福建省长泰县第一中学高三数学二轮复习 01讲 分类讨论思想课件.ppt

专题一数学思想方法第1讲分类讨论思想1 分类讨论思想又称 逻辑化分思想 它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形 然后再分别进行研究和求解的一种数学思想 分类讨论思想在高考中占有十分重要的地位 相关的习题具有明显的逻辑性 综合性 探索性的特点 难度有易 有中 也有难 题型可涉及任何一种题型 知识领域方面 可以 无孔不入 地渗透到每个数学知识领域 2 分类讨论的原则 1 分类标准统一 对象确定 层次分明 2 所分各类没有重复部分 也没有遗漏部分 3 分层讨论 不能越级讨论 有时要对分类结果作以整合概述 3 分类讨论的步骤 1 确定讨论对象的主体 2 选取恰当科学的分类标准 3 逐类讨论 获得阶段性成果 4 归纳整合 得出结论 例1 已知数列 an 的前n项和为sn 32n n2 求其通项公式an 分析依sn的意义知 an sn sn 1 化简即可 但要注意单独求a1 s1 解 当n 1时 a1 s1 31 当n 2 n n 时 an sn sn 1 32n n2 32 n 1 n 1 2 33 2n 考察a1 33 2 1 31 a1也适合an 33 2n 综上 an 33 2n n n 探究拓展当一般性的结论在个别个体上无法使用 或个体属性特别时 往往要单独解决 这是产生分类讨论的基础 就本例而言 an sn sn 1 在n 1时 没有意义 a1无前项 只有单独求a1 s1 而在求得a1与an n 2 n n 之后 还应考察a1是否适合an n 2 n n 时的规律 若适合则合并写出an 否则 分段表述an 变式训练1 2009 徐州 淮安调研 已知集合a 3 m2 b 1 3 2m 1 若a b 则实数m的值为 解析a b m2 b m2 1或m2 2m 1 m 1 1 例2 若不等式mx2 mx 2 0对一切实数x恒成立 试确定实数m的取值范围 解 1 当m 0时 mx2 mx 2 0对于一切实数x 2 当m 0时 原不等式为2 0 显然对一切实数x恒成立 综合 1 2 可得 当0 m 8时 对一切实数x不等式恒成立 恒成立的充要条件是 探究拓展某些学生一见到有 二次 出现 往往认识为 二次函数 或 二次方程 这是由定式思维引起的 备考者务必树立强烈的 确认身份 意识 否则 分析问题有失偏颇 如本例中 未表明不等式的次数 且高次项系数含可变参数 我们称之为 准二次不等式 解题时要分情况讨论 确认不等式 二次项 系数是否为零 变式训练2已知m r 求函数f x 4 3m x2 2x m在区间 0 1 上的最大值 分析当4 3m 0时f x 是一次函数 4 3m 0时f x 是二次函数 由于二次函数开口向上和向下求最大值的方法不同 所以对m可先分成两种情况去讨论 解 1 当4 3m 0 即它在 0 1 上是减函数 所以 2 当4 3m 0 即y是二次函数 若4 3m 0 即二次函数y的图象开口向上 对称轴它在 0 1 上的最大值只能在区间端点达到 由于此处不涉及最小值 故不需讨论区间与对称轴的关系 f 0 m f 1 2 2m 当m 2 2m 又 当m 2 2m 若4 3m 0 即时 二次函数y的图象开口向下 又它的对称轴方程所以函数y在 0 1 上是减函数 于是ymax f 0 m 由 1 2 可知 这个函数的最大值为 例3 2009 连云港调研 已知不等式的解集为 a b a b是常数 且0 a b 求a b的值 分析由于的对称轴为x 2 区间含参数可按a b 2的大小关系进行分类 解设显然 其对称轴为x 2 1 当a 2 b时 如图1所示 函数f x 的最小值为1 a 1 又a x b 图1 此时 函数f x 在 a b 上的最大值为f 1 或f b f b 为最大值 又由于f x 在 1 b 上的值域为 1 b f b b 2 当2 a b时 如图2所示 函数f x 在 a b 上递增 f a a f b b 图2 解之 得a b 4 这与已知0 a b矛盾 应舍去 3 当0 a b 2时 如图3所示 函数f x 在 a b 上递减 f a b f b a 图3 解之 得这与0 a b矛盾 应舍去 综上可知 a 1 b 4 探究拓展对称轴与目标区间的相对位置关系影响函数最值的获取 本例是典型的 定轴 动区间 类问题 要围绕目标区间是否覆盖定轴作讨论 另一类与之相对应的问题是 定区间动轴 问题 见本例变式训练 备考者要细细体会这 一例一变 的相似与相异之处 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时 为叙述方便 使问题表述有层次 有条理 需作讨论分别叙述 变式训练3设a点的坐标为 a 0 a r 求曲线y2 2x上的点到点a距离的最小值d 分析本题是求两点间距离的最小值问题 代入距离公式 转化为求二次函数的最值问题 注意抛物线上的点 x y 应满足x 0 解设m x y 为曲线y2 2x上一点 由于x 0 二次函数f x x a 1 2 2a 1的顶点的横坐标为x a 1 由此作如下讨论 1 当a 1时 当x a 1时 ma min 2 当a 1时 二次函数f x 在区间 0 上单调递增 当x 0时取最小值 例4 某城铁路线上依次有a b c三站 ab 5km bc 3km 在列车运行时刻表上 规定列车8时整从a站发车 8时07分到达b站并停车1分钟 8时12分到达c站 在实际运行时 假设列车从a站正点发车 在b站停留1分钟 并在行驶时以同一速度vkm h匀速行驶 列车从a站到达某站的时间与 时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差 1 分别写出列车在b c两站的运行误差 2 若要求列车在b c两站的运行误差之和不超过2分钟 求v的取值范围 解 1 由题意知 列车在b c两站的运行误差 单位 分钟 分别是 2 由于列车在b c两站的运行误差之和不超过2分钟 探究拓展解应用类的问题首先是构建数学模型 其次是对所建立数学模型进行处理 本例中构造了含两个绝对值的不等式 其解决办法是依据绝对值的含义利用零点分段法将其化简 分类讨论后还要将各种情况合并起来作为一个整体来作答 对于实际应用类问题 还要将建立起来的数学模型的答案回归到实际问题上去 保证不失去实际意义 变式训练4有三个新兴城镇 分别位于a b c三点处 且ab ac 13 bc 10 今计划合建一个中心医院 为同时方便三镇 准备建在bc的垂直平分线上的p点处 建立坐标系如图所示 1 若希望点p到三镇距离的平方和最小 点p应位于何处 2 若希望点p到三镇的最远距离为最小 点p应位于何处 解 1 设p的坐标为 0 y 由图可知a 0 12 b 5 0 c 5 0 则p至三镇距离的平方和为f y 2 25 y2 12 y 2 3 y 4 2 146 当y 4时 f y min 146 即点p应位于 0 4 当点p为 0 4 时到三镇距离的平方和最小 2 p至三镇的最远距离为 规律方法总结1 分类讨论是 化整为零 各个击破 积零为整 的数学方法 其原则是 1 分类标准统一 对象确定 2 所分各类没有重复部分 也没有遗漏部分 3 分层讨论 不能越级讨论 有时 还要对讨论的结果综合起来概述 2 需要分类讨论的知识点大致有 绝对值的概念 根式的性质 一元二次方程的判别式符号与根的情况 二次函数二次项系数的正负与抛物线开口方向 反比例函数 k 0 的比例系数k 正比例函数y kx的比例系数k 一次函 数y kx b k 0 的斜率k与图象位置及函数的单调性的关系 幂函数y xn的幂指数n的正 负与定义域 单调性 奇偶性的关系 指数函数y ax a 0且a 1 对数函数y logax a 0 a 1 中底数a的范围对单调性的影响 等比数列前n项和公式中公比q的范围对求和公式的影响 复数概念的分类 不等式性质中两边同时乘以正数与负数对不等号方向的影响 排列组合中的分类计数原理 圆锥曲线离心率e的取值与三种曲线的对应关系 运用点斜式 斜截式直线方程时斜率k是否存在 角的终边所在象限与三角函数符号的对应关系 等等 3 分类讨论产生的时机 1 涉及的数学概念是分类定义的 2 运算公式 法则 性质是分类给出的 3 参数的不同取值会导致不同的结果 4 几何图形的形状 位置的变化会引起不同的结果 5 所给题设中限制条件与研究对象不同的性质引发不同的结论 6 复杂数学问题或非常规问题需分类处理才便于解决 7 实际问题的实际意义决定要分类讨论 一 填空题1 过点p 2 3 且在坐标轴上的截距相等的直线方程是 解析从几何图形特征上看 分截距等于零 不等于零两种情况 所求直线方程为 2 直线l过点p 2 1 点a 1 2 到直线l的距离等于1 则直线l的方程为 解析直线l的斜率不存在时 满足条件的方程为x 2 当斜率存在时 设l的方程为y 1 k x 2 由点到直线的距离公式 可得所以直线l的方程为4x 3y 5 0或x 2 4x 3y 5 0或x 2 3 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形 则它的体积为 解析正三棱柱形状的确定需分侧面矩形长 宽分别为2和4 或4和2两种情况进行讨论 4 已知正三角形的边长为3 到这三个顶点a b c的距离都等于1的平面的个数是 解析过ab ac中点与bc平行的平面有2个 此类平面有3 2 6个 还有与平面abc平行且距离为1的2个平面 故应有8个平面满足题意 8 5 2009 江苏押题 等比数列 an 中 a3 7 前3项之和s3 21 则公比为 解析当q 1时 a3 3 s3 21合题意 6 2009 通州调研 将一颗骰子连续掷三次 它落地时向上点数依次成等差数列的概率为 结果用最简分数表示 解析基本事件总数为6 6 6 按公差为0 1 2 1 2共分五类 能依次成等差的基本事件数18 二 解答题7 不等式 k2 1 x2 2 k 1 x 1 0对于x r恒成立 求实数k的取值范围 解 1 若k2 1 0即k 1时 分别将k 1代入原不等式验证得k 1时不等式恒成立 2 若k2 1 0时 则解得k 1 由 1 2 得k 1 所以k的取值范围是 1 k2 1 0 4 k 1 2 4 k2 1 0 8 已知函数f x 2asin2x asinxcosx a b a 0 的定义域为值域为 5 1 求常数a b的值 解f x a 1 cos2x 3asin2x a b由于f x 的值域为 5 1 可得 9 已知方程mx2 2y2 m 1 m r 对于不同范围的m值 分别指出方程代表的图形 解当m 0或m 1时 系数出现零 因此要对m 0和m 1的情况进行讨论 当m 0且m 1时 方程变形为由这样 1 0 2 把数轴分成四个区间 所以要分多种情况讨论 1 当m 0时 方程为2y2 1 即图形为两条平行直线 2 当m 1时 方程为 x2 2y2 0 即图形为两条相交直线 综上 当m2时 图形为焦点在y轴上的椭圆 10 设函数f x xekx k 0 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数f x 的单调区间 3 若函数f x 在区间 1 1 内单调递增 求k的取值范围