由一个公式生发开去.pdf

Sn n i 1ai a 1 q aq 1 q aq 1 q aq2 1 q aqn 1 1 q aqn 1 q a 1 q aqn 1 q a 1 qn 1 q 此推导过程不同于一般教科书中 Sn qSn 证明法 因利用拆项消项法 故更易掌握 参考文献 1 构造概率模型解题一例 数学教学通讯 1991 3 由一个公式生发开去 曹德中 甘肃省白银市实验中学 730900 薛莲花 王军梅 甘肃省会宁县三中 730722 异面直线上两点间距离公式 EF d 2 m 2 n 2 2mncosH 是立体几何第一章的一个重要公式 其重要 性不仅体现在它潜在的解题功能 涉及许多 概念和知识 而且还在于通过联想 探索 推 广 演绎 沟通了立几前后两章内容 形成一 个十分有趣的知识网络 在 1 中 当 H表示异面直线所在二面角 的大小时 易知公式中只取负号 由此可推 证 定理 1 三面角的三个面角分别为 H1 H2 H H所对的二面角为 C 则有 cosH sinH1sinH2cosC cosH1cosH2 证明 如图 1 作 A D BE 都垂直 OP 垂足分别为 D E 设 OA a OB b 则 A D asinH1 OD acosH1 BE bsinH2 OE bcosH2 从而 DE bcosH2 acosH1 由 1 得 A B 2 bcosH2 acosH1 2 asinH1 2 bsinH2 2 2absinH1sinH2cosC a 2 b 2 2abcosH1cosH2 2absinH1sinH2cosC 在 OA B 中 由余弦定理 得 A B 2 a2 b2 2abcosH a 2 b 2 2abcosH a2 b 2 2abcosH1cosH2 2absinH 1sinH2 cosC 即 cosH sinH1sinH2cosC cosH1cosH2 公式 2 反映了三面角的三个面角和一 个二面角这四个量中 任知其中三个即可求 得第四个量 从而给出了不用作出二面角的 平面角就可求出二面角大小的一种方法 这 给解决有关问题带来极大的方便 当 C 90 时 公式 2 就成为公式 3 了 于是有 图 2 推论 1 在 三面 角中 若有一个直二面 角 且其所对的面角为 H 其余两个面角为 H1 H2 则有 cosH cosH1cosH2 这个推论恰是立几课本 117 页第 3 题的 结论 可形象地称为 立平斜定理 应用此定 理 可简捷地证明课本 31 页第 11 题 从而得 到本文的另一推论 推论 2 经过一个角的顶点引这个角所 在平面的斜线 如果斜线和这个角两边的夹 31 1997年第 6期 数 学 教 学 研 究 角相等 那么斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直线 证明留给读者 立平斜 定理 因其应用的广泛性和简 洁性 在解题中起着举足轻重的作用 倍受人 们的青睐 不但课本上的许多题 如 p44第 7 题 p47第 13 题 14 题 p115第 5 题 p116第 11 题 就是高考中的不少立几题 都可用它巧 妙 迅速地加以解决 两个推论联袂使用 常 使某些题目的解答 棋高一着 不少资料 屡 有论及 文 1 2 3 对此都有较详细的说 明 本文略举几例 以飨读者 例 1 已知正四棱锥的侧面顶角为 60 求相邻两侧面所成二面角的大小 解 设正四棱锥的棱长为 a 侧面顶 角 为 60 底 面 边长 为 a 对角 线 长为 2 a 设对角面顶角为 H 易知 H 90 由 2 得 cosC cosH cosH1cosH2 sinH1sinH2 0 1 2 1 2 3 2 3 2 1 3 C arccos 1 3 P arccos 1 3 即所求二面角的大小为 P arccos 1 3 注 应用公式 减小计算量 优化了解题 过程 例 2 任意正六棱锥 相邻两个侧面所 成的二面角 A的取值范围是 A 0 A 120 B 120 A 180 C 0 A 120 D 0 A 180 分析 如图 3 PO 是正六棱锥的高 A MC 相邻两侧面 所成二面 角的平面 角 AMC A 令 PBO H1 A BO H2 PBA H 由 立平斜 定理得 cosH cosH1cosH2 H 2为定值 当 H1 90 时 cosH1 0 从而 H 90 A M A B A A BC 120 由 余弦函数的单调性 知 120 A 180 故选 B 由本题的分析可进而得到 设正 n 棱锥 相邻两侧面所成的二面角为 A 则有 n 2 180 n A 180 例 3 在平行六面体中 一个顶点上的 三条侧棱长分别是 a b c 这三条棱中每两条 所成的角是 60 求平行六面体的体积 立体 几何 116 页第 11 题 图 4 解 如 图 4 过 A1作 A1O 平 面 ABCD 垂足为 O 连 AO 棱 AB A D AA1两两所成角都为 60 根据推论 2 A O 是 BA D 的平分线 BA O 30 由 立平斜 定理 得 cos A1A B cos A1AO cos BA O cos A1A O cos60 cos30 3 3 于是 sin A1 AO 6 3 A1O 6 3 AA1 S底ABCD 2 1 2A B A Dsin60 3 2 A B AD 故平行六面体 A C1的体积为 V 6 3 3 2 A B A D A A1 2 2 abc 注 两道习题 搭配使用 相映成辉 成 为本习题的优美解法 本题经过 加工 就演 32 数 学 教 学 研 究 1997 年第 6 期 变成 1989 年高考 理 三 20 取图 1 中的 O 为球心 OP 为地轴 设 2 中的 H1 H2余角分别为 A B C为经度差 我们立刻得到球面距离公式 4 定理 2 设球 O 的半径为 R A B 是球 面上两点 纬度分别为 A B 经度差为 C 则 A B 两点间的球面距离为 A B Rarccos cosA cosBcosC sinA sinB 证明 由纬度的几何意义知 H1 90 A H2 90 B 代入 2 得 cosH sin 90 A sin 90 B cosC cos 90 A cos 90 B cosA cosBcosC sinA sinB H arccos cosA cosBcosC sinA sinB A B Rarccos cosA cosBcosC sinA sinB A B 在赤道同侧取正 两侧取 负 为便于学生记忆 有下列口诀 三个余弦两正弦 经差余弦前项连 同北同南取正号 分布北南负号填 球面距离是立几的一个难点 定理 2 的 证明过程为突破这个难点提供了一条有效途 径 若直接应用公式 4 便使解答直赴目标 简捷明快 图 5 例 4 地球上 A B 两 地 A 在 北 纬 30 西经 20 B 在北 纬 60 东经 100 求 这两地的球面距离 解法 1 如图 5 设球心为 O A B 两地 所在的纬线圈圆心分别为 O1 O 2 连结 A O BO 则球心角 AOB 所对应的大圆劣弧长 即为所求 在三面角 O A O2B 中 A OO1 90 30 60 BOO2 90 60 30 经度差 C 20 100 120 即二面角 A OO2 B 为 120 由定理 1 得 cos A OB sin60 sin30 cos120 cos60 cos30 3 8 A B Rarccos 3 8 解法 2 由解法 1 知 A 30 B 60 C 120 由定理 2 即得A B 两地的球面距离 A B Rarccos cosA cosBcosC sinA sinB Rarccos 3 8 由一个公式出发 经过联想 探索 归纳 导出一个又一个新的公式和结论 如 涓涓源 头 形成奔腾江河 构成一个丰富多彩的解 题体系 这对激发学习兴趣 引导钻研课本 培养发散思维 变异思维和创造性思维 提高 解题能力 都有着十分重要的意义 参考文献 1 曹德中 一个美妙的立体几何习题链 中 学数学教学参考 1994 9 2 刘艳娥 立体几何中一道习题的应用和推 广 教育科研 西安 1995 5 9 11 3 曹德中 一道立体几何题在解高考题中的应 用 数学教学通讯 1996 6 无 棱 二 面 角 的 求