概率 题目 答案.doc

08级概率统计第一、二章练习题答案一、填空题1.、是两个随机事件，,则 .解：.2.已知， .解：.3.设、为两个相互独立的随机事件，, 则 .解：移项可得：.4.四个人各自独立地破译一份密码，已知他们能译出密码的概率分别为，则密码能被译出的概率为 .解：设“第个人译出密码”()，由于相互独立，故有：5.10件产品中有4件不合格品，从中任取两件.已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 .解：设“所取得两件产品中至少有一件不合格”，“所取得两件产品全是不合格品”，显然6.随机变量,若,则 .解：，解得，于是.7.电子班考试，一共5道选择题.每题四个选项,其中只有一个正确.答对3题便可及格.学生某甲没念书,随机选择答案.则某甲能及格的概率为 .解：设“某甲能选对的题数”,则.8.随机变量，已知，则 .解：9.设随机变量，以表示对的三次独立观察中事件出现的次数，则 .解：.10.随机变量的分布函数为则 , .解：.二、选择题11.、是随机事件，且，则.选.12.设事件、互不相容，且，则（ ）.选.事实上.13.若事件、满足，则下列关系式正确的是（ ）.选.事实上由于,故.因此.14.当事件、同时发生时事件必然发生，则下列各式中正确的是( ).选.由于,故,于是.15.随机变量的密度函数满足,是的分布函数,则对于任意,.选.由于密度函数是偶函数，故.16.连续型随机变量的分布函数,则( ).选.事实上,.0120.30.50.217.离散型随机变量的分布列由右式给出，其分布函数为，则.选.18.随机变量则( ).选.事实上.19.若随即变量服从上的均匀分布，则（ ）.也服从上的均匀分布；服从上的均匀分布； .选.事实上由分布函数法等式两端对求导可得：.,因此、都不对.20.随即变量的概率密度为,若,则的密度为( ).选.事实上的分布函数为等式两端对求导，得到的概率密度函数.三、计算题21.是同一样本空间的两个事件,已知 试求：.解:由于消去得到：,于是.因有.22.事件、相互独立，且知,求：（1）；（2）；（3）.解： .23.对事件有：，（1）试求；（2）判断事件是否独立.解：由于有，因此事件相互独立.24.对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为80%，当机器发生故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率是90%，求：(1)某日早上第一件产品是合格品的概率；(2)若第一件产品是合格品，机器调整得良好的概率是多少?解：设=“机器调整良好”,=“第一件产品合格”.,.25.设随机变量,且.求:（1）求；（2）求.解：由于.26.随机变量的分布函数为，求：（1）常数、的值；（2）求的概率密度函数；（3）求.解：根据分布函数的性质，有两式联立，解得.27.班车从院本部到中环信息学院途经5个路口,都有交通指示灯.如果遇到黄灯和绿灯可以通行,遇到红灯必须停车.在每个路口遇到红、黄、绿灯的可能性相同.如果停车4次以上就会迟到,(1)求班车迟到的概率；每周5个工作日,(2)求一周内班车至少迟到一次的概率.解：设=“班车途中停车次数”,则.令=“一周内班车迟到的次数”,则.28.某地考生高考总成绩服从正态分布,现在要从20000名考生中择优录取1000人，当地考生若被录取其成绩至少要考多少分? ()解：设=“某地考生的高考成绩”,=“被录取考生的最低成绩”,于是因此.29.某邮局顾客打一次电话所用时间（分钟）服从指数分布，求：（1）打一次电话所用时间在510分钟的概率；（2）打三次电话，至少有一次所用时间在510分钟的概率.解：随机变量的概率密度函数为,.设=“所打的三次电话中，用时510分钟的次数”,则.30.随机变量的概率密度函数,.试求随机变量的概率密度函数.解：随机变量的分布函数，其中.等式两端对求导，得到随机变量的概率密度函数：.20092010学年度第二学期概率统计阶段练习题（二）一、填空题1.随机向量的联合概率密度为，则其中的常数= .解：由联合概率密度的规范性有：.2.随机向量的联合概率密度为，关于的边缘概率密度 .解:.3.设随机向量的联合概率密度为,则 .解: 先确定的值：.4.随机向量的联合概率密度为,随机变量,则的分布函数 .解：.其中：.5.，若平面区域，则= .解:由于，由此可知、相互独立，同标准正态分布.因此.6.是二维随机向量，且则 .解：.7.设随机变量的均值,方差.则 .解：.8.随机变量的概率密度为,则= .解：先确定的值.9.投掷一枚均匀硬币100次，正面出现的次数在4555之间的概率为 .解：设=“掷硬币100次正面出现的次数”，则.由De-Moivre-Laplace定理有.10.对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率均为.由中心极限定理命中60发到100发的概率为 .解：设=“命中目标的炮弹数”,由DeMoivre-Laplace定理:二、选择题11.随机变量与独立同分布,且.则( ).选.12.随机变量与相互独立，都服从二项分布,则=( ).解:由二项分布的可加性,故，选.13.随机变量服从参数为的Poisson分布，且,则( ).选.14.随机向量的联合概率密度为则( ).应当选.事实上15.服从区域上的均匀分布,其中.则( ).选.事实上容易求得，.联合概率密度等于两个边缘概率密度的乘积，因此.16.随机变量,且与相互独立.,则=( ).选.17.随机变量,，则( ).选.18.随机变量,则( ).选.19.对于随机变量、，若有,则( ).选.20.随机向量,则( ).；.选.三、计算题21.随机向量的联合分布如表所示： 01210.050.150.1020.100.050.1030.100.150.20求：（1）关于、的边缘分布；（2）若,求的分布；（3）求.解：123；0120.30.250.450.250.350.4123450.050.250.250.250.2，.22.已知随机变量的概率密度函数，且,求:（1）的值；（2）的分布函数.解：先确定的值，将（*）与（*）联立，解得.23.随机向量 求: (1)关于的边缘概率密度；(2).解：.24.随机向量的联合概率密度为，求：(1)的联合分布函数；(2)关于的边缘分布函数.解：.其中.25.设二维连续型随机向量的联合概率密度为求边缘概率密度并判断与是否相互独立.解：.,故与不独立.26.设某甲射击百米以外的目标命中率为,他连续射击直至击中目标为止.设射击的次数为,求.解：考虑幂级数，由于有.因此幂级数在（-1，1）内收敛.在（-1，1）内设，由逐项积分定理,于是，故有：.27.设随机变量的概率密度为,求:（1）；（2）；（3）.解:.28.设连续型随机变量的概率密度为，且，求：（1）常数；（2）.解:由密度函数的规范性，有将（*）与（*）联立，解得：.29.、是两个随机变量，已知,随机变量,求与的相关系数.解: .30.某用电线路上装有50000支日光灯，各灯开关相互独立.在用电高峰期每支日光灯开着的概率均为0.9，如果开着的灯数超过45110，电管所就会拉闸限电.求电管所拉闸的概率.()解:设=“线路中同时开着的日光灯数”,.由De Moivre-Laplace定理08级概率统计第六、七、八章练习题答案一、填空题1.总体和分别是取自总体和的简单随机样本，且、相互独立.则 .解:由定理6.1知，且与相互独立.根据正态分布的可加性.2.随机变量,若，则 .解:的概率密度函数关于轴成轴对称图形.因此.3.给定一组样本观测值,经计算得则样本方差 .解:.4.总体,是取自总体容量为5的简单随机样本.则 .(用标准正态分布的分布函数表示结果)解:由定理6.1,因此.5.两总体相互独立，从两总体中各抽取容量为和的样本，样本方差分别为和，则成立的条件是 .解:由定理6.9知成立的条件是.6.总体，是取自总体的简单随机样本，.如果存在常数使得服从分布，则= .解：,.同样,且与相互独立,由分布的典型模式因此.7.若随机变量,则 .解：,由分布的典型模式存在相互独立的随机变量,.且由分布的典型模式，.8.总体、相互独立,同标准正态分布.是取自总体的简单随机样本,是取自总体的简单随机样本,则 .解:其中.于是.9.总体,是一组样本观察值,则参数的矩估计值为 .解：，.10.总体，是取自总体的简单随机样本,已知，则的最大似然估计为 .解:总体，概率密度函数.似然函数为 对数似然函数为 令，解得.即为总体方差的最大似然估计.二、选择题1.总体，是取自总体的简单随机样本,为未知参数,则( )是统计量.选.2.总体，是取自总体的样本，分别为样本均值和样本标准差,则( ).选.事实上.3.总体，是取自总体的简单随机样本,是样本均值，记,则服从的随机变量是( ).选.4.是取自总体的样本，作为总体均值的无偏估计量( )最有效.选.5.设是总体的未知参数，为统计量，为的置信度为的置信区间，则应有( ).选.6.总体,总体均值置信度为95%的置信区间是指这个区间( ).选.7.总体,未知,通过样本检验假设,要用的统计量是( ).选.8.在假设检验时，若增大样本容量，其他条件不变，则犯两类错误的概率( ).选.9.在假设检验中，记为对立假设.( )是犯第一类错误.选.10.在假设检验问题中,显著性水平的意义是( ).选.三、计算题1.总体，是取自总体的简单随机样本,是样本均值，是样本方差.计算和.解: .2.已知总体的概率密度函数为其中未知参数,是取自总体的样本观察值,求的矩估计和最大似然估计.解:,.参数的矩估计为.似然函数为 对数似然函数为 .令,解得.即为参数的最大似然估计.3.总体，是取自总体的一组样本观察值,求和的最大似然估计.解:似然函数为对数似然函数令,解得即为参数和的最大似然估计.4.某工厂生产的滚珠直径，从某日生产的滚珠中抽取9个,测得其直径为：.已知滚珠直径的方差,求直径均值置信度为95%的置信区间.解:这是正态总体已知方差估计均值的问题.枢轴变量对于,查表知,使得,即有由样本出发计算知:即该厂生产的滚珠平均直径置信度为0.95的置信区间.5.随机抽测某批零件9个,测得其长度计算为,设零件长度服从正态分布,试求零件平均长度置信度为95%的置信区间.解:设=“该批零件的长度”,由题设.这是正态总体未知方差估计均值的问题.枢轴变量对于,查表知,使得,即有由样本出发计算知.(2.1177,2.1423)即为该批零件平均长度置信度为95%的置信区间.6.从总体中抽取容量为10的一个样本，样本方差,试求总体方差置信度为0.95的置信区间.(解:枢轴变量对于,查表知使得即有由样本出发计算知即为该总体方差置信度为95%的置信区间.7.大华糖果厂包装机包装的糖果,重量服从正态分布,且在生产过程中所包装的糖果重量的方差不变.从7月8日的产品中随机抽取9袋,测的重量为:.能否认为包装机包装的糖果平均重量为500克?解:设=“大华糖果厂包装机包装糖果的重量”,.已知,检验假设.当成立时,检验统计量对显著性水平,使得.由样本计算知，小概率事件发生,拒绝原假设.不能认为包装机包装的糖果平均重量为500克.8.我院08级学生概率统计考试成绩服从正态分布,从中任取36名学生,其平均成绩为65分，标准差为15分.可否认为08级全体学生的概率统计平均成绩为70分?解:设=“我院08级学生概率统计考试成绩”,.要检验假设.当原假设成立时，检验统计量对，查表知，使得.由样本计算可知,，检验结果与原假设相容，接受原假设.可以认为07级全体学生的概率统计平均成绩为70分.9.某工厂生产铜丝，生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽取10段检查其折断力，测后经计算：，假定铜丝的折断力服从正态分布，是否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16? 解:设=“该厂生产铜丝的折断力”,.要检验假设.当原假设成立时,检验统计量对于显著性水平,查表知使得由样本