福建省福鼎市高三数学《古典概型与几何概型》复习课件.ppt

1 具备下列两个特征的试验称为古典概型 1 有限性 即试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 等可能性 即每个基本事件出现的可能性相等 2 对于古典概型 任何事件的概率为 p a 3 几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积 体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概型 4 几何概型的两个特点 一是无限性 即每次试验的基本事件的个数可以是无限的 二是等可能性 即每个基本事件的发生是等可能的 5 几何概型的求概率公式 p a 考点训练 1 考察正方体6个面的中心点 从中任意选3个点连成三角形 再把剩下的3个点也连成三角形 则所得的两个三角形全等的概率等于 a 1b c d 0 解析 记上 下面的中心为a b 左 右面的中心为c d 前 后面的中心为e f 从中任选了3个点连成三角形可分为两类 第一类为选中相对面的中心两点及被这两个面所夹四个面中的任意一面的中心 构成的是等腰直角三角形 此时剩下的3个点也能构成一个与此三角形全等的三角形 第二类所选3个点所在的平面中没有任何两个面是相对的面 即此三个面彼此相邻 此时构成的是正三角形 同时剩下的3个点也构成正三角形 故所求概率为1 答案 a 2 abcd为长方体 ab 2 bc 1 o为ab的中点 在长方形abcd内随机取一点 取到的点到o的距离大于1的概率为 a b 1 c d 1 答案 b 答案 a 4 2009 宁夏银川 如图所示 墙上挂有一边长为a的正方形木板 它的四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心 半径为的圆弧 某人向此板投镖 假设每次都能击中木板 且击中木板上每个点的可能性都一样 则击中阴影部分的概率是 a 1 b c 1 d 与a的取值有关 答案 a 5 2009 上海高考 若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者 则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 结果用最简分数表示 解读高考第二关热点关 题型一概念辨析题例1 2009 深圳 判断下列命题是否正确 1 先后抛掷两枚均匀硬币 有人说一共出现 两枚正面 两枚反面 一枚正面 一枚反面 三种结果 因此出现 一枚正面 一枚反面 的概率是 2 射击运动员向一靶心进行射击 试验的结果为 命中10 命中9环 命中0环 这个试验是古典概型 3 袋中装有大小均匀的四个红球 三个白球 两个黑球 那么每种颜色的球被摸到的可能性相同 4 4个人抽签 甲先抽 乙后抽 那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同 解 所有命题均不正确 1 应为4种结果 还有一种是 一反一正 2 不是古典概型 因为命中10环 命中9环 命中0环不是等可能的 3 摸到红球的概率为 白球的概率为 黑球的概率为 并不相同 4 抽签有先有后 但每人抽到某号签的概率是相同的 其理由是 假设4号签为中奖签 甲先抽 抽到中奖签的概率为 乙接着抽 其抽中4号签的概率为 以此类推 丙 丁抽到4号签的概率都为 点评 弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提 正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面 古典概型要求所有结果出现的可能性都相等 强调所有结果中每一结果出现的概率都相同 变式1 设有关于x的一元二次方程x2 2ax b2 0 1 若a是从0 1 2 3四个数中任取的一个数 b是从0 1 2三个数中任取的一个数 求上述方程有实根的概率 2 若a是从区间 0 3 中任取的一个数 b是从区间 0 2 中任取的一个数 求上述方程有实根的概率 解 设事件a为 方程x2 2ax b2 0有实根 当a 0 b 0时 方程x2 2ax b2 0有实根的充要条件是 2a 2 4b2 0 即a b 1 基本事件共有12个 0 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 其中第一个数表示a的取值 第二个数表示b的取值 事件a包含9个基本事件 所以事件a发生的概率为p a 2 0 a 3 0 b 2 a b 构成的区域如图所示 其中事件a包含的区域如图中阴影部分 故所求的概率为p a 题型二古典概型例2 2010 广州检测 在甲 乙两个盒子中分别装有标号为1 2 3 4的四个球 现从甲 乙两个盒子中各取出1个球 每个球被取出的可能性相等 1 求取出的两个球上标号为相邻整数的概率 2 求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率 解 设从甲 乙两个盒子中各取1个球 其数字分别为x y 用 x y 表示抽取结果 则所有可能有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16种 1 所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有 1 2 2 1 3 共6种 故所求概率为p 2 所取两个球上的数字和能被3整除的结果有 1 2 2 1 2 4 3 3 4 2 共5种 故所求概率为p 点评 1 对一些情景较为简单 基本事件个数不是太大的概率问题 计数时只需要枚举法即可计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 但应特别注意 计算时要严防遗漏 绝不重复 2 取球模型是古典概率计算中的一个典型问题 许多实际问题都可以归结到取球模型上去 特别是产品的抽样检验 解题时要分清 有放回 与 无放回 有序 与 无序 等条件的影响 有放回 取球又可应用独立重复试验模型 进而应用二项分布去解决 而 无放回 取球问题是超几何分布 变式2 2010 临沂期中 一只口袋内装有大小相同的5只球 其中3只白球 2只黑球 从中一次摸出两只球 问 1 共有多少个基本事件 2 摸出的两只球都是白球的概率是多少 解 1 分别记白球为1 2 3号 黑球为4 5号 从中摸出2只球 有如下基本事件 摸到1 2号球用 1 2 表示 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 因此 共有10个基本事件 2 上述10个基本事件发生的可能性相同 且只有3个基本事件是摸到两只白球 记为事件a 即 1 2 1 3 2 3 故p a 题型三几何概型例3 2010 临沂模拟 两人约定在20 00到21 00之间相见 并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去 如果两人出发是各自独立的 在20 00至21 00各时刻相见的可能性是相等的 求两人在约定时间内相见的概率 解 不失一般性 设两人分别于x和y时到达约见地点 要使两人能在约定的时间范围内相见 当且仅当 x y 两人到达约见地点的所有时刻 x y 的可能结果可用图中的单位正方形内 包括边界 的点来表示 两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻 x y 的各种可能结果可用图中的阴影部分 包括边界 的点来表示 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小 也就是所求的概率 即 点评 对于几何概型的应用题 关键是构造出随机事件a对应的几何图形 利用几何图形的度量来求随机事件的概率 根据实际问题的具体情况 合理设置参数 建立适当的坐标系 在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点 便可构造出度量区域 解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件 从而转化成平面区域中的面积型几何概率问题 答案 c 解析 两点设为a b 则0 则 1 0 b 1 两点之间的距离小于 即 a b 画出可行域 为图中阴影部分 面积为 概率为 选c 笑对高考第三关技巧关 1 古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的 只是古典概型要求基本事件的个数是有限多个 而几何概型要求基本事件的个数是无限多个 例1设有一个等边三角形网格 其中各个最小等边三角形的边长都是43cm 现有直径等于2cm的硬币投掷到此网格上 求硬币落下后与格线没有公共点的概率 解 记事件a 硬币落下后与格线没有公共点 硬币与网格无公共点只要硬币中心与格线距离大于半径1 如图硬币中心只要落在 a b c 内即可 2 古典概型所含基本事件总数的计算方法 1 当问题简单 所含元素个数较少时 可用列举法 2 也可以应用排列 组合知识计算基本事件的个数 3 还可以用坐标系中的点来表示基本事件 进而计算基本事件的总数 例2抛掷两颗骰子 求 1 点数之和为5点的概率 2 出现两个相同点的概率 3 点数之和能被3整除的概率 解 抛掷两颗骰子 基本事件的总数为6 6 36个 如图所示 1 记 点数之和为5点 的事件为a 则a所包含的基本事件有4个 它们是 1 4 2 3 3 2 4 1 p a 2 记 出现两个相同点 的事件为b 则b包含6个基本事件 它们是 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 p b 3 记 点数之和能被3整除 的事件为c 则c包含以下12个件 1 2 2 1 1 5 5 1 2 4 4 2 3 3 3 6 6 3 4 5 5 4 6 6 p c 考向精测 1 2008 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 设d是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域 e是到原点的距离不大于1的点构成的区域 向d中随机投一点 则所投的点落在e中的概率是 解析 如图 区域d表示边长为4的正方形abcd的内部 含边界 区域e表示单位圆及其内部 因此p 2 2009 重庆高考 12个篮球队中有3个强队 将这12个队任意分成3个组 每组4个队 则3个强队恰好被分在同一组的概率为 答案 b 课时作业 五十九 古典概型与几何概型 一 选择题 1 2008 山东高考 在某地的奥运火炬传递活动中 有编号为1 2 3 18的18名火炬手 若从中任取3人 则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 解析 从18名火炬手中任选3人共种方法 若3名火炬手的编号组成以3为公差的等差数列 则每一组编号的第一项应分别从1 2 3 12这12个数中选一个 共12组 故选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 故选b 答案 b 2 2009 山东模拟 把一颗骰子投掷两次 观察出现的点数 并记第一次出现的点数为m 第二次出现的点数为n 向量p m n q 2 1 则向量p q的概率为 解析 向量p q p q 2m n 0 n 2m 满足条件的 m n 有3个 1 2 2 4 3 6 p 故选b 答案 b 答案 b 4 2009 广东深圳3月 已知 x y x y 6 x 0 y 0 a x y x 4 y 0 x 2y 0 若向区域 上随机投一点p 则点p落入区域a的概率为 解析 如右图 作出两集合表示的平面区域 容易得出 所表示的平面区域为三角形aob及其边界 a表示的区域为三角形ocd及其边界 答案 b 解析 由题知该方程有实根满足条件 作平面区域如下图 由图知阴影面积为1 总的事件对应面积为正方形的面积 故概率为 6 2009 山东聊城5月 如图所示 墙上挂有一块边长为2的正方形木板 上面画有抛物线的图案 阴影部分 某人向此板投镖 假设每次都能击中木板并且击中木板上每个点的可能性都一样 则他击中阴影部分的概率是 答案 a 二 填空题7 假设小军 小燕和小明所在的班级共有50名学生 并且这50名学生早上到校先后的可能性相同 则 小燕比小明先到校 小明又比小军先到校 的概率为 解析 将3人排列共包含6个基本事件 由古典概型得p 答案 8 袋中有3只白球和a只黑球 从中任取2只 全是白球的概率为 则a 解析 分别记白球为1 2 3号 黑球为4 5 a 3号 从中任取2只 有如下基本事件 1 2 1 3 1 a 3 2 3 2 4 2 a 3 a 2 a 3 共 a 2 a 1 1 个 全部是白球 记为事件a 事件a有 1 2 1 3 2 3 共3个 所以p a 解得a 4 答案 4 9 2009 福建高考 点a为周长等于3的圆周上的一个定点 若在该圆周上随机取一点b 则劣弧的长度小于1的概率为 解析 如图 点a c d把圆周平均分为三等份 显然当动点b分布在与内时 长度小于1 由几何概型公式有p 答案 10 2009 江苏高考 现有5根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中一次随机抽取2根竹竿 则它们的长度恰好相差0 3m的概率为 解析 在5个长度中一次抽取2个 则有 2 5 2 6 2 5 2 7 2 5 2 8 2 5 2 9 2 6 2 7 2 6 2 8 2 6 2 9 2 7 2 8 2 7 2 9 2 8 2 9 共10种情况 满足长度恰好相差0 3m的基本事件有 2 5 2 8 2 6 2 9 共2种情况 所以它们的长度恰好相差0 3m的概率为p 答案 三 解答题 11 2009 韶关模拟 如图所示 有两个独立的转盘a b 两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60 120 180 用这两个转盘玩游戏 规则是 依次随机转 礁鲎 淘偎婊 指针固定不会动 当指针恰好落在分界线时 则这次结果无效 重新开始 记转盘a的指针对的数为x 转盘b的指针对的数为y 设x y的值为 每转动一次则得到奖励分 分 求x