直尺与圆规三等分任意一个角的证明方法.docx

提要：本文用任意角自身所具备的数学元素，作出可将该角三等分的弧，并以此弧三等分任意角的弧来三等分任意角。并阐述了方法的原理。一、方法1、画出任意角AOB,它的弧为弧 （见图1）(1) 回复 1楼 2011-02-12 21:42 举报|个人企业举报垃圾信息举报 风影神探举人42、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略）3、 用圆规找出AB的中点O，以 O为圆心，以A O为半径划弧，它实际上是平角A OB的弧（也是以AB为直径的半圆的弧）4、以B点为圆心，以B O为半径划弧交平角A OB的弧（弧）于D5、将C点与D点相连形成线段CD6、作CD的中垂线交AB的延长线于N以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交AOB的弧（弧）于F点，分出的弧FB是AOB的弧（弧）的三分之一7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧于G,连接GO和FO,则AOG=GOF=FOB二、证明在上法三等分任意角AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略）3、 用圆规找出AB的中点O，以 O为圆心，以A O为半径划弧，它实际上是平角A OB的弧（也是以AB为直径的半圆的弧）4、以B点为圆心，以B O为半径划弧交平角A OB的弧（弧）于D5、将C点与D点相连形成线段CD6、作CD的中垂线交AB的延长线于N以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交AOB的弧（弧）于F点，分出的弧FB是AOB的弧（弧）的三分之一7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧于G,连接GO和FO,则AOG=GOF=FOB二、证明在上法三等分任意角AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)2、把该弧的弦AB 用平行线法分成3等分，使AL=LC=CB（作法略）3、 用圆规找出AB的中点O，以 O为圆心，以A O为半径划弧，它实际上是平角A OB的弧（也是以AB为直径的半圆的弧）4、以B点为圆心，以B O为半径划弧交平角A OB的弧（弧）于D5、将C点与D点相连形成线段CD6、作CD的中垂线交AB的延长线于N以N为圆心，以CN为半径划弧CD ,交AOB的弧（弧）于F点，分出的弧FB是AOB的弧（弧）的三分之一7、连接FB,以FB为半径，以A为圆心划弧交弧于G,连接GO和FO,则AOG=GOF=FOB二、证明在上法三等分任意角AOB图的基础上连接GF和AG(见图二)从上面作图时可知AG=FB，所以AOG=FOB 这时只要能证明GOF也=FOB,即可证明AOG=FOB=GOF,则任意角AOB就被三等分1、以AO为半径，以O为圆心将弧AB（弧1）从右下方适当延长，再以B为圆心，以GF为半径划弧交弧AB(弧1)的延长线于P,连接OP和BP，则新形成的POB与GOF全等，即在他们中，GOF=BOP2、连接GP交BO于T，从图上看，GP连线似乎经过E点，因未做数学证明，所以，不能确认。这时，在以边GO和PO及弧GP形成的由三个角组成的扇形中，扇形两边的两个角相等（GOF=BOP），所以，F点和B点，*和P点都是以GP的中垂线RO为对称轴对称分布的点。，所以FB与GP平行 。同样，在以边AO和BO及弧AB（弧1）形成的扇形中，扇形也是由三个角组成的，两边的两个角也相等，连接GE（E点是AB和FO的交点）和FH(H点是AB和GO的交点),这时，*和F点，A点和B点,H点和E点都是以AB的中垂线SO为对称轴对称分布的点，所以GF与AB平行 。对称轴两边对应的角相等，所以 GAB=FBA GFH=FGE GEH=FHE3、作GF的延长线至V, 因为GF与AB平行，所以内错角相等 即VFB=FBA4、在AGE和BFH中,已知FBA=GAB GEH=FHE 所以，它们的第三个角也相等。即AGE=BFH5、因为AGE和BFH的同一侧的边FB和GP平行，所以，他们的另一侧的边AG和FH也平行。则形成平行四边形FGAH，其对角相等。即GAH=GFH 已知GFH=FGE 所以FGE也=GAH 已知GAH（GAB）= FBA,而FBA又=VFB所以FGE=VFB 这样GE也与FB平行（同位角相等）6、这时，GE连线和GP连线都与FB平行，且都经过*，所以，它们是相互重叠的同一直线。因为，经过同一点G与FB平行的只能有一条直线。E点是GE直线上的点。也在这条线上，则GP连线必然经过E点。也就是说AB，FO和GP在这一点相交。7、在AEO和PEO中,AO和PO是同一弧的半径，所以AO=PO EO是他们的公用边，而且已知AOG=FOBGOF=BOP 所以AOG+GOF=POB+FOB即AOE=EOP所以AEO和PEO全等 则对应角AEO=PEO 因为GF与AB(HE)平行，所以GFO=HEO(同位角相等)