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第二章 建模方法论 2.1 数学模型 1. 建模的目的 a. 帮助人们不断地加深对现象的认识，并且启发人们去执行可获得满意结果的试验通讯（交流）、思考（不用假设）、理解（公理被认识） b. 提高人们的决策和干预能力管理、控制、设计图2.1 数学模型的作用图2.2 根据目标建立系统 2、集合、抽象和数学模型的关系 抽象过程是建模过程的基础 例如: 行量轨道、质量 集合的概念是建立在抽象基础上 数学模型可看成为一个集合的构造物 集合概念：叉积、映射一种基本的集合运算是叉积：令A和B是任意集合，则函数或映射是一个关系，也可写成且， 建模的二个过程 a. 理论构造 建立几个抽象概念、定义输入、输出及状态变量，在抽象基础上，建立复合的集合结构，尤其定义函数关系。 b. 具体化从模型到现实世界通过不断地增加细节到原抽象中去，以达到抽象与真实目标相联系的目的 3、建模的形式化表示 系统可由如下七元组集合构成： S= T时间基Y输出集 X输出集d状态转移函数 W输出数集l输出函数 s内部状态集 （1）时间基T T是描述时间和为事件排序的一个集，它通常为整数集或实数集 （2）输入集X X表示系统外部作用于系统的一部分，系统不能直接控制集合X XRn，nIT，X代表n个实值的输入变量 XXmUf，Xm为外部事件集合，f为空事件 （3）输入段集W 一个输入段描述某时间间隔内系统的输入模式 一个输入数是一个映射:W:X, 是时间基中从初始时刻to到终止时间t1的一个区间，所有输入数段所构成的集合（X，T），W（X，T）。T=R时, W可为分段连续段集，X=Rn W也可离散事件段集:XmUf, 它对于1n 以外, (t)=fT=I时，W为有限序列集。 （4）内部状态集QQ表示系统的记忆，它影响着现在和将来的响应，对于线性系统=AX+BV Y=CX+DV X为状态集 （5）状态转移函数d 它是一个映射d：QWQ 若t0时刻处于状态q，并施加一个输入段:X, 则d(q, )表示系统t1时刻的状态。 任意时刻的内部状态和从该时刻起的输入段唯一地决定终止时刻的状态。 （6）输出集Y 它表示系统通过它作用于外部环境的一部分，除方向不同外，它同输入集含义相同。 （7）输出函数入 它是一个映射入：QXTY， 当系统处于状态Q时，当前输入为X，则入(q, x, t)可通过环境检测出来 系统行为系统内部结构的外部表现形式 它是笛卡尔积(X, T) (Y, T)的关系 对于qQ，在W中输入段:X 存在一个状态轨迹STRAJq, :QSTRAJq, (t0)=q对于t, STRAJq, (t)= d (q, t) 可观察的输出轨迹：OTRAJq, :Y即OTRAJq, (t)=l (STRAJq, (t)系统的行为可用于输入输出关系表示出来： Rs=,W, r= OTRAJq, , qQ (,)RS称为一个输入输出段 4、模型的有效性与建模形式化 （1）重复有效（行为水平）图2.3 行为水平的系统 （2）预测有效（状态结构水平）图2.4 状态结构水平的系统 （3）结构有效（分解结构水平）图2.5 分解结构水平的系统 5、数学模型的分类1、分类 1）根据模型的时间集会可以分为连续时间模型和离散时间模型。连续时间模型中的时间用实数来表示，即系统的状态可以在任意时刻点获得。离散时间模型中的时间用整数来表示，即系统的状态只能在离散的时刻点上获得。2）根据模型中的状态变量可以分为连续变化模型和离散变化模型。连续变化模型中，系统的状态变量是随时间连续变化的。在离散变化模型中，系统状态变量的变化是不连续的。 2、举例（1）时不变连续时间集中参数模型M1 M1： uU：输入集合=f(x, u) xX：状态集合 y=g(x, u) yY：输出集合 f ：函数变化率 g ：输出函数对于S: tTs: t0,R Xs=U: Rm, mI+ Qs=X, Rn, nI+ Ys=Y: Rp, pI+ Ws=: t0, t0+ U, 0 ds: 假定模型有唯一解f(t) ds: QsWsQs在解情况被确定 ls=g （2）离散事件模型 M： Xm：外部事件集合 Sm：序列离散事件状态 Ym：输出集合 dm：准转移函数 l m：输出函数l m:S m Y m m：时间拨动函数Sm对于S： T：t0,R X：XmUF W：: X Q：由Sm和m构造出来实际状态集合 d：QXQd(s, e, F)=S, e m(s)d(s, m(s), F)=d(s, e, x)= (s, e, x)l：lm6、系统描述间的关系（1）行为等价 现实系统S和描述出来系统S的行为等价，即Rs=Rs（2）同态 对于两个系统S和S，T，X，W，Y相同，Q、d、l和Q、d、l不相同。从S到S的同态映射h是以系统S的状态集Q到系统S状态集Q的映射，它满足：a. 转移函数的保存性 对于W, qQ hd(q, )=dh(q), b. 输出函数保存性 对于qQ l(q)=lh(q)（3）同构 同构是一种同态，在这种同态中，映射h与状态是一一对应。（4）举例例如，对于一个线性系统：X的维数=n，S是可控可观的。系统S的输入输出行为描述为：由线性系统理论可知，用下列不同的模型可得到与系统S相同的输入输出关系： 对于合适的H，系统S和S1的状态间存在一个映射关系，系统S和S1是同态关系。另外，由于,系统S和S2存在一个同构关系，系统S的状态和系统S2的状态之间有一一对应关系。2.2 建模方法学 1、建模过程的信息源图2.6 建模的信息源 （1）目标和目的 确定研究对象，并规定建模方向、输出、输出、系统边界 （2）先验知识 站在巨人的肩上 （3）试验数据 合适的定量观察 2、建模途径 （1）演绎法建模 运用先验信息，建立某些假设和原理，通过数学的逻辑演绎来建立模型，试验数据只是来证实或否定原始的原理一般特殊 （2）归纳法建模 从被观察到的行为出发，推导出一个与观察结果相一致的更高一级的理论结果特殊一般 3、模型的可信性 复制有效预测有效 结构有效 可信性是贯穿在整个建模过程 （1）演绎中的可信性 对前提的正确性的研究来验证模型本身是否可信 对前提的其它结果的检验来分析信息以及由此可得到的模型可信性 （2）归纳中的可信性 检查归纳程序是否按数学和逻辑上的正确途径进行 模型行为与真实系统行为的比较 4、建模过程图2.6 建模过程框图2.3 基于计算机的建模方法学1、 计算机建模的提出1）经典的建模与仿真的困难经典的建模与仿真：首先界定研究对象实际系统的边界和建模目标，利用已有的数学建模工具和成果，建立相应的数学模型，并用计算装置进行仿真。对研究和解决物理系统的有关问题是非常有效。经典的建模与仿真方法，对于复杂系统如社会系统、经济系统、水资源环境系统等，它是无能为力。因为这些系统很难用一种准确的数学模型来加以描述，就算描述出来，也很难证明在实际中是否有效。这类系统通常存在着病态结构和定义，把它称作软系统。软系统有三个特性：一是复杂性，主要表现内部关系复杂、系统具有多重性（相同的过程可能有多个研究对象，且相互有密切的关联。）；其二是不可分性，软系统在空间上、范围上和时间上很难加以分割，也就很难定义系统的边界和分隔物；其三是低可接受性，由于软系统很难分割，找不到合适的测量技术来观察系统，或者观察测量系统的代价很大，这样很难对系统进行实验研究。 由于系统具有显著的多面性特征，就存在着建模的多样性。经典方法难以解决模型的综合利用问题。2）基于计算机的建模的目标基于计算机的建模理论的目标就是：在交互式计算机的辅助下，使系统建模过程进行得更加有效、现实和高速。这样应该充分利用计算机的人机交互和信息存储功能，使计算机能对复杂的建模问题进行收集和积累知识，计算机将体现出结构化的先验知识。计算机可实现在用户的目标与实现这些目标的模型之间建立起充分良好的联系渠道，并用计算机存储的全部知识来提高和加速模型综合的过程，也就是利用了建模者与机器之间充分的交互性，从而提高人们了的建模能力。具体地来说，要建立支持建模与仿真的计算机系统，如一体化的建模与仿真环境、建模支持系统或决策支持系统中的模型管理系统等。全局性建模的基本思路全局性建模的主要思想是重视模型的信息源，基本思路为：1 模型开发的初期，要对这些信息源作简单的安排，以模型或子模型的形式，以及早先实验中处理过的数据形式，将这些先险信息存储于计算机中。2 根据建模目标进行建模。建模过程中，除由建模者提供的系统输入信息之外，还可以从模型或者真实系统的实验中得到新的信息，使模型的信息日益完善。由于实验的性质要受到建模目标的影响，需要人们去定义各种实验框架，实验框架是由模型中用到的变量组成的，但是，它们与模型又有所区别，即在计算机中还没有建模者实验物体的模型存在时，该实验框架就可能存在了。3 建模应能够组合和完整模型的某种先验知识，需要一种适当的有组织的信息存储模式，同数据存储一样被称为“库”。并可支持那些对象的库的构造和库与库之间有关对象的操作。2、模型对象及其信息存储1）变量及变量库变量是用来表示真实系统及其环节的各种有用的属性，系统的分解将影响模型变量的选择。一个变量具有名字及范围集，名字是一种特定的标识符，它不能为其他变量所占用，范围集是变量所能呈现的值集。变量除具有名字外，还具有含义，且有些变量还具有相关的含义。变量含义之间的内在联系被称之为语义结构，即语义结构是变量之间的逻辑关系。变量库的基本形式是作为当前实际系统中所有定义变量的字典或词典。模型是通过选择这些变量的一个子集形成它的静态结构、加上控制这些变量变化的规则及其动态结构而构成的。2）实体及实体库实体是实际系统的一部分，它的作用是获取子系统和系统的边界。一个实体可以表现为一个或多个其它实体的分解体的组件，变量既可以直接依附在实体上，也可以通过依附在实体的子实体上而与实体间接地相关（子实体是实体的分解体或分解的子实体）。模型的静态结构是由输入变量集、输出变量集、状态变量集和输出函数等组成，它是进行概念性分析的有用工具。静态结构是实体结构的抽取。实体结构也能用来组织模型的建立过程，它是通过建立模型的静态结构（也就是抽取实体结构）而实现的。实体结构的所有抽取所组成的集合，表示了与之相容的所有模型静态结构组成的集合。反过来，给定一系列模型结构，能够求出一个实体结构，使这些模型结构都是其抽取，这样的实体结构如果存在，就称之为模型结构的合并。实体库认为是变量库结构过渡到模型结构的第二级结构，实体库的组织原则是实体结构，表示实际系统建模过程中任一级的结构。3）实验框架和实验框架库建模目标规定了建模过程的方向，可为建模者从中导出了一组输入和输出变量，实质上这就是一个实验框架。不适用的实验框架变为适用的，可以采取两个不同的方案：其一是边界不变而寻求比原模型更高的描述水准，并加入一些内容；其二是扩展系统边界而不加内容，因此需要考虑一个更大的“整体”。在完整的定义中，实验框架E包括以下几个部分:I：输入变量集；O：输出变量集；l：输入段集；C：运行控制变量集；c：运行控制段集；SttSpp：统计或信号处理过程集.一个框架可以规定部分约束或全部约束，于是可将其写为如下形式： E=（I，O） 或=（I，O，l） 或=（I，O，C，c） 或=（I，O，l，C，c）4）模型库模型库：包括对某一给定的实际系统已经建立起来所有的模型。是一个可扩充的模型集，描述一个特定系统各级层次的行为结构。模型库的构造方法：使得各模型之间的相互关系皆以一个实验框架为条件5）参数库参数库： 参数是模型的一个组成要素，它的最基本和最有代表性的作用是表示了现实世界中物体的系统或其子系统的性质。然而，参数不一定直接与实际系统有关，而是提供了一种开始进行模型分类（模型构造）的手段，它使得我们可以更自由地得到模型数据和系统数据之间的对应性。 参数的对应是一种关系，它允许将一类模型参数估计中凝聚的经验知识传递到另一 类模型，实际上，其主要问题是建立参数间的对应。参数对应关系主要包括以下两个方面： （1）当一个模型是另一个模型的组件时，则前一模型的参数构成了后一模型参数的一个子集；（2）当一个模型是另一个模型的简化形式，则前一模型的参数可能与后一模型的参数存在着复杂的关系。参数库的作用是：（1）存储实际系统的实验信息（参数估计）；（2）通过将模型检验中得到的估计扩展到与它有关的其它模型，从而增加这种信息的利用率。5）库的活动一个模型是由框架、结构和参数组成的，在建模过程中所涉及对象包括模型库、实验框架库、参数库、实体库和变量库，计算机支持系统应为这些已定义的对象提供有用的活动手段，并完整地规定和实现所有有用的活动。 库名称活动变量定义与实体连接粗化提炼建立语义关系实体从模型中提取组合分解参数协调建立对应关系辩识推广实验框架与实体连接粗化精炼检验模型的适用性模型与实体连接粗化精炼检验框架的有效性 库与库之间不是独立的，而是有一定的关系，其中心是实体结构，它与其它库的关系见图2.10。2.4 解释结构建模1、 基本概念1）结构模型应用有向连接图或矩阵描述系统各实体间的关系，以表示一个作为实体集合的系统模型。其中用集合S = s1，s2，sn表示实体集合，si表示实体集合中的元素（即实体）， R=|W(x,y)表示在某种关系W下各实体间关系值（是否存在关系W，可用0，1表示）的集合目的：解决复杂系统的建模问题。特性：结构模型是一种几何模型，可用有向连接图表示。1） 结构模型是一种以定性分析为主的模型，主要用来分析系统各实体之间的关系。2） 结构模型还可用矩阵形式来描述，可使定性分析和定量分析相结合。3） 结构模型的描述形式正处在数学模型形式和逻辑分析形式之间，它可处理宏观、微观、定性产量的问题。2）有向连接图结构模型的有向连接图表示：结构模型S，R就可用相应的有向图G=S，R来唯一表示，其中S为节点集合，R为有向弧的集合。例如，结构模型S，R，其中S= si|i=1，2，3，4，R=S1,S3，S2,S1，S3,S2，S2,S4，S4,S3，其对应的有向连接图如图2.13所示。3）结构模型的邻接矩阵定义结构模型S，R的邻接矩阵A可定义为：设系统实体集合S = s1，s2，sn，则nn矩阵A的元素aij为4）有向图和邻接矩阵之间的特性1）有向图G和邻接矩阵一一对应。2）邻接矩阵A中元素全为零的列所对应的节点称为源点，或输入节点；元素全为零的行所对应的节点称为汇点，或输出节点。3）如在有向图G中，从si出发经过k条边可到达sj，则称si到sj存在长度为k的通路，此时矩阵Ak的元素(i，j)=1，否则为0。由于弧是长度为1的通路。邻接矩阵A表示其节点间是否存在有长度为1的通路，对应每一节点的行中，其元素组为1的数量，就是离开该节点的有向边数；对应每一节点的列中，其元素值为1的数量，就是进入该节点的有向边数。4）由矩阵Ak的意义可知，矩阵表示了是否存在有长度小于等于k的通路。5）可达矩阵可达矩阵指用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间，经过一定长度的通路后可到达的程度。有向图G=S，R的可达矩阵R可定义为：设系统实体集合S = s1，s2，sn，则nn矩阵R的元素rij为，且（即认为每个节点均自身可达）。6）邻接矩阵和可达矩阵的联系和可达矩阵的计算步骤邻接矩阵和可达矩阵的联系，可达矩阵可根据邻接矩阵计算出来在实际计算中，有时不用进行n次运算，就可得到可达矩阵R。其计算步骤为。利用可达矩阵还判断是否存在回路和构成回路的元素。在可达矩阵中，如存在有不同元素对应的矩阵的行和列都相同，其有向图中的这些元素构成回路。2、结构建模对于建立系统的结构模型，首先对系统进行调查和分析，并确定组成系统的实体和相互关系，依此建立邻接矩阵和可达矩阵，接着经过一定处理把这些关系加以划分，以明确系统的层次和结构细节。这一建模过程是一个反复反馈过程，经过多次反馈才完善有关结构模型。结构建模的基本步骤可分为以下几个阶段。1） 选择构成系统的要素a. 首先，明确问题性质，划定问题范围，进而确定系统边界和系统目标。b. 接着，进行系统调查，收集必要的资料和数据。c. 在系统分析和调查的基础上，构造对应于系统总目标和环境因素约束条件的系统组成要素（实体），能对系统的各个实体s1，s2，sn及其相互关系有较完整的认识和理解。2）建立邻接矩阵和可达矩阵要建立邻接矩阵，必须首先搞清系统实体之间的相互之间的关系。由于实体之间的关系是多种多样的，如因果关系、顺序关系、联系关系等。若系统实体si，sjS，在判断系统实体si用sj之间的关系时，往往根据实际情况和系统目标确定一种关系，如可选择以下几种情况：si是否影响sj，si是否取决于sj，si是否导致sj，si是否先于sj等。系统实体si与sj主要存在以下四种关系：1） sisj, si与sj和sj与si互有关系，即邻接矩阵元素aij=1， aji=1；2） si5sj, si与sj和sj与si均无关系，即邻接矩阵元素aij=0， aji=0；3） sisj, si与sj有关系，sj与si无关系，即邻接矩阵元素aij=1， aj