数学实验之pi的近似计算ppt课件.ppt

数学实验之八 的近似计算 MathematicalExperiments 在本次试验中 我们将追溯关于圆周率的计算历程 通过对割圆术 韦达公式 级数加速法 迭代法等计算方法的介绍和计算体验 感受数学思想和数学方法的发展过程 提高对极限和级数收敛性及收敛速度的综合认识 同时使我们看到数学家对科学真理的永无止境的追求 实验目的 主页 上一页 下一页 主要内容 四 利用级数计算 二 韦达 VieTa 公式 三 数值积分方法 一 割圆术 六 拉马努金 Ramanujan 公式 五 蒙特卡罗 MonteCarlo 法 08 02 2020 实验指导 是使人们最经常使用的数学常数 人们对 的研究已经持续了2500多年 在今天 这种探索还在继续 08 02 2020 世界上数学家们一致公认 历史上一个国家计算圆周率的准确度 可以作为衡量这个国家当时数学水平的一个标志 实验指导 08 02 2020 值 算法美的追求 作为圆周率的符号 是由著名数学家欧勒于公元1737年首先使用的 古代的希伯来人 在描述所罗门庙宇中的 熔池 时曾经这样写道 池为圆形 对径为十腕尺 池高为五腕尺 其周长为三十腕尺 可见 古希伯来人认为圆周率等于3 不过 那时的建筑师们 似乎没有人不明白 圆周长与直径的比要比3大一些 公元前3世纪古希腊大数学家阿基米德求出了223 71 22 7 08 02 2020 割圆术 中学问多 我国2000多年前的 周髀算经 称 周三径一 这是 的第一个近似值 叫做 古率 据说 汉代大科学家 文学家张衡 有 圆周率一十之面 的推算 清代李潢考证这句话意思为 sqrt 10 魏晋间刘徽由圆内接正六边形依次倍增到正192边形 计算周长与值径之比 得3 141024 3 142704实际应用时取3 14 或分数值157 50 08 02 2020 割圆术 中学问多 他的割圆术已含有无限逼近的极限思想 这是比求 值更可宝贵的 从方法上说 他得到了重要的 刘徽不等式 设圆内接正n边形的边长为an 圆内接正n边形的面积为Sn 根据勾股定理 边长有如下递推公式 08 02 2020 割之弥细 失之弥少 割之又割 则与圆合体而无所失矣 面积与边长有如下关系 圆面积S与多边形的面积Sn之间有如下关系 08 02 2020 刘徽不等式 借助于计算机来完成刘徽的工作 a 1 sqrt 3 b 1 3 sqrt 3 2 fori 2 6a i sqrt 2 sqrt 4 a i 1 2 b i 3 2 i 2 a i c i 2 b i b i 1 endn 3 6 12 24 48 96 size b result n a b 08 02 2020 刘徽不等式 result ans 3 00001 73212 598106 00001 00003 00003 401912 00000 51763 10583 211724 00000 26113 13263 159448 00000 13083 13943 146196 00000 06543 14103 1427 08 02 2020 割圆术的意义 刘徽创立的割圆术 其意义不仅在于计算出了Pi的近似值 而且还在于提供了一种研究数学的方法 这种方法相当于今天的 求积分 后者经16世纪英国的牛顿和德国的莱布尼茨作系统总结而得名 鉴于刘徽的巨大贡献 所以不少书上把他称做 中国数学史上的牛顿 并把他所创造的割圆术称为 徽术 08 02 2020 韦达 VieTa 公式 1593年 韦达首次给出了计算Pi的精确表达式 韦达公式看起来有些神秘 其实它的导出过程所用的都是朴实简洁的数学方法 08 02 2020 韦达 VieTa 公式 1 从sint开始 08 02 2020 韦达 VieTa 公式 所以 对任意N 总有 08 02 2020 韦达 VieTa 公式 2 从cos pi 4 开始 08 02 2020 韦达 VieTa 公式 3 使用VieTa公式计算Pi的近似值 思考 如何利用韦达公式构造出一种迭代算法 08 02 2020 数值积分法计算Pi 定积分 计算出这个积分的数值 也就得到了Pi的值 08 02 2020 数值积分法计算Pi 1 梯形公式 08 02 2020 数值积分法计算Pi 2 辛普森 Simpson 公式 08 02 2020 利用级数计算Pi 1 莱布尼茨级数 1674年发现 08 02 2020 利用级数计算Pi 1844年 数学家达什在没有计算机的情况下利用此式算出了Pi的前200位小数 使用误差估计式 计算一下要精确到Pi的200位小数需要取级数的多少项 08 02 2020 利用级数计算Pi 2 欧拉的两个级数 1748年发现 这两个级数收敛也非常缓慢 计算时实用价值不大 08 02 2020 利用级数计算Pi 3 基于arctanx的级数对泰勒级数 即为莱布尼茨级数 直接使用时收敛速度极慢 必须考虑加速算法 08 02 2020 利用级数计算Pi 观察级数可知 x的值越接近于0 级数收敛越快 由此可以考虑令 08 02 2020 利用级数计算Pi 因此 4 pi 4非常接近0 08 02 2020 利用级数计算Pi 加速效果非常明显 08 02 2020 蒙特卡罗 MonteCarlo 法 单位圆的面积等于Pi 使用蒙特卡罗法 即用随机投点的方法来求出这个面积Pi的近似值 具体方法如下 在平面直角坐标系中 以O 0 0 A 1 0 C 1 1 B 0 1 为四个顶点作一个正方形 其面积S 1 以原点O为圆心的单位圆在这个正方形内的部分是圆心角为直角的扇形 面积为S1 Pi 4 08 02 2020 蒙特卡罗 MonteCarlo 法 在这个正方形内随机地投入n个点 设其中有m个点落在单位扇形内 则 随机投点如何来实现 08 02 2020 蒲丰 Buffon 掷针实验 另一种用蒙特卡罗法来计算Pi的方法是1777年法国数学家蒲丰 Buffon 提出的随机掷针实验 其步骤如下 1 取一张白纸 在上面画出许多间距为d的等距平行线 2 取一根长度为l l d 的均匀直针 随机地向画有平行线的纸上掷去 一共掷n次 观察针和直线相交的次数m 08 02 2020 蒲丰 Buffon 掷针实验 3 由几何概率知道针和直线相交的概率为p 2L d 取m n为p的近似值 则 特别取针的长度L为d 2时 n m 08 02 2020 蒲丰 Buffon 掷针实验 3 由几何概率知道针和直线相交的概率为p 2L d 取m n为p的近似值 则 特别取针的长度L为d 2时 n m 08 02 2020 拉马努金 Ramanujan 公式 目前 计算pi的一个极其有效的公式为 这个级数收敛得非常快 级数每增加一项 可提高大约8位小数的精度 08 02 2020 拉马努金 Ramanujan 公式 1985年 数学家比尔 高斯帕依使用这个公式在计算机上算出了pi的1750万位小数 这个神奇的公式归功于印度年轻的传奇数学家拉马努金 Ramanujan 1887 1929 08 02 2020 拉马努金 Ramanujan 公式 另一个经过改进的计算公式为 级数每增加一项 可提高14位小数的精度 08 02 2020 迭代公式 迭代公式1 1989年 BorWein发现了下列收敛于1 pi的迭代公式 08 02 2020 迭代公式 迭代误差可以由下式估计 迭代4次可精确到693位小数 8次后可以保证精确到小数点178814位 08 02 2020 迭代公式 迭代公式2 1996年 Baiey发现了另一个收敛于1 pi的迭代公式 08 02 2020 迭代公式 迭代误差可以由下式估计 08 02 2020 结语 随着计算机技术的飞速发展计算方法的突破与创新 计算Pi的世界纪录正在迅速地被刷新 目前 Pi的数值已计算到小数点后2061 5843亿位 这一记录是日本东京大学教授金田康正和他的助手于1999年9月创造的 计算用了37h21min 检验用