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4 4时间反演分立对称性 一 牛顿力学的时间反演变换经典力学情形 一受保守力场作用的粒子其轨迹如图若x t 是牛顿方程的解 令t t 有x t 也是牛顿方程的解 时间反演 x x dx dt dx dt 可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转 二 电动力学的时间反演变换 Maxwell方程 Lorentz力 对t t变换 若则Maxwell方程和Lorentz力形式不变 即若上述讨论表明 经典物理中的时间变换为 t t x x v v p p E E j j B B 三 薛定谔方程的时间反演变换 对薛定谔方程 作时间反演 可见 x t 与 x t 满足不同的方程对上式取复共轭 得 可见对解 x t 有相应解 x t 因 x 时间反演波函数由 给出 四 反幺正算符 若一对称操作使 从前遇到的情况为内积不变 相应对称操作以幺正算符表征对时间反演 波函数变为复共轭 应有定义 对变换 如果称 为反幺正算符后一式所定义的算符称为反线性算符 一般而言 反幺正算符可写成 UK U为幺正算符 K为复共轭算符 K对右矢的叠加系数作用 即若 不是基矢 可展开为以 a 为基矢的矢量 K的作用效果依赖于基矢的选取 故U也必与基矢选取有关 是反幺正的说明 是反线性的 是反幺正的 五 时间反演算符 时间反演态 运动反演态 如由上面讨论知 动量本征态 p 的时间反演态 p p 时间反演算符的基本性质假设态矢具有时间反演对称性 得 iH iH 应为反幺正算符 H H 六 时间反演算符 的运算 仅考虑 从左边作用于右矢 和利用及左右矢的对偶对应关系重要等式 这是因为对 有故 对厄米算符A 有若 A 1 A 称A在时间反演下具有偶 奇 对称由此 可得A在时间反演态的期望值 由 知 p 1 p类似地 x 1 x x x 从亦可知 J 1 J 七 厄米算符的时间反演对称性 八 波函数的变化 由知 对球谐函数 可见 定理 若H在时间反演下不变 且能量本征态非简并 则相应波函数是实的 证 H n H n En n n 与 n 相同 故 注意 时间反演态的动量空间波函数为 p 九 自旋1 2体系的时间反演 因 时间反演的效果 得由于有所以 对无自旋体系 2 1两者很不相同 十 一般角动量体系的时间反演 由 得而故对任意 此外 由于不妨约定 对自旋1 2体系 该约定对应于取 一般地可约定 注 相位约定依处理问题方便而定 但 2 1与相位约定无关 十一 球张量的时间反演性质 对若A是的分量 由于Wigner Eckart定理只要考虑q 0的分量即可 对厄米球张量 其时间反演奇偶性由q 0分量确定 由于x对应于k 1 且对时间反演是偶的 故对jm的本征态 0 这对非宇称本征态亦成立 十二 粒子与电和磁场的相互作用 Kramers简并 电荷在静电场中 V x e x H 0由于 U t t0 0 不存在量子数的时间反演守恒 但 H 0导致非简并态波函数为实数更重要的推论是Kramers简并 由于 n 与 n 同为H的本征态 若非简并 n ei n 对j半整数体系 则 n n ei n n 故 n 与 n 不可能为同一状态 存在简并 这不依赖于E的复杂程度 因此 具有不同奇