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文档简介

追赶曲线的计算机模拟 一 问题描述 欧洲文艺复兴时期的著名人物达 芬奇曾经提出一个有趣的 狼追兔子 问题 当一只兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时 一只饿狼出现在兔子正东的100码处 兔子急忙奔向自己的洞穴 狼立即以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放 兔子一旦回到洞穴便逃脱厄 问狼是否会追赶上兔子 二 背景分析 这一问题的研究方法可以推广到如鱼雷追击潜艇 地对空导弹击飞机等问题上去 在对真实系统做实验时 可能时间太长 费用太高 危险太大 甚至很难进行 计算机模拟是用计算机模仿实物系统 对系统的结构和行为进行动态演示 以评价或预测系统的行为效果 根据模拟对象的不同特点 分为确定性模拟和随机性模拟两大类 模拟通常所用的是时间步长法 即按照时间流逝的顺序一步一步对所研究的系统进行动态演示 以提取所需要的数据 三 模型假设 1 设兔子奔跑的速度为 则狼运动的速度为 建立平面直角坐标系 若当时刻 兔子位于点处 狼位于点处 试根据 的坐标确定一个单位向量 描述狼在时段内的运动方向 2 根据狼的运动方向和速度推导到的坐标的具体表达式 3 用计算机绘制追赶曲线的图形 包括静态和动态的图形 四 模型的建立 首先计算狼的初始位置到兔子洞穴的直线距离 由于狼奔跑的速度是兔子速度的两倍 兔子跑60码的时间狼可以跑120码 如果狼沿直线奔向兔窝 应该是可以追上兔子的 但是 有人推导出狼在追赶兔子过程中的运动曲线为 根据曲线方程 当时 也就是说 在没有兔窝的情况下兔子一直往北跑 在跑到大约66码处将被狼追上 由此可知 在有兔窝时狼是追赶不上兔子的 用计算机模拟的方法也可以得到同样的结论 取时间步长为1s 随时间步长的增加 考虑这一系统中的各个元素 狼和兔子 所处的位置变化规律 用计算机作出模拟 最后 根据第60s时狼所在的位置的坐标 判断狼是否能追上兔子 设兔子所在位置为动点Q 狼所在位置为动点P 在时刻tk 两个动点的坐标分别为 Q uk vk P xk yk 动点P的轨迹就是追赶曲线 在tk时刻到tk 1时刻这个时段 P点的运动方向可以用单位向量描述 显然 uk 0 vk tk 五 源程序 设在初始时刻兔子和狼的位置分别为Q 0 0 P 100 0 初始时刻的狼 兔距离为100码 我们不妨规定当狼 兔距离小于0 5码时 兔子被狼追上 结束追赶 下面MATLAB程序可计算并绘制追赶曲线 x 1 100 y 1 0 u 1 0 v 1 0 t 1 d 100 e 10 whiled 0 5 x t 1 x t 2 e 1 y t 1 y t 2 e 2 t t 1 u t 0 v t t e x
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