第三章 离散傅里叶变换.ppt

第三章离散傅里叶变换DFT 主要内容 离散傅里叶级数 DFS 离散傅里叶变换 DFT 抽样z变换 频域抽样理论 3 1引言 傅里叶变换的几种形式 连续时间 连续频率 傅里叶变换 连续时间 离散频率 傅里叶级数 离散时间 连续频率 序列的傅里叶变换 离散时间 离散频率 离散傅里叶变换 FT 3 2傅里叶变换的几种可能形式 FS 时域周期化 频域离散化 时域离散化 频域周期化 DTFT 但是 前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算 因为它们至少在一个域 时域或频域 中函数是连续的 我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况 DFT 其中 若时域离散并周期化 频域周期化并离散化 四种傅里叶变换形式的归纳 3 3离散傅里叶级数DFS DiscreteFourierSeries 连续周期信号 周期序列 r为整数 N为周期 周期序列的DFS正变换和反变换 其中 一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换 可看作是对的一个周期做z变换然后将z变换在z平面单位圆上按等间隔角抽样得到 DFS的图示说明 例 周期序列展开为DFS 求其系数 解 由定义式直接计算 得 20 的一些性质 1 周期性 2 可约性 如 4 正交性 任意两个函数作内积 相同的不为零 不相同为零 3 共轭对称性 为任意整数 21 5 常用值 22 举例 已知 反过来 从 解 求 求 解 图见下一页 23 时域冲激序列信号 频域全频信号 反之 时域直流信号 频域零频信号 3 4离散傅里叶级数的性质FS性 1 线性 其中 为任意常数 若 则 2 周期序列的移位 3 调制特性 4 对偶性 证 5 周期卷积和 若 则 讨论 周期卷积与线性卷积的区别在于 周期卷积求和只在一周期内进行 注意周期信号的线性卷积不存在 式中的卷积称为周期卷积 同样 利用对称性 若 则 3 5离散傅里叶变换 有限长序列的离散频域表示 在进行DFS分析时 时域 频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N的有限长序列可以看成周期为N的周期序列的一个周期 主值序列 借助DFS变换对 取时域 频域的主值序列可以得到一个新的变换 DFT 即有限长序列的离散傅里叶变换 另外一种写法是 其中表示对n取模N运算 或模N的余数 对周期信号而言 或 举例 设周期为N 6 则有周期序列和求余运算 或这是因为 19 3 6 1 同理或这是因为 2 1 6 4 同样 X k 也是一个N点的有限长序列 37 思考 38 Example 39 结论 1 是无混叠的以N为周期的序列 2 当N大于等于有限长序列的长度时 两者 以N为周期 周期化序列 与 自变量运算后得到的周期序列 而 即 等价 有限长序列的DFT定义式 关于离散傅里叶变换 DFT 序列x n 在时域是有限长的 长度为N 它的离散傅里叶变换X k 也是离散 有限长的 长度也为N n为时域变量 k为频域变量 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别 DFT实际上是离散傅里叶级数的主值 DFT也隐含有周期性 离散傅里叶变换 DFT 具有唯一性 DFT的物理意义 序列x n 的Z变换在单位圆上的等角距取样 x n 的N点DFT是x n 的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样 x n 的DTFT在区间 0 2 上的N点等间隔抽样 例1 计算 N 12 的N点DFT 解 N 4点的DFT 48 例3 2 对作N点DFT N为任意值 1 对作N点DFT 49 是 间采样点数为N 的频率采样 在 3 50 3 6离散傅里叶变换的性质 1 线性 这里 序列长度及DFT点数均为N若不等 分别为N1 N2 则需补零使两序列长度相等 均为N 且 若 则 有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移 而对频谱幅度无影响 时域序列的调制等效于频域的圆周移位 2 圆周移位 其中 同理可证另一公式 证 从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出 当主值序列左移m个样本时 从右边会同时移进m个样本好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来因此取名 循环移位 显然 循环移位不同于线性移位 若 则 证 3 对偶性 4 圆周共轭对称性 其中 共轭反对称分量 共轭对称分量 任意周期序列 定义 则任意有限长序列 圆周共轭反对称序列 圆周共轭对称序列 58 举例说明圆周共轭对称性 59 设N点复数序列 证明 则 DFT的一些对称性质 同理可证明 例 设x1 n 和x2 n 都是N点的实数序列 试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT 五 ParsevalTheory 若令y n x n 表明序列时域 频域能量相等 六 圆周卷积和 圆周卷积A 设 则 实际上 圆周卷积为周期卷积的主值序列 即 圆周卷积B 设 圆周卷积记为 N N 圆周卷积过程 1 补零2 周期延拓3 翻褶 取主值序列4 圆周移位5 相乘相加 两个N点序列的N点圆周卷积得到的结果仍为N点序列 mN m1N 12N 2N 3 讨论1 圆周卷积的物理意义图示说明 讨论2 圆周卷积与线性卷积 1 设 有限长 N点 有限长 M点 则线性卷积 有限长 N M 1 2 而作长度为L的圆周卷积 即 周期卷积 其中 L 则 补零 存在交叠现象 这就是利用DFT计算线性卷积的方法和要求 即可以选择长度大于等于线性卷积的两序列长度之和的DFT运算计算线性卷积 讨论3 周期卷积 圆周卷积与线性卷积 周期卷积与圆周卷积的差别在于 周期卷积是线性卷积的周期延拓 而圆周卷积是取周期卷积的主值序列 作圆周卷积时 应先将两者 补零 至长度为L点的序列后进行圆周卷积 而周期卷积是指两者皆为长度为L点的周期序列 即周期延拓 的 线性卷积的DFT计算方法要求DFT点数L N M 1 物理意义不同 周期卷积是周期信号运算与DFS系数运算的关系 圆周卷积是有限序列运算与DFT变换结果运算的关系 后面将说明这是有限序列运算与对应的频谱运算的关系 七 线性相关与圆周相关 线性相关 自相关函数 相关函数不满足交换率 相关函数的z变换 相关函数的频谱 圆周相关定理 77 3 7抽样Z变换 频域抽样理论 一 由 N为DFT点数 M为序列长度 是 无失真恢复 的条件 在单位圆上的抽样 故N也为频域抽样点数 二 由 表示 单位圆上等间隔抽样 Z域内插 内插 78 频域抽样 2 我们在第五章中会看到 3 105 为FIR滤波器频率抽样型结构 插值函数 3 105 79 频域抽样 3 三 由 表示 频率内插 插值函数 80 频域抽样 4 3 110 见P129图 3 16 81 3 8利用DFT计算模拟信号的傅立叶变换 级数 对 一 CTFT的DFT逼近 连续时间非周期信号的傅立叶变换 用DFT计算上述变换的方法 DTFT的抽样值 有 和 后 通过内插得到 82 DFT的应用 2 二 对连续时间周期信号的DFS逼近 用DFS求 DFT的应用 3 三 图示CTFT的DFT逼近P133图3 17 四 用DFT计算连续时间信号可能出现的几个问题从原理上讲 误差不可消除 只可使其尽量小 1 混叠失真原因 当时域抽样频率不够高时 出现混叠 减少措施 提高抽样率 相应地 记录长度 抽样间隔 分辨力 分辨力 N不变 产生混叠 故 变小 达到 85 DFT的应用 4 2 频谱泄漏 截断效应泄漏指 频谱的 扩散 拖尾 变宽 在不该产生频谱分量的地方产生频谱分量 原因 实际信号不可能无穷长 故用加窗的方法截断它 但带来频谱泄漏 一个无穷长正弦信号一个矩形波时域频域减小措施 1 加长窗宽 使主瓣变窄 但会增加运算存储量 2 采用旁瓣电平低的窗函数 但因能量守恒 旁瓣电平低 主瓣势必变宽 因此 1 2 要折中 86 DFT的应用 5 3 栅栏效应原因 频谱抽样如5点矩形序列图若如此抽样 会使旁瓣电平最高点 或者说大的谱线 看不到 减小措施 增加抽样点数 也就是增加DFT点数 在时域上等效为原序列补零1 2 3综合起来 在保证奈奎斯特抽样率 前提下 提高采样的持续时间 87 DFT的应用 6