结构动力学(运动方程)

结构动力学 张系斌2015 5 二 体系的运动方程建立 2 1建立运动方程的基本步骤2 2运动方程建立举例2 3体系运动方程的一般形式2 4应注意的几个问题2 5刚度法 柔度法列方程的步骤2 6运动方程建立总结 运动方程的建立 建立动力体系运动方程常用的三种方法是直接平衡法 虚位移原理方法和哈密尔顿原理方法 运动方程可用上述三种方法中的任一种建立 对于简单体系 最明了的方法是采用直接平衡法建立包括惯性力在内的作用于体系上的全部力的平衡关系 得出运动方程 对于更复杂的体系 直接建立矢量平衡关系可能是困难的 此时采用功和能等标量建立平衡关系更为方便 其中包括虚位移原理方法和哈密尔顿原理方法 上述三种方法的结果是完全相同的 采用何种方法取决于是否方便 个人的喜好以及动力体系的性质 牛顿第二运动定律 直接平衡法 通过动力体系各质点的力矢量平衡关系建立运动方程的方法 质量所产生的惯性力与它的加速度成正比 但方向相反 这一概念称为达兰贝尔原理 借助该原理可以把运动方程表示为动力平衡方程 方程中的力包括多种作用于质量上的力 如抵抗位移的弹性恢复力 抵抗速度的粘滞阻尼力以及其它独立确定的外荷载 因此 运动方程的表达式仅仅是作用于质量上所有力 包含惯性力 的平衡表达式 在许多简单问题中 直接平衡法是建立运动方程的最直接而且方便的方法 虚位移原理 虚位移原理可表述为 如果一组力作用下的平衡体系承受一个虚位移 即体系约束所允许的任何微小位移 则这些力所作的总功 虚功 等于零 虚功为零和体系平衡是等价的 因此 只要明了作用于体系质量上的全部力 包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力 然后引入对应每个自由度的虚位移 并使全部力作的功等于零 则可导出运动方程 虚功为标量 故可依代数方法相加 这是此法的主要优点 当结构体系相当复杂 且包含许多彼此联系的质量点或有限尺寸的质量块时 直接写出作用于体系上的所有力的平衡方程可能是困难的 尽管作用于体系的力可以容易地用位移自由度来表示 但它们的平衡关系则可能十分复杂 此时 利用虚位移原理建立运动方程更为方便 哈密尔顿原理 2 1建立运动方程的基本步骤 作为本科学习 这里只讨论用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的 直接平衡法 以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼 直接平衡法列方程的一般步骤为 1 确定体系的自由度 质量独立位移数 2 建立坐标系 确定未知位移 坐标正向为正 3 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力 4 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力 注意 惯性力是实际的 但它不作用在质量上 5 取质量为隔离体并作受力图 6 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方程 此方程就是运动 微分 方程 列平衡方程称刚度法 2 1建立运动方程的基本步骤 作为本科学习 这里只讨论用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的 直接平衡法 以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼 直接平衡法列方程的一般步骤为 1 确定体系的自由度 质量独立位移数 2 建立坐标系 确定未知位移 坐标正向为正 3 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力 4 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力 注意 惯性力是实际的 但它不作用在质量上 列位移方程称柔度法 5 将动力外荷 惯性力 阻尼力作为 外力 按位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移 其结果应该等于未知位移 满足协调 由此建立方程 2 2运动方程建立举例 2 2 1单自由度体系运动方程例 1 试建立图示结构的运动方程 h m EI P t 解 由于横梁刚度无穷大 结构只能产生水平位移 设x坐标向右 右手系 又设横梁 质量m 位移为u 以它为隔离体 受力如图所示 P t h 列x方向全部力的平衡方程 即可得结构的运动方程为 图中Fs1和Fs2可由图是有位移法 实际直接可由形常数 得到 2 2运动方程建立举例 2 2 1单自由度体系运动方程 解 图示结构只能产生竖向位移 显然这是单自由度对称振动 设质量竖向位移为v 向下为正 将惯性力fI 阻尼力fd如图所示加于梁上 根据达朗泊尔原理和阻尼假定 l 2 l 2 m 例 2 试建立图示抗弯刚度为EI简支梁的运动方程 不计轴向变形 l 2 l 2 fI fd P t P t 由位移计算可知 单位荷载下简支梁跨中竖向位移为 因此在所示 外力 下 质量的位移为 2 2运动方程建立举例 2 2 1单自由度体系运动方程例 3 试建立图示结构的运动方程 h m EI P t 解 由于横梁刚度无穷大 结构只能产生水平位移 设质量m位移为u 向右为正 根据达朗泊尔原理和假设的阻尼力理论 加惯性力和阻尼力后受力如图 P t h 由超静定位移计算可得 如图示意 h 1 因此 外力下位移为 显然 整理後结果和例 1 相同 k 1 2 2运动方程建立举例 2 2 1单自由度体系运动方程 解 图示结构只能产生竖向位移 显然这是单自由度对称振动 设质量竖向位移为v 向下为正 l 2 l 2 m 例 4 试建立图示抗弯刚度为EI简支梁的运动方程 不计轴向变形 P t 因此由所示 外力 平衡可得 1 R 利用对称性由 形常数 可得质量点处所加支杆单位位移时的R 以m为隔离体 加上惯性力fI 阻尼力fd如图所示 根据达朗泊尔原理和阻尼假定 显然 整理後结果和例 2 相同 k 1 2 2运动方程建立举例 2 2 1单自由度体系运动方程 解 将惯性力fI 阻尼力fd如图所示加于梁上 根据达朗泊尔原理和阻尼假定 仅在P t 作用下m的位移由位移计算得 l 2 l 2 m 例 5 若例 2 简支梁动荷载作用在3l 4处 试建立其运动方程 l 2 l 2 fI fd P t P t 由位移计算可知 单位荷载下简支梁跨中竖向位移为 作业 P 1的物理意义是什麽 因此在所示 外力 下 质量的位移为 2 2运动方程建立举例 2 2 1单自由度体系运动方程 解 设质量水平位移为u 向右为正 例 6 试建立图示质量 弹簧 阻尼器抽象化模型的运动方程 因此由所示 外力 平衡可得 m k 以m为隔离体 加上惯性力fI 阻尼力fd如图所示 此外还有弹簧的弹性恢复力fe 根据达朗泊尔原理和阻尼假定 c m P t 由这些例子显然可见 不管什麽单自由度结构 运动方程的最终形式都是一样的 2 2运动方程建立举例 单自由度体系运动方程建立小结 任何单自由度结构 运动方程都可写为 式中 m质量 c阻尼系数 k刚度系数 Peq为等效动荷载 当动荷载直接作用在质量上时 Peq为动荷载的合力在运动方向的投影 当动荷载不作用在质量上时 Peq为动荷载作用下限制沿自由度运动的支座反力 用刚度法还是用柔度法建立方程 看具体问题是求刚度系数方便 还是求柔度系数方便来定 没有等效动荷为自由振动 没第二项为无阻尼振动 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 解 结构为两自由度体系 设水平 竖向位移为u v 分别向右 向下为正 例 7 试建立图示结构的运动方程 各杆长度为l 抗弯刚度为EI 式中cij为j方向单位速度引起的i方向的阻尼力 m 根据达朗泊尔原理和阻尼假定 Px t 为用柔度法建方程 沿位移正向加单位力的单位弯矩图如图所示 m Px t 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 由图示单位弯矩图可求得 因此 在所示 外力 下u v分别为 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 以矩阵方程表示 整理後可得 记作 d 称位移阵 记作 P 称荷载阵 记作 f 称柔度阵 记作 M 称质量阵 记作 C 称阻尼阵 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 解 为用刚度法建方程 沿位移正向加限制位移的支座如图所示 例 8 试用刚度法建立结构的运动方程 图中 由位移法或弯矩分配法可做出支座单位位移的弯矩图如图示 1 1 M1 M2 M3 M4 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 图中 1 1 k11 k22 M1 M2 M3 M4 由此可求得图示反力 刚度 系数kij 取质量为隔离体 加惯性力fIx fIy 阻尼力fdx fdy和弹性恢复力fex fey 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 由达朗泊尔原理 阻尼理论和上述结果可得 列平衡方程并以矩阵方程表示 则得运动方程如下 记作 k 称刚度阵 由两例系数结果可证 k f 1 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 解 为用刚度法建方程 沿位移正向使限制位移的支座产生图示单位位移 例 9 试用刚度法建立图示剪切型结构的运动方程 k1和k2为层侧移刚度 由层刚度定义可得 1 k11 k21 k22 k12 加惯性力 阻尼力後以楼层为隔离体 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 图中各项和前面例子相仿 分别为 列平衡方程并以矩阵方程表示 则得运动方程如下 记作 k 称刚度阵 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 解 本例除荷载作用位置外 其他和例 7完全相同 因此 惯性力 阻尼力 柔度系数等直接可以利用 例 10 试建立图示结构的运动方程 各杆长度为l 刚度为EI 荷载在杆中间 m P t P t 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 由图示荷载和单位弯矩图可求得 因此 在所示 外力 下u v分别为 2 2运动方程建立举例 2 2 2两自由度体系运动方程 以矩阵方程表示 整理後可得 记作 d 称位移阵 记作 f 称柔度阵 记作 M 称质量阵 记作 C 称阻尼阵 记作 P称荷载位移 2 2运动方程建立举例 两自由度体