draw the principal-agent problem, reduce workload some aspects of the problem. for example, mathematical expectation in the economic decision-making, and summarizes the important role in economic decision by making a mathematical expectation ,which is in general use. Also the application in multi-stage decision made some interpretation and summarizes the general method of corresponding. .Keywords:Mathematical expectation;decision-making; Multi-stage decision-makingI目 录1 数学期望的定义11.1 离散型随机变量的期望11.2 连续型随机变量的数学期望12 经济决策分析12.1 经济决策的定义12.2 决策问题的三要素13 数学期望在经济决策中如何运用23.1 利润最大问题23.2 委托代理问题33.3 超市抽奖问题43.4 资金投资问题53.5 决定生产批量问题63.6 减少工作量问题74 方法小结84.1 期望值决策法选择方案的基本步骤84.2 经济决策的基本公理85 数学期望在多级决策问题中的运用86 多级决策问题的一般方法11结论11致 谢12参考文献13II数学期望在经济决策中的运用随着经济社会的不断发展，竞争越来越激烈，企业所面临的风险是越来越大，为了在这残酷的竞争中能立于不败之地，必须的降低风险，降低成本，减少损失，获取较高收益。从而决策者们必须采用科学的方法来做出正确的经济决策。然而现实的经济社会是多面性和复杂性的有太多的不确定性因素，比如外界因素，管理者们的主观因素等。而数学期望正好能综合这些因素从中筛选出最优的方案。1 数学期望的定义1.1 离散型随机变量的期望设离散型随机变量X的分布律为，若级数绝对收敛，则称的值为的数学期望（或均值），记作,即。1.2 连续型随机变量的数学期望设为连续型随机变量，其概率密度为，若绝对收敛，称为的数学期望（或均值），记作，即2 经济决策分析2.1 经济决策的定义 经济决策是指经济管理部门或企业为了达到某种特定的目标，在经济调查、经济预测和经济发展、管理活动等规律性认识的基础上，运用科学的方法，在几种可供选择的行动方案中，选择一个令人满意的方案并予以实施。2.2 决策问题的三要素（1） 状态集：把决策的对象称为一个系统，系统所处的不同情况称为状态。将其数量化后得到状态变量。所有状态构成的集合称为状态集，记为:，其中是第种状态的状态变量；表示各种状态出现的概率，其中表示第i种状态发生的概率。（2） 决策集：为达到某种目的而选择的行为方案称为方案；将其数量化后称为决策变量，记为a决策变量的集合称为决策集，记为。（3） 效益函数：定义在上的一个二元函数,他表示在状态出现时，决策者采取方案得到的收益或损益值，即称为效益。对所有的状态和所有可能的方案所对应效益的全体构成的集合称为效益函数，记为。 对于实际问题，如果决策的三要素确定了，则相应的决策模型也就确定了，在这里记为。3 数学期望在经济决策中如何运用事物的进展情况和信息往往受随机因素的影响,使得决策带有风险性。因此,在实际问题中为了最大限度地降低风险,人们常把数学期望作为决策参考的重要依据。离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平,正是因为它具备这样的特点,使得数学期望能够从最大程度上刻画、反映出各种随机因素的影响, 从而成为风险决策的重要数字特征。下面举几个例子来说明；3.1 利润最大问题下面这个例子来自于重庆两路的百乐自助烤吧老板经过多年的经验得出的相关数据：例：百乐自助烧烤吧每天腌制牛肉的多少问题，由于牛肉不易于保存，今晚腌制的明天必须卖完，如有剩余就会变质不能食用。每斤牛肉进价17元，能卖到60元。由以前的经验可知每天卖5斤的概率是0.2,卖10斤的概率0.4,卖15斤的概率0.3,卖20斤的概率0.1。问百乐烤吧每天腌制多少斤牛肉能获得最大利润。解：一、由题意我们获得了四个备选方案：1、每天腌制5斤；2、每天腌制10斤；3、每天腌制15斤；4、每天腌制20斤；二、由于天气、工作日、周末、人们消费意识等因素使得每天卖出的牛肉是不定的，由以往经验可以获知每天卖5斤、10斤、15斤、20斤的概率分别为：0.2、0.4、0.3、0.1；三、分别求出四个方案的预期收益值自然状态5斤10斤15斤20斤方 案概率0.20.40.30.1腌制5斤215元215元215元215元腌制10斤130元430元430元430元腌制15斤45元345元645元645元腌制20斤-40元260元560元860元四、由以上收益表可以求得个方案的期望收益值： 五、从期望值计算结果可以看出每天腌制15斤时收益最大，即为最优行动方案。3.2 委托代理问题 在经济生活中委托一代理是非常普遍的例如老板和员工、股东和经理等等，老板希望在给员工支付工资的同时确保员工能恪尽职守地工作，而员工则希望在拿到薪酬的同时尽量少工作，那么，应采取怎样的策略来确保两方面的平衡呢？我们可以用双方利润的数学期望来分析这一问题首先,如果不考虑外界因素的影响，老板的利润会随着员工的努力程度而增加；另一方面 如果员工的努力程度不变，老板的利润也会受到外界因素的影响。简单综合为运气好和运气差。假设这两方面的影响可概括如下。老板的利润（单位万元)运气差运气好员工努力工作2040员工不努力工作1020 由上表数据知当利润为最小(1 0万)和最大(40万)时老板可确定员工是否努力工作 。在其他情况下无法确定。因此，员工可能会偷懒。另一方面，员工工作只是为了工资收入，努力工作会增加他的劳动成本，简单起见，记其努力工作的劳动成本为1 0万元而不努力工作的劳动成本为0万元。 因此对于老板来说 最有利的结果当然是员工努力工作这是因为老板的期望利润为：当员工努力工作时万，当员工不努力工作时万 .那么如何能保证员工能够努力工作呢?我们可以考虑不同的报酬形式: 固定工资12万元,对员工的努力作出奖励,假设老板可制定报酬计划如下：若利润不超过20万,工资为0，若利润达到40万，工资为24万,分享利润。假设老板可制定另一报酬计划如下：当利润少于18万时，工资为0。当利润高于18万时，超过部分作为工资奖励给员工：在这三种报酬形势下，我们分别考虑老板和员工双方的利益。第一种情况员工无论努力与否，工资均为12万但若努力工作会增加劳动成本10万元，因此员工一定选择不努力工作。对于老板而言这种情况下得到的净利润只能为万，而员工努力工作时老板可获得的利润高达万。因此固定工资必然会导致效率低下同时，期望利润也很低。第二种情况：对员工而言，当努力工作时期望工资收入为12万减去劳动成本1万净收入为2万。而如果不努力工作工资只能为0。所以员工一定会选择努力工作。在这种情况下，老板的期望利润为万，较之第一种情况大为增加。第三种情况对员工而言，当努力工作时期望工资收入为：万，减去劳动成本10万净收入为2万。而如果不努力工作期望工资收入为万，没有劳动成本净收入为1万。所以员工也会选择努力工作。在这种情况下老板的期望利润总可以确保为18万，较之第一种情况也是非常有利的。由此可知在这种委托代理关系中引进一定的激励机制，委托人把自己的利益有效地融入代理人的利益之中，有利于解决双方的矛盾，且可以史自己的利益最大化。3.3 超市抽奖问题 例、某百货超市现有一批快到期的日用产品急需处理，超市老板设计了免费抽奖活动来处理掉了这些商品。纸箱中装有大小相同的20个球，10个10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球的分数之和即为中奖分数，获奖如下： 一等奖 100分，冰柜一个，价值2500元； 二等奖 50分， 电视机一个，价值1000元； 三等奖 95分， 洗发精8瓶，价值178元； 四等奖 55分， 洗发精4瓶，价值88元； 五等奖 60分， 洗发精2瓶，价值44元； 六等奖 65分， 牙膏一盒， 价值8元； 七等奖 70分， 洗衣粉一袋，价值5元； 八等奖 85分， 香皂一块， 价值3元； 就等奖 90分， 牙刷一把， 价值2元； 十等奖 75分与80分为优惠奖，仅収成本价22元，将获得洗发精一瓶； 解：表面上看整个活动对顾客都是有利的，一等奖到就等奖都是白得的，只有十等奖才收取一点成本价。但经过分析可以知道商家真的就亏损了吗？顾客就真能从中获得抽取大奖的机会吗？用以上方法分析一下并求得其期望值真相就可大白了。摸出10个球的分值只有11种情况，用X表示摸奖者获得的奖励金额数，一等奖等分100分，其对应事件，取值为2500、1000、176、88、44、8、5、3、2、-22，概率可以类似求出，其概率分布为：X250010001768844P0.000 0050.000 0050.000 5410.000 5410.010 96X8532P0.077 9410.238 6930.077 9410.010 960.582 411表明商家在平均每一次的抽奖中将获得10.098元钱，而平均每个抽奖者将花10.098元钱来享受这种免费的抽奖。从而可以看出顾客真的就站到大便宜了吗？相反，商家采用这种方法不仅把快要到期的商品处理出去了，而且还为超市大量集聚了人气，不愧为一举多得。此百货超市老板运用数学期望估计出了他不会亏损而做了这个免费抽奖活动，最后一举多得，从中也看出了数学期望这一科学的方法在经济决策中的重要性。3.4 资金投资问题 某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存人银行获取利息买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好(即经济衰退)若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元如果是存人银行，假设年利率为8 ，即可得利息8000元又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30 ，50 和20 试问该投资者应选择哪一种投资方案?分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断解：由题设可知，一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示购买股票状态经济形势好经济形势中等经济形势不好收益400001000020000概率0.30.50.2存入银行状态经济形势好经济形势中等经济形势不好收益800080008000概率030.50.2从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的，但如果经济形势不好，则采取存人银行的方案比较好下面通过计算加以分析如果购买股票，其收益的期望值=4000003+1000005十(-20000)02=13000(元)；如果存人银行，其收益的期望值=800003+800005+800002=8000(元)因此，购买股票的收益比存入银行的收益大，按期望收益最大原则，应选择购买股票该题是按风险决策中的期望收益最大准则选择方案，这种作法有风险存在3.5 决定生产批量问题 决定生产批量问题是风险型经济决策问题。这种经济决策问题是物流企业进行生产决策经常遇到的。选择何种方案，多少产量直接关系到企业成本的控制，收益的高低，这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题，同时也困扰很多管理者。简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原则进行方案选择：即进行备选方案的收益(或损失)比较，选择收益(或损失)最大(最小)的方案。实例如例1：某厂决定今后5年内生产某电子产品的生产批量，以便及早做好生产前的各项准备工作。根据以往销售统计资料及市场调查和预测得知：未来市场出现销路好、销路一般、销路差三种状态的概率分别为03、05和02，若按大、中、小三种不同生产批量投产，今后5年不同销售状态下的益损值如下表所示：试作出分析，以确定最佳生产批量。生产方案决策问题损益表行动方案销路好销路一般销路差0.30.50.2大批量生产益损2014-2中批量生产益损121712小批量生产益损81010解：比较期望益损法是常用的决策方法之一，下面算出每一方案的期望益损：比和均大，所以认为选择中批量生产方案为优。3.6 减少工作量问题某商场对员工( N人)进行体检其中普查某种疾病需要逐个验血，一般来说，若血样呈阳性，则有此种疾病，呈阴性则无此疾病逐个验血需要N次，若N很大验血的工作量也很大，为了能减少验血的工作量，有人提出想法：把k(k 1)个人的血样混合后再检验，若呈阴性则k个人都无此疾病，这时k个人只需作一次检验，若呈阳性，则对k个人再分别检验，这时为弄清谁有此种疾病共需检验k+1次；若该商场员工中患此疾病的概率为P且各人得此病相互独立那么此种方法能否减少验血次数？若能减少那么能减少多少工作量？解 个人的血呈阴性的概率为，因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为，k个人的混合血呈阳性反应的概率为设以k个人为一组时，组内每人化验的次数为，则是一个随机变量，其分布率为X1-的数学期望为N个人平均化验的次数为由此可知，只要选择k使则N个人平均需化验的次数小于N。当p固定时，我们选取k使得小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法。例如，当时，取到最小值。此时得到最好的分组方法。若N=1000，此时以k=4分组，平均只需化验这样平均可以40%的工作量。4 方法小结4.1 期望值决策法选择方案的基本步骤从以上百乐自助烧烤吧每天腌制牛肉的多少问题等例子中可以总结出利用期望值决策法选择行动的一般步骤：1、在确定决策目标的基础上，设计各种可行的备选方案；2、分析判断各种可行的备选方案实施后可能遇到的决策者无法控制的自然状态，并预测各种自然状态可能出现的概率；3、估计、预测各种方案在各种不同的自然状态下可能取得的收益值（或损失值）；4、根据以上数据列出收益或损失矩阵表；5、以收益或损失矩阵表为依据，分别计算各方案的期望收益值或期望损失值，并根据收益期望值或期望损失值选择最优方案；4.2 经济决策的基本公理1、方案之间的优劣是可以比较的，且比较结果不能相互矛盾；2、各被选方案应有独立存在的价值。若其中有一方案在各方面均显著劣于另一方案，则这一方案就可以被第二方案所替代，即其没有存在的价值，应从被选方案中删除；3、分析方案时只有不同的结果才有比较。若多个方案某一方面均是相同的，那么在进行比较时这一方面则可以不用比较；4、主观概率与方案结果之间不存在联系。决策者估计某种状态出现的主观概率不受方案结果的影响，两者是相互独立的，对自然状态出现的可能性大小的主观概率估计只与决策者主观上对自然状态发展趋势估计的乐观程度有关；5、效用的等同性及替换性；然而由于心理、环境等多种因素的影响使人们常常处于不理智的状态，因而很多时候不能保证完全遵循以上公理。5 数学期望在多级决策问题中的运用有些决策问题，当进行决策后又会产生一些新情况，并需要进行新的决策，接着又有一些新情况，又需要进行新的决策。这样决策、情况、决策、情况构成一个序列，这就成了序列决策。这种情况我们采用决策点，事件点及结果构成的树形图来描绘，用最大收益期望值来作为决策准则。下面以一个例子来加以说明： 例：设有某石油钻探队，在一片估计能出油的荒田钻探，可以先做地震试验，然后决定钻井与否，或不做地震试验，只凭经验决定钻井与否。做地震试验的费用每次3000元，钻井费用为10000元。若钻井后出油，这井队可收入40000元，若不出油就没有任何收入。各种情况下估计出油的概率一估计出：（1）试验的到好的结果为0.6，不好的结果为0.4.（2）试验好的结果钻井出油概率为0.85，不出油的概率为0.15.（3）试验结果不好的结果钻井出油的概率为0.1，不出油的概率为0.9.（4）不试验直接钻井出油的概率为0.55，不出油的概率为0.45。解：以上问题属于决策、情况、决策这种决策序列问题。首先建立结构树形图：收入1(2)2试验好钻井(1)出油-10000不出油3(3)钻井不钻井不好0.15出油-100000.850.40.10.9-30000.6不出油00040000400004(4)不出油不钻井钻井出油不试验-100000.550.450040000表示决策点；（）表示事件点； 表示收益点；负值表示支付。 多级随机决策问题采用逆决策顺序方法求解；1. 计算事件点（2）（3）（4）的收入期望值将收入期望值标在相应的个点处，可得简化后的决策图：期望收益12试验好钻井(1)-100003钻井不好-100000.4-30000.6003400040004钻井不试验-10000022000表示决策点；（）表示事件点； 表示收益点；负值表示支付。2. 最大收益期望值决策在决策点 2有：对应的策略为应选策略，即钻井；在决策点 3有：对应的策略为应选策略，即不钻井；在决策点4有：对应的策略为应选策略，即钻井；3.在决策图形中保留各决策点的应选方案，把淘汰策略去掉，得到下图形：表示决策点；（）表示事件点； 表示收益点；负值表示支付。期望收益1试验好(1)0.4-30000.601200024000事件点（1）的期望值为从而可以看到决策点1 有两个方案了；做地震试验和不做地震试验，各自的收益期为和12000. 有最大期望值所对应的决策为应选决策，即不做地震试验。这个问题最终决策为：不选择做地震试验，直接判断钻井，其收入期望值为12000元。6 多级决策问题的一般方法（1）根据题意构建结构树型图：在图上表示出决策点、事件点、每个方案在相应自然状态下的效益值。（2）从左向右计算各方案的期望效益值，并在图形上得以表现。（3）对期望值进行比较，选出最大效益期望值，并在对应的决策点上标示出来，同时把其他被淘汰的对应方案删除。（4）重复（2）（3）步骤直到选出最终最大期望效益值，最后所保留的树形图即为最优方案。结论 数学期望是反映随机变量总体取值平均水平的一个重要的数字特征,而在现实社会中由于不确定因素太多，加上商业竞争太严重，因此人们在做经济决策时就会相当谨慎，常常会在多个决策中找出最好的一个方案。数学期望则成为了决策者们首选的一个帮助决策的科学方法。本文通过举例来说明了数学期望在经济决策中的重要作用，他作为一个数学工具被我们的管理者们广泛的运用着。